Magnétisme - Laboratoire Matériaux et Phénomènes Quantiques

Magnétisme
Yann Gallais
Matériaux et Phénomènes Quantiques, Université Paris Diderot
Cours de Magnétisme 2013/1014
Yann Gallais
Matériaux et Phénomènes Quantiques, Université Paris Diderot
Organisation
•  6 Cours de 2h environ
•  3 DM à rendre les séances 2, 4 et 6
•  4 séances TD/DM: semaines 3, 4, 5 et 6 après le cours
Evaluation
•  30% DM
•  40% examen
•  30% oral
Site web: www.mpq.univ-paris-diderot.fr/spip.php?rubrique260
(slides du cours, énoncés TD et bibliographie)
Magnétisme en matière condensée
Le magnétisme est la science des effets coopératifs et collectifs des moments
magnétiques dans la matière condensée
T>TN
T<TN
•  Le magnétisme est un phénomène purement quantique: un exemple unique de
phénomène collectifs quantique à l’échelle macroscopique (comme la
supraconductivité)
•  Rôle clé dans l’établissement de la théorie des transitions de phase et du concept
de symétrie brisée (Ising…)
•  Illustration d’un phénomène émergent dus aux interactions: « more is different »
P. W. Anderson. Science, New Series, Vol. 177, No. 4047. (Aug. 4, 1972), pp. 393-396.
Magnétisme et supraconductivité
•  traditionnellement: 2 états quantiques électroniques incompatibles
•  1987: découverte des supraconducteurs à haute température critique
pnictures: FeAs
cuprates: CuO2
•  Deux ordres quantiques liés aux intéractions électroniques
•  Magnétisme: origine de la supraconductivité à haute température?
Plan du cours
  Magnétisme sans interaction (1.5 séances)
  Magnétisme atomique
  Moments magnétiques localisés
  Magnétisme localisé en interaction (2 séances)
  Interactions d’échange
  Modèle de champ moyen du ferromagnétisme
  Hystérésis et transitions méta-magnétiques
  Au delà du champ moyen (1.5 séances)
  Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique
  Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques
  Magnétisme itinérant (1 séance)
  Instabilité magnétique de Stoner
  Phases onde de densité de spin
Plan du cours
  Magnétisme sans interaction
  Magnétisme atomique: du classique au quantique
  Moments magnétiques localisés
  Magnétisme localisé en interaction
  Interactions d’échange
  Modèle de champ moyen du ferromagnétisme
  Hystérésis et transitions méta-magnétiques
  Au delà du champ moyen
  Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique
  Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques
  Magnétisme itinérant
  Instabilité magnétique de Stoner
  Phases onde de densité de spin
Moment magnétique classique
moment magnétique élémentaire
!!"
dµ
!!" !!"
dµ = I dS
[µ ] = A.m 2
dS
anneau de courant = dipôle magnétique
orienté perpendiculairement au plan de l’anneau
I
mouvement de charge = mouvement de masse
moment cinétique associé
!" !"
µ =!L
!"
" "
L = mr ! v
!" !" !!"
µ / /L / /dS
γ: facteur gyromagnétique modèle classique de l’orbite électronique circulaire
!"
µ
!"
" !" "
!
2
L = mr ! ! ! r = m! r u z
!"
L
!"
"
! e! r 2 !
!
2
µ = IS = e
! " r uz =
uz
2"
2
!" e !"
µ=
L
2m
! "! !
v = ! !r
x
note: e<0 donc
direction opposée!
!"
e !"
µ =!
L
2m
Moment magnétique classique
Sous champ B:
!"
" !"
force de Laplace (charge ponctuelle):
F = qv ! B
!"
" !"
" !"
" !"
force agissant sur un fil dr: d F = dn ! ev " B = ! dr ! ev " B = Idr " B
Sur un contour fermé (boucle)
!"
!!" "
F=#
! dF = 0
!!"
!!!!" !!" !!!!" !"
! !" !!" !"
d M F/0 = OM ! dF = OM ! I dr ! B = I dS ! B
!!"
!!!"
!"
" !" !" !"
M F/0 = #
! dM F/0 = C = I S " B = µ " B
dr
!!"
dF
!"
B
!"
µ
dr
!!"
dF
M
O
Un couple s’exerce sur le dipôle magnétique: dynamique
!"
B
Dynamique classique: précession de Larmor
équation du mouvement: théorème du moment cinétique
!"
!!" !" !"
dL
= "M = µ ! B
dt
!"
!" !"
dµ
=!µ !B
dt
mouvement de précession du moment
dynamique classique du moment magnétique
(pas de dissipation)
!"
µ
!"
autour du champ B
!"
B
précession classique de Larmor
!"
µ
Moment magnétique classique:
thermodynamique
travail du couple magnétique:
W=
"
"
! C d! =
! µ Bsin! d! = µ B(1" cos" )
0
!"
µ
0
énergie potentielle
!" !"
U = !µ.B
note: n’inclut pas l’énergie électromagnétique
moment magnétique
!"
"U
µ = ! !"
!B
!!" 1 !"
assemblée de moments magnétiques M = ! µ i
V i
! !"
!!" !"
1 !"
