Magnétisme et supraconductivité

Magnétisme et supraconductivité
Yann Gallais
Matériaux et Phénomènes Quantiques, Université Paris Diderot
Magnétisme en matière condensée
Le magnétisme est la science des effets coopératifs et collectifs des moments
magnétiques dans la matière condensée
T>TN
T<TN
•  Le magnétisme est un phénomène purement quantique: un exemple unique de
phénomène collectifs quantique à l’échelle macroscopique (comme la
supraconductivité)
•  Rôle clé dans l’établissement de la théorie des transitions de phase et du concept
de symétrie brisée (Ising…)
•  Illustration d’un phénomène émergent dus aux interactions: « more is different »
P. W. Anderson. Science, New Series, Vol. 177, No. 4047. (Aug. 4, 1972), pp. 393-396.
Plan du cours
  Magnétisme sans interaction
  Magnétisme atomique
  Moments magnétiques localisés
  Environnement
  Magnétisme localisé en interaction
  Interactions d’échange
  Modèle de champ moyen du ferromagnétisme
  Domaines et magnétisme aux basses dimensions
  Au delà du champ moyen
  Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique
  Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques
  Magnétisme frustré et liquides de spin
  Magnétisme itinérant
  Paramagnétisme d’un gaz d’électrons libres
  Instabilité magnétique de Stoner
  Effets Hall quantiques
Moment magnétique classique
moment magnétique élémentaire
!!" !!"
dµ = I dS
!!"
dµ
dS
anneau de courant = dipôle magnétique
orienté perpendiculairement au plan de l’anneau
I
Sous champ B:
force de Laplace (charge ponctuelle):
force agissant sur un fil dr:
!!"
dF 2
i
!!!"
"
dM i,F/O = 0
si
!" !!"
B / /d µ
!!"
dF 1
!"
B
xO
!!"
dF 4
dr
!!"
dF
!"
" !"
" !"
" !"
d F = dn ! ev " B = ! dr ! ev " B = Idr " B
sur un contour fermé
!!!" "
! dFi = 0
!"
" !"
F = qv ! B
[µ ] = A.m 2
!!"
dF 3
!"
B
Moment magnétique classique
cas général:
!!"
dµ
!!!" "
! dFi = 0
!!"
dF 1
!!!"
"
dM i,F/O ! 0
i
!!!"
dM 1,F/O
un couple s’exerce sur la boucle
couple résultant:
!!"
dµ
!"
et B non-colinéaires
!"
B
!!!" !!!"
!!!"
!!" !"
dC = dM 1,F/O + dM 3,F/O = d µ ! B
mouvement de précession du moment
!!"
dµ
Précession classique de Larmor
!"
autour du champ B
!"
B
!!"
dµ
z
!!"
dF 3
!!!"
dM 3,F/O
y
x
Lien avec le moment cinétique
!!"
dµ
mouvement de charge = mouvement de masse
moment cinétique associé
!" !"
µ =!L
!"
" "
L = mr ! v
!" !" !!"
µ / /L / /dS
!!" !!"
dµ = I dS
dS
γ: facteur gyromagnétique I
équation du mouvement: théorème du moment cinétique
!"
!!" !" !"
dL
= "M = µ ! B
dt
!"
!" !"
dµ
=!µ !B
dt
dynamique classique du moment magnétique
(pas de dissipation)
modèle classique de l’orbite électronique circulaire
!"
µ
!"
" !" "
!
2
L = mr ! ! ! r = m! r u z
!"
L
!"
"
! e! r 2 !
!
2
µ = IS = e
! " r uz =
uz
2"
2
!" e !"
µ=
L
2m
! "! !
v = ! !r
x
note: e<0 donc
direction opposée!
!"
e !"
µ =!
L
2m
Aimantation et énergie magnétique
!"
! !!"
B = µ 0 (H + M )
µ0 = 4π.10-7 V s A-1 m-1
H
!"
B induction magnétique (T)
!"
!
H champ magnétique (A.m-1)
!!"
M aimantation (A.m-1)
!!" 1 !"
!"
!!"
3
assemblée de moments magnétiques: M = ! µ i
µ = ! d rM (r)
V i
travail du couple magnétique:
!" !
W = ! C.d! =
"
!"
µ
"
! C d! = ! µ Bsin! d! = µ B(1" cos" )
0
0
énergie potentielle
!" !"
U = !µ.B
note: n’inclut pas l’énergie électromagnétique
moment magnétique
!"
"U
µ = ! !"
!B
!"
B
ϕ
!" !" !"
C = µ!B
assemblée de moments magnétiques
! !"
!!" !"
1 !"
U = ! " µi .B = !M .B
V i
!!"
"U
!"
M
=
!
aimantation
!B
Thermodynamique d’un système magnétique
classique
Energie interne
Note: à T=0K
dU = TdS ! MdB
Energie libre
M =!
dF = !SdT ! MdB
F = U ! TS
"U
"F
=!
"B
"B
Fonction de partition d’un système de N électrons
Z=
" dr ... " dr " dp ... " dp
1
N
énergie interne
entropie
U
1
N
e
avec
! !U (r1.... pN )
dr ... " dr " dp ... " dp U(r .... p
"
=
1
N
1
Z
S = !kB " dr1... " drN
1
N
1
k BT
)e! !U (r1.... pN )
=!
1 #Z
#ln Z
=!
Z #!
#!
" dp1... " dpN P(r1... pN )ln P(r1.... pN ) = kB ln Z +
! !U (r1.... pN )
e
avec P(r ... p ) =
1
N
Z
énergie libre
N
!=
F = !kBT ln Z
U
T
# "F &
# "ln Z &
M
=
!
=
k
T
% (
(
aimantation
B %
$ "B 'T
$ "B 'T
Magnétisme classique?
Théorème de Bohr-van Leeuwen: de l’impossibilité d’une aimantation macroscopique
dans un système électronique classique (1911 Bohr / 1919 van Leeuwen)
Z=
" dr ... " dr " dp ... " dp
1
N
1
N
e! !U (r1.... pN )
Impulsion généralisée sous champ magnétique
!" !" !"
p ! p " eA
Z est inchangé car uniquement un décalage de l’intégration sur les p
Z et F sont indépendants de A (B)
# "F &
# "ln Z &
M = ! % ( = k BT %
( =0
$ "B 'T
$ "B 'T
image classique:
compensation des moments magnétiques du volume
par le moment magnétique associée aux orbites
périphériques qui font « des ricochets »
Origine quantique du magnétisme électronique
La présence de moments magnétiques électroniques doit être justifiée
d’un point de vue quantique
QUANTUM MECHANICS
THE KEY TO UNDERSTANDING MAGNETISM
Nobel Lecture, 8 December, 1977
J.H. VAN VLECK
Harvard University, Cambridge, Massachusetts, USA
existence of magnetic
materials
hasessentiellement
been known almost since
prehistoric
Le The
magnétisme
est un
effet
quantique
2
- 
- 
times, but only in the 20th century has it been understood how and why the
magnetic susceptibility is influenced by chemical composition or crystallostructure. In the 19th century the pioneer work of Oersted, Ampere,
types de graphic
magnétisme:
Faraday and Joseph Henry revealed the intimate connection between electricity and magnetism. Maxwell’s classical field equations paved the way for the
Magnétisme
itinérant: les électrons sont délocalisés (métaux). espace
wireless telegraph and the radio. At the turn of the present century Zeeman
and Lorentz received the second Nobel Prize in physics for respectively
Magnétisme
localisé:
espace
réel of(isolants/
interactions
fortes)
observing
and explaining
in terms
classical theory
the so-called
normal
Zeeman effect. The other outstanding early attempt to understand magnetism
at the atomic level was provided by the semi-empirical theories of Langevin
and Weiss. To account for paramagnetism, Langevin (1) in 1905 assumed in
a purely ad hoc fashion that an atomic or molecular magnet carried a per-
des k (bandes)
Magnétisme atomique quantique
électron de l’atome d’H sous champ magnétique
!
p2
H0 =
+V (r )
2m
"
1 !" !" 2
e !" !" !" !" e 2 2
H=
( p ! eA) +V (r ) = H 0 !
(A. p + p.A) +
A
2m
2m
2m
!" !" !" !" !" !" # !" !" !" !"
!" !" # !"
relation d’anti-commutation
A. p + p.A = A. p + (!.A + A.!) = 2A. p + !.A
i
!"
! !"
!" !"
!" !" i
!" # !"
p= !
i
e<0
!.(A! ) = !.A! + A.!!
!" "
!" B ! r
jauge de Coulomb A =
2
!" !" 1 !" !" " 1 !" !" " !" !" "
!.A = !.(B " r ) = ((! # B).r $ B.(! # r )) = 0
2
2
!" " !"
!
"
!
"
e
e 2
e (B " r ). p e 2 !" " 2
H = H 0 ! A. p +
A = H0 !
+
(B " r )
m
2m
m
2
8m
si B est constant
moment cinétique
"# # "#
!L = r ! p
!" " !" !" " !"
!" !"
relation cyclique (B ! r ). p = B.(r ! p) = B.L
!" !" e 2 !" " 2
!e "# "# e 2 "# # 2
H = H0 !
B.L +
(B " r ) = H 0 + µ B B.L +
(B " r )
2m
8m
8m
µB =
!e
2m
Magnéton de Bohr
Diamagnétisme et paramagnétisme
!" !" e 2 !" " 2
!e
!24
!1
!5
!1
µ
=
=
9.27.10
J.T
=
5.8.10
eV.T
B
H = H 0 + µ B B.L +
(B ! r )
2m : magnétisme atomique
8m V.1 Le magnétisme localisé
terme paramagnétique Hz en B
Modèle de l'atome en mécanique quanti
terme diamagnétique Hdia en B2
Description Hartree-Fock
l=0
états propres de H0
!
! (r ) = R nl (r).Y lm (" ,# )
Partie radiale
l=1
!
!
!
moment
orbital
total: L = !
bons
nombres
quantiques
pour
l et m de spin total: S = !
li H0: n,
moment
• 
• 
l=2
Harmonique sphérique
i
orbitales: 1s (n=0, l=0), 2s (n=1, l=0) , 2p (n=1, l=1), etc…
dégénérescence: 2l+1
i
états d'orbites tous occupés
m -2 -1 0 1 2
L = 0 !H
Sous-couches pleines :
sz
S=0
états de spin tous occupés
Di
Diamagnétisme et paramagnétisme
!" !" e 2 !" " 2
H = H 0 + µ B B.L +
(B ! r )
8m
µB =
!e
= 9.27.10 !24 J.T !1 = 5.8.10 !5 eV.T !1
2m
H Z (1T ) ! 0.1meV
terme paramagnétique Hz
!"
!"
H z = !µ para .B
!"
µ para
!"
!"
µ para = !µ B .L
abaissement de l’énergie si
!"
B
1
!"
L
!"
!"
µ para / /B
similaire au cas classique mais L est quantifié!
-1
• 
• 
moment magnétique permanent
levée de dégénérescence E(ml): effet Zeeman
L2 l, ml = l(l +1) l, ml
Lz l, ml = ml l, ml
ml=1
ml ! ["l, l ]
l=1
B=0
ml=0
ml=-1
B≠0