T.P. 6 – Probabilités et ensembles Rappels théoriques

T.P.6 2006-2007 1/28
T.P. 6 – Probabilités et ensembles
Rappels théoriques
Traduction française des notations mathématiques :
Français Ensemble
Et
∩
Inter (Intersection)
Ou (ou inclusif)
∪
Union
Si… ; ou Etant donné... ; ou sous la condition que… ... Sachant que…
Ou exclusif (exclut l’intersection)
∆
Delta
Non ~
Une expérience aléatoire est une action ou un processus qui, lors de chaque réalisation,
engendre 1 et 1 seul événement particulier parmi un ensemble d’événements possibles.
Ω
(oméga) est l’ensemble de toutes les réalisations d’une expérience aléatoire. C'est ce
qu'on appelle l'ensemble fondamental ou espace-échantillon.
Soit E un événement aléatoire de
Ω
(une réalisation de l’expérience aléatoire). Notons
∼E (non E) le complémentaire de E dans
Ω
, alors
P (∼E) = 1 - P(E)
Des événements peuvent être :
- mutuellement exclusifs : l’occurrence d’un événement exclut l’occurrence de l’autre
événement (P(A
∩
B) = 0)
- exhaustifs : un ensemble d’événements est dit exhaustif s’il inclut tous les résultats
possibles
- équiprobables : tous les événements ont la même probabilité de se produire
Si les N événements élémentaires constituants un espace échantillon ont tous la même
probabilité de se produire, qu’ils sont exclusifs et exhaustifs, alors la probabilité d’un
évènement E (notée P(E)) est le nombre de cas favorables de E divisé par le nombre de cas
possibles.
P(E) =
N
En)(
Par exemple pour une pièce parfaitement équilibrée, le nombre de possibilités de tomber sur
pile est de 1. L’unique autre possibilité étant face, le nombre total de possibilités est de 2. On a
donc une probabilité de ½=0.5. Le nombre de cas favorables est évidemment toujours inférieur
ou égal au nombre de cas possibles de sorte que la probabilité est toujours comprise entre 0 et
1. En la multipliant par 100, on pourra éventuellement la transformer en pourcentage.
Pour qu’il soit question de probabilité, il faut évidemment qu’il soit question de hasard. C’est-
à-dire que l’évènement ne soit pas sûr. Ce qui veut dire que si l’on regarde une pièce de
monnaie tombée sur le côté face, inutile de se demander quelle est la probabilité d’occurrence,
elle est de 100% puisque c’est fait, et qu’il est sûr qu’elle est tombée du côté face. On peut en
tirer une règle d’or : les probabilités n’ont pas de mémoire. Peu importe ce qui s’est passé
avant le moment où on calcule, cela n’influe pas sur la probabilité future. A la roulette par
exemple, même si le rouge vient de sortir 10 fois, la onzième fois sa probabilité de sortie est
toujours de 18/37 soit un peu moins de 50% (parce qu’il y a le zéro qui rend les organisateurs
riches).

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T.P. 6 - Exercice 1
Tirage d’une carte
Connaissances préalables :
Buts spécifiques :
Outils nécessaires :
Consignes générales :
Notions classiques de probabilité.
Calcul de probabilité d’événements.
Papier-Crayon.
Donnez successivement les résultats sous forme de fraction et sous forme de
décimale avec une précision de deux décimales.
On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Quelle est la probabilité de
prélever :
1. une carte rouge
Réponse :
2. un trèfle
Réponse :
3. un as
Réponse :
4. un roi noir
Réponse :
5. la dame de coeur
Réponse :

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T.P. 6 - Exercice 2
Familles de trois enfants
Connaissances préalables :
Buts spécifiques :
Outils nécessaires :
Consignes générales :
Notions classiques de probabilité.
Calcul de probabilité d’événements.
Papier-Crayon.
Donnez successivement les résultats sous forme de fraction et sous forme de
décimale avec une précision de deux décimales.
Supposons que, dans les familles de trois enfants, les 8 cas suivants soient également possibles :
GGG, GGF, FGG, GFG, GFF, FGF, FFG, FFF (où, par exemple, GGF représente l’événement
« avoir un garçon pour aîné, un garçon comme deuxième enfant et une fille comme
benjamine »). Trouvez les probabilités des événements suivants :
1. avoir exactement un garçon
Réponse :
2. avoir un garçon comme aîné
Réponse :
3. avoir un garçon comme aîné et une fille comme benjamine
Réponse :
4. avoir exactement deux garçons
Réponse :

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5. avoir au moins un garçon
Réponse :
6. avoir au moins deux garçons
Réponse :
7. avoir au plus un garçon
Réponse :
8. avoir plus de garçons que de filles
Réponse :
9. avoir au moins une fille et un garçon
Réponse :
10. n’avoir aucune fille plus jeune qu’un garçon
Réponse :

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T.P. 6 – Exercice 3
Probabilité d’un événement
composé d’alternatives inclusives
Connaissances préalables :
Buts spécifiques :
Outils nécessaires :
Consignes générales :
Probabilité d’événements
Dénombrement sur un diagramme de Venn. Calcul algébrique. Règle d’addition.
Papier/crayon.
Procédez méthodiquement.
Rappel théorique
Règle d’addition = probabilité qu’au moins un des 2 événements se produise:
- Si A et B sont 2 événements quelconques :
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
∩
−
+
=
∪
- Si A et B sont deux événements mutuellement exclusifs :
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
+
=
∪
(= principe d'addition au sens restreint dans le cours théorique).
Dans cet exercice, on propose d’examiner la probabilité d’un événement composé d’alternatives
inclusives (réunion) entre deux ou trois événements (donc 3 événements quelconques, non
mutuellement exclusifs) A, B, C. Les formules demandées doivent permettre de calculer cette
probabilité à partir des probabilités de ces événements et de leurs conjonctions
B
A
∩
, CA
∩
,
CB
∩
, CBA
∩
∩
.
Dans les deux premières questions, on demande d’utiliser un diagramme de Venn pour
visualiser la décomposition des événements.
1. Donnez la formule permettant de calculer la probabilité de
B
A
∪
.
Diagramme de Venn :
Formule: