Calculs d`intégrales - Exo7

Exo7
Calculs d’intégrales
Fiche d’Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida
1 Utilisation de la définition
Exercice 1
Soit fla fonction définie sur [0,4]par
f(x) =
−1 si x=0
1 si 0 <x<1
3 si x=1
−2 si 1 <x62
4 si 2 <x64.
1. Calculer R4
0f(t)dt.
2. Soit x∈[0,4], calculer F(x) = Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur [0,4]. La fonction Fest-elle dérivable sur [0,4]?
Correction HVidéo [002081]
Exercice 2
Soient les fonctions définies sur R,
f(x) = x,g(x) = x2et h(x) = ex,
Justifier qu’elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné de R. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégrales R1
0f(x)dx,R2 1g(x)dx et Rx 0h(t)dt.
Indication HCorrection HVidéo [002082]
Exercice 3
Soit f:[a,b]→Rune fonction continue sur [a,b](a<b).
1. On suppose que f(x)>0 pour tout x∈[a,b], et que f(x0)>0 en un point x0∈[a,b]. Montrer que
Rb
af(x)dx >0. En déduire que : «si fest une fonction continue positive sur [a,b]telle que Rb af(x)dx =0
alors fest identiquement nulle».
2. On suppose que Rb
af(x)dx =0. Montrer qu’il existe c∈[a,b]tel que f(c) = 0.
3. Application : on suppose que fest une fonction continue sur [0,1]telle que R1
0f(x)dx =1
2. Montrer
qu’il existe d∈[0,1]tel que f(d) = d.
Indication HCorrection HVidéo [002085]
Exercice 4
Soit f:R→Rune fonction continue sur Ret F(x) = Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes :
1

1. Fest continue sur R.
2. Fest dérivable sur Rde dérivée f.
3. Si fest croissante sur Ralors Fest croissante sur R.
4. Si fest positive sur Ralors Fest positive sur R.
5. Si fest positive sur Ralors Fest croissante sur R.
6. Si fest T-périodique sur Ralors Fest T-périodique sur R.
7. Si fest paire alors Fest impaire.
Correction HVidéo [002091]
2 Calculs de primitives
Exercice 5
Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
1. Rx2lnx dx
2. Rxarctanx dx
3. Rlnx dx puis R(lnx)2dx
4. Rcosxexpx dx
Indication HCorrection HVidéo [006864]
Exercice 6
Calculer les primitives suivantes par changement de variable.
1. R(cosx)1234 sinx dx
2. R1
xlnxdx
3. R1
3+exp(−x)dx
4. R1
√4x−x2dx
Indication HCorrection HVidéo [006865]
Exercice 7
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2
x2−3x−4dx
2. Rx−1
x2+x+1dx
3. Rsin8xcos3x dx
4. R1
sinxdx
5. R3−sinx
2cosx+3tanxdx
Indication HCorrection HVidéo [006866]
3 Calculs d’intégrales
Exercice 8
Calculer les intégrales suivantes :
1. Rπ
2
0xsinx dx (intégration par parties)
2. R1
0ex
√ex+1dx (à l’aide d’un changement de variable simple)
2

3. R1
01
(1+x2)2dx (changement de variable x=tant)
4. R1
03x+1
(x+1)2dx (décomposition en éléments simples)
5. R2
1
21+1
x2arctanx dx (changement de variable u=1
x)
Indication HCorrection HVidéo [006867]
Exercice 9
Calculer les intégrales suivantes :
Zπ
2
0
1
1+sinxdx et Zπ
2
0
sinx
1+sinxdx.
Indication HCorrection HVidéo [002095]
Exercice 10 Intégrales de Wallis
Soit In=Zπ
2
0(sinx)ndx pour n∈N.
1. Montrer que In+2=n+1
n+2In. Expliciter In. En déduire R1
−11−x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer que In∼In+1
3. Simplifier In·In+1. Montrer que In∼pπ
2n. En déduire 1·3···(2n+1)
2·4···(2n)∼2pn
π.
Indication HCorrection HVidéo [002096]
Exercice 11
Soit In=Z1
0
xn
1+xdx.
1. En majorant la fonction intégrée, montrer que limn→+∞In=0.
2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n→+∞ n
∑
k=1
(−1)k+1
k!.
Indication HCorrection HVidéo [002097]
4 Applications : calculs d’aires, calculs de limites
Exercice 12
Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation y=x2
2et y=1 1+x2.
Indication HCorrection HVidéo [002099]
Exercice 13
Calculer l’aire intérieure d’une ellipse d’équation :
x2
a2+y2 b2=1.
Indications. On pourra calculer seulement la partie de l’ellipse correspondant à x>0, y>0. Puis exprimer y
en fonction de x. Enfin calculer une intégrale.
Indication HCorrection HVidéo [006863]
Exercice 14
Calculer la limite des suites suivantes :
3

1. un=n
n−1
∑
k=0
1
k2+n2
2. vn=
n
∏
k=11+k2
n21
n
Indication HCorrection HVidéo [002100]
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exercices de maths sur
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4

Indication pour l’exercice 2 N
Les fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ?
Il faut se souvenir de ce que vaut la somme des npremiers entiers, la somme des carrés des npremiers entiers
et la somme d’une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est que Rb
af(x)dx est
la limite (quand n→+∞) de
Sn=b−a
n
n−1
∑
k=0
fa+kb−a
n.
Indication pour l’exercice 3 N
1. Revenir à la définition de la continuité en x0en prenant ε=f(x0)
2par exemple.
2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n’est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...).
3. On remarquera que R1
0f(x)dx −1
2=R1
0(f(x)−x)dx.
Indication pour l’exercice 5 N
1. Pour Rx2lnx dx poser v0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanx dx poser v0=xet u=arctanx.
3. Pour les deux il faut faire une intégration par parties avec v0=1.
4. Pour Rcosxexpx dx il faut faire deux intégrations par parties.
Indication pour l’exercice 6 N
1. Rcos1234 xsinx dx =−1
1235 cos1235 x+c(changement de variable u=cosx)
2. R1
xlnxdx =ln|lnx|+c(changement de variable u=lnx)
3. R1
3+exp(−x)dx =1
3ln(3expx+1) + c(changement de variable u=expx)
4. R1
√4x−x2dx =arcsin1
2x−1+c(changement de variable u=1 2x−1)
Indication pour l’exercice 7 N
1. Rx+2
x2−3x−4dx =−1
5ln|x+1|+6 5ln|x−4|+c(décomposition en éléments simples)
2. Rx−1
x2+x+1dx =1
2ln|x2+x+1|−√3arctan2
√3x+1
2+c
3. Rsin8xcos3x dx =1
9sin9x−1 11 sin11 x+c
4. R1
sinxdx =1 2ln1−cosx 1+cosx+c=lntan x 2+c(changement de variable u=cosxou u=tan x 2)
5. R3−sinx
2cosx+3tanxdx =−1 5ln|2−sinx|+7 5ln|1+2sinx|+c(changement de variable u=sinx)
Indication pour l’exercice 8 N
1. Rπ
2
0xsinx dx =1 (intégration par parties v0=sinx,u=x)
2. R1
0ex
√ex+1dx =2√e+1−2√2 (à l’aide du changement de variable u=ex)
3. R1
01
(1+x2)2dx =π
8+1 4(changement de variable x=tant,dx = (1+tan2t)dt et 1 +tan2t=1
cos2t)
4. R1
03x+1
(x+1)2dx =3ln2 −1 (décomposition en éléments simples de la forme 3x+1 (x+1)2=α
x+1+β
(x+1)2)
5