U = ! " µi .B = !M .B
V i
!!"
"U
!"
M
=
!
aimantation macroscopique
!B
!"
B
ϕ
!" !" !"
C = µ!B
Thermodynamique d’un système magnétique
classique
Energie interne: équation d’état
Energie libre
dU = TdS ! MdB
F = U ! TS
(moment dans un champ non-uniforme)
dF = !SdT ! MdB
Fonction de partition d’un système de N électrons
Z=
" dr ... " dr " dp ... " dp
1
N
énergie libre
aimantation
1
! !U (r1.... pN )
e
N
avec
!=
1
k BT
F = !kBT ln Z
# "F &
# "ln Z &
M = ! % ( = k BT %
(
$ "B 'T
$ "B 'T
Note: à T=0K
M =!
"U
"F
=!
"B
"B
Le magnétisme classique existe t’il?
Théorème de Bohr-van Leeuwen: de l’impossibilité d’une aimantation macroscopique
dans un système électronique classique (1911 Bohr / 1919 van Leeuwen)
Z=
" dr1... " drN
! !U (r1.... pN )
dp
...
dp
e
" 1 " N
Impulsion généralisée sous champ magnétique
!"
!
!"
! !"
!
pi ! pi " eAi
Z est inchangée car uniquement un décalage de l’intégration sur les pi
Z et F sont indépendants de A (B)
# "F &
# "ln Z &
M = ! % ( = k BT %
( =0
$ "B 'T
$ "B 'T
image classique:
compensation des moments magnétiques du volume
par le moment magnétique associée aux orbites
périphériques qui font « des ricochets »
Origine quantique du magnétisme électronique
La présence de moments magnétiques électroniques doit être justifiée
d’un point de vue quantique
QUANTUM MECHANICS
THE KEY TO UNDERSTANDING MAGNETISM
Nobel Lecture, 8 December, 1977
J.H. VAN VLECK
Harvard University, Cambridge, Massachusetts, USA
Le
magnétisme est un effet quantique
The existence of magnetic materials has been known
2
- 
- 
almost since prehistoric
times, but only in the 20th century has it been understood how and why the
types de
magnétisme:
magnetic
susceptibility is influenced by chemical composition or crystallographic structure. In the 19th century the pioneer work of Oersted, Ampere,
Magnétisme
itinérant:
les électrons
sont
délocalisés
(métaux).
espace
Faraday and
Joseph Henry
revealed the
intimate
connection
between electricity and magnetism. Maxwell’s classical field equations paved the way for the
Magnétisme
localisé:
espace
réel
fortes)
wireless telegraph
and
the radio.
At (isolants/
the turn ofinteractions
the present century
Zeeman
and Lorentz received the second Nobel Prize in physics for respectively
observing and explaining in terms of classical theory the so-called normal
Zeeman effect. The other outstanding early attempt to understand magnetism
des k (bandes)
Magnétisme atomique quantique
électron de l’atome d’H sous champ magnétique uniforme (ignore spin)
!
p2
H0 =
+V (r )
2m
"
1 !" !" 2
e !" !" !" !" e 2 2
H=
( p ! eA) +V (r ) = H 0 !
(A. p + p.A) +
A
2m
2m
2m
!" !" !" !" !" !" # !" !" !" !"
!" !" # !"
relation d’anti-commutation
A. p + p.A = A. p + (!.A + A.!) = 2A. p + !.A
i
!"
! !"
!" !"
!" !" i
!" "
!" B ! r
jauge de Coulomb A =
2
!" # !"
p= !
i
e<0
!.(A! ) = !.A! + A.!!
!" !" 1 !" !" " 1 !" !" " !" !" "
!.A = !.(B " r ) = ((! # B).r $ B.(! # r )) = 0
2
2
!" " !"
!
"
!
"
e
e 2
e (B " r ). p e 2 !" " 2
H = H 0 ! A. p +
A = H0 !
+
(B " r )
m
2m
m
2
8m
si B est constant
moment cinétique
"# # "#
!L = r ! p
!" " !" !" " !"
!" !"
relation cyclique (B ! r ). p = B.(r ! p) = #B.L
!" e 2 !" " 2
!e "# "# e 2 "# # 2 = H + µ !B".L
+
(B ! r )
H = H0 !
B.L +
(B " r )
0
B
8m
2m
8m
µB =
!e
2m
Magnéton de Bohr
Diamagnétisme et paramagnétisme atomique
!" !" e 2 !" " 2
H = H 0 + µ B B.L +
(B ! r )
8m V.1 Le magnétisme localisé : magnétisme atomique
terme paramagnétique
Hz en B
terme diamagnétique
Hdia en B2
Modèle de l'atome en mécanique quan
Description Hartree-Fock
l=0
états propres de H0
!
! (r ) = R nl (r).Y lm (" ,# )
Partie radiale
l=1
!
!
moment orbital total: L = ! li
Harmonique sphérique
!
moment de spin total: S =
i pour H : n, l et m
bons nombres quantiques
0
l
l=2
états d'orbites tous occupés
m -2 -1 0 1 2
L = 0 !H
Sous-couches pleines :
sz
S=0
états de spin tous occupés