Mesures, Erreurs, Incerktudes dans les Sciences Expérimentales

15/01/16
Mesures,Erreurs,Incer,tudes
danslesSciencesExpérimentales
ClaireBordesetPierreLantéri
EquipeChimiométrieetChimieThéorique,
Ins9tutdesSciencesAnaly9quesUMR5280
Resp.MasterChimieSpécialitéFormula(onetChimieIndustrielle
1
Lamesureexpérimentale
MesurandeX:grandeurquel’onveutmesurerougrandeursoumiseàmesurage.
Mesurage:ensembledesopéra9onsquipermeVentd’obtenirunevaleurdeX.
ToutemesureexpérimentaleappeléeXiestenréalitélasommededeuxtermes:
Xi=hi+ei
hi=valeurvraie=constante
ei=erreurdemesurequiestunevariablealéatoire
Gaussamontréquel’erreurexpérimentalesuivaitdemanièreuniverselleuneloi
de distribu,on (qui porte son nom …) et qui dépend de deux paramètres : la
moyenneetl’écart-type
2
1
15/01/16
LaloiNormale(ouloideGauss)
Saformeanaly,queest:
MOYENNE
Lamoyenne« m »estunevaleur
représenta(ved'unensemblede
ndonnées.
VARIANCE(x)=(s2)
« s »estappelél’écart-type
1 x- m 2
1
y=
s
s 2p e 2
n
µ=
∑x
i =1
i
n
S(xi-m)2
n
s2=
3
LaloiNormale(ouloideGauss)
Unedistribu9onsymétriquecentréesurlamoyenneetprésentantdeuxpointsd’inflexion
Pointd’inflexion
delacourbe Moyenne
Densitéde
Probabilité
+
(fonc9on)=1
-
-
Ecarttype
+
Abscisseenvariablenaturellex
Lespointsd’inflexionsontobtenuspourlesabscissescorrespondant
àlamoyenne±1écart-type(s)
4
2
15/01/16
PropriétésdelaloiNormale
Probabilitép2pourqu’une
valeurdexsoitinférieureàx2
Probabilitép1pourqu’une
valeurdexsoitinférieureàx1
x
x1
x
x2
x2
x1
x
p2-p1=Probabilitépourqu’unevaleur
dexsoitcompriseentrex1etx2
5
PropriétésdelaloiNormale
Encadrementssymétriquesdelamoyenne
0,6827
Probabilité=68,27%pour quexsoit
comprisdansl’intervalle m 1 s 0,9545
Probabilité=95,45%pour quexsoit
comprisdansl’intervalle m 2 s 6
3
15/01/16
Intervallesdeconfiance
0,9973
Probabilité=99,73%pour quex
soitcomprisdansl’intervalle m 3 s Pourencadrerunrésultatonparlerad’intervalledeconfiance:
il y a plus de 99% de chances d’obtenir un résultat dans
l’intervalle[moyenne-3s , moyenne+3s ].
7
LaloiNormalestandard
variablecentréeréduite z =
x-m
s
+
Moyenne=0
Probabilité«p»
(fonc9on)=1
-
écarttype=1
-
-3-2-10123z
+
z
Abscisseenvariablecentréeréduite
OntrouvedanslaliVératureladistribu9ondelavariablezsousformedetables
8
4
15/01/16
LaloiNormalestandard
0,9546
0,6827
Probabilité=68,27%pour quez
soitcomprisdansl’intervalle 1
Probabilité=95,46%pour quez
soitcomprisdansl’intervalle 2
0,9973
Probabilité=99,73%pour quez
soitcomprisdansl’intervalle 3
9
Enpra,que:u9lisa9ondelaloisousformede
tables:
Probabilitép2 pourqu’une
valeurdexsoit
inférieure àz
àx2
valeursoitinférieure
LoiNORMALE (extraits)
z
-2
.5
-2
.4
-2
.3
-2
.2
-2
.1
-2
0
0.0062
0.0082
0.0107
0.0139
0.0179
0.0228
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.01
0.0060
0.0080
0.0104
0.0136
0.0174
0.0222
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.992
0
0.9940
0.02
0.0059
0.0078
0.0102
0.0132
0.0170
0.0217
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
Probabilité0,0228
pourqu’une
valeurdezsoitinférieureà-2
-2
z
0.03
0.0057
0.0075
0.0099
0.0129
0.0166
0.0212
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.04
0.0055
0.0073
0.0096
0.0125
0.0162
0.0207
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.05
0.0054
0.0071
0.0094
0.0122
0.0158
0.0202
0.06
0.0052
0.0069
0.0091
0.0119
0.0154
0.0197
0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 Probabilité0,9772pourqu’une
valeurdezsoitinférieureà+2
+2
0.07
0.0051
0.0068
0.0089
0.0116
0.0150
0.0192
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
z
0.08
0.0049 0.0066 0.0087 0.0113 0.0146 0.0188 0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.09
0.0048
0.0064
0.0084
0.0110
0.0143
0.0183
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0,9546
Probabilité=0,9546
z (95,46%)
pour que-2<z<+2
10
5
15/01/16
Représenta,ondel’erreurexpérimentaleei
C’estunedistribu9ondeGausscentréesurzéro
(l’échelledesabscissesