Simplicité du groupe alterné

D´eveloppement n◦34/74 Benjamin Groux
Simplicit´e du groupe altern´e
Mon d´eveloppement
Lemme.
(i) Les produits de deux transpositions disjointes sont conjugu´es dans A5.
(ii) Les 3-cycles sont conjugu´es dans Anlorsque n≥5.
Soient n≥3, a1,...,an−2des ´el´ements distincts de {1,...,n}et b1,...,bn−2des ´el´ements
distincts de {1,...,n}´egalement. Il existe alors σ∈Antelle que σ(ai) = bipour tout
i∈J1, n −2K.
En effet, en ´ecrivant
{1,...,n}={a1,...,an−2, an−1, an}={b1,...,bn−2, bn−1, bn}
et en notant σl’application envoyant tout aisur bi, l’une des deux permutations σou
σ(an−1an) est paire, donc l’une des deux convient.
Ainsi, soient σ, σ′deux produits de deux transpositions disjointes. On note σ= (ab)(cd)(e)
et σ′= (a′b′)(c′d′)(e′). D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il existe τ∈A5telle que τ(a) = a′,τ(b) = b′
et τ(e) = e′. On a alors τστ −1=σ′.
Les produits de deux transpositions disjointes sont donc conjugu´es dans A5.
De mˆeme, soient σ= (abc) et σ′= (a′b′c′) deux 3-cycles dans An,n≥5. Il existe τ∈An
telle que τ(a) = a′,τ(b) = b′et τ(c) = c′, et on a alors τ στ−1=σ′.
Les 3-cycles sont donc conjugu´es dans Anlorsque n≥5.
Proposition. Soit n∈N∗. Le groupe altern´e Anest simple si et seulement si n6= 4.
•Lorsque n≤3, il est ´evident que Anest simple.
•Le groupe A4est constitu´e de 12 ´el´ements : l’identit´e, 3 produits de deux transpositions
disjointes et 8 cycles d’ordre 3. Le sous-groupe
H={Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
engendr´e par les doubles transpositions est distingu´e dans A4puisque, si τest une double
transposition et σ∈A4, alors στ σ−1est encore une double transposition.
Le groupe A4n’est donc pas simple.
•Le groupe A5poss`ede 60 ´el´ements : l’identit´e, 15 produits de deux transpositions dis-
jointes (´el´ements d’ordre 2), 20 cycles d’ordre 3 et 24 cycles d’ordre 5. D’apr`es le lemme, les
´el´ements d’ordre 2 sont conjugu´es dans A5, de mˆeme pour les ´el´ements d’ordre 3.
Soit Hun sous-groupe distingu´e de A5, distinct de {Id}.
D’apr`es la remarque pr´ec´edente, si Hcontient un ´el´ement d’ordre 2, alors il les contient tous.
De mˆeme pour les ´el´ements d’ordre 3.
De plus, si Hcontient un ´el´ement d’ordre 5, not´e σ, alors il contient le 5-Sylow < σ >, donc,
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les 5-Sylow ´etant conjugu´es entre eux, Hcontient tous les 5-Sylow de A5, donc Hcontient
tous les ´el´ements d’ordre 5.
En conclusion, si Hcontient un ´el´ement diff´erent de l’identit´e, alors il contient tous les
´el´ements ayant le mˆeme ordre.
Comme Card(H) divise Card(A5) = 60, et 16, 21, 25 ne divisent pas 60, Hne peut conte-
nir exactement un des trois types d’´el´ements pr´ec´edents (en plus de l’identit´e). Hcontient
donc au moins deux des trois types d’´el´ements, donc Card(H)≥1 + 15 + 20 = 36. Puisque
Card(H) divise 60, on en d´eduit que Card(H) = 60 et que H=A5.
Finalement, le groupe A5est simple.
•On consid`ere d´esormais le cas o`u n > 5. On note E={1,...,n}.
Soit Hun sous-groupe distingu´e de Andistinct de {Id}.
Il existe un ´el´ement σ∈H\ {Id}. Cet ´el´ement n’´etant pas l’identit´e, il existe a∈Etel
que b=σ(a) soit distinct de a. Soient c∈E\ {a, b, σ(b)}et τ= (acb). Comme b=σ(a),
l’ensemble F={a, b, c, σ(a), σ(b), σ(c)}contient au plus 5 ´el´ements.
Soit ρ=τστ−1σ−1= (acb)(σ(a)σ(b)σ(c)).
On a
–ρ(F) = F,
– pour tout d∈E\F,ρ(d) = d,
–ρ6= Id, puisque ρ(b) = τ σ(b)6=τ(c) = b,
–ρ∈H, puisque τ στ−1∈Het σ−1∈H.
De plus, quitte `a rajouter des ´el´ements `a F, on peut supposer que |F|= 5, ce qui ne change
pas les quatre propri´et´es ci-dessus. Alors, l’ensemble A(F) des permutations paires de Fest
isomorphe `a A5.
On note Al’ensemble des u∈Antels que pour tout d∈E\F,u(d) = d.Aest clairement
un sous-groupe de An. On note alors
π:A→A(F)
u→u|F
F
.
πest bien d´efini, c’est un morphisme de groupes, il est clairement injectif et surjectif, donc
c’est un isomorphisme. On en d´eduit que Aest isomorphe `a A5, donc Aest simple d’apr`es
le point pr´ec´edent.
Soit H0=A∩H.H0est un sous-groupe de Aet il est distingu´e dans A. En effet, pour
tous u∈Aet v∈H0,uvu−1appartient `a Aet `a H(car Hest distingu´e dans An), donc `a
H0.
De plus, ρappartient `a H0et ρ6= Id, donc H06={Id}.A´etant simple, on en d´eduit que
H0=A, et donc A⊂H.
Par cons´equent, Hcontient le 3-cycle τ.H´etant distingu´e dans Anet les 3-cycles ´etant
conjugu´es dans An(point (ii) du lemme), Hcontient tous les 3-cycles. Le groupe An´etant
engendr´e par les 3-cycles, on en d´eduit que Hcontient An, donc H=An.
En conclusion, on a montr´e que Anest simple pour n > 5.
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R´ef´erences
J’ai utilis´e [Per96, pp. 15, 28]. On peut aussi consulter [Jac74, p. 240].
Le¸cons correspondantes
J’utilise ce d´eveloppement pour les le¸cons 103, 104, 105. On peut ´egalement l’utiliser pour
la le¸con 108.
Remarques
– Implicitement, on a utilis´e `a plusieurs reprises la formule τ(a1. . . ap)τ−1= (τ(a1). . . τ(ap)).
– On utilise le th´eor`eme de Sylow (voir [Per96, p. 19]) pour la simplicit´e de A5. Comme
il l’est mentionn´e dans [Per96, p. 29], il est possible de se passer de cet argument, ce
qui est pr´ef´erable afin d’´eviter l’utilisation d’un ≪gros ≫th´eor`eme.
– Si ce d´eveloppement est pr´esent´e dans la le¸con 108, il faut insister sur le rˆole des parties
g´en´eratrices et ´eventuellement modifier la pr´esentation.
– Un autre d´eveloppement classique consiste `a d´emontrer que A5est le seul groupe simple
d’ordre 60. Voir [Ort04, p. 91] par exemple.
Questions possibles
1. Peut-on g´en´eraliser le point (i) du lemme `a An?
2. Les cycles d’ordre 5 sont-ils conjugu´es dans A5?
3. ´ Etudier la conjugaison des 3-cycles dans A3et A4.
4. Le groupe A4est-il simple ?
5. Montrer que les sous-groupes distingu´es de Snsont {Id},Anet Sn.
6. Montrer que pour tout n≥5, Snn’est pas r´esoluble.
7. Expliquer comment on calcule le nombre de doubles transpositions dans A5. Indication :
´etudier le commutant des doubles transpositions dans A5.
R´ef´erences
[Jac74] Nathan Jacobson :Basic algebra I. W. H. Freeman and Company, 1974.
[Ort04] Pascal Ortiz :Exercices d’alg`ebre. Ellipses, 2004.
[Per96] Daniel Perrin :Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.
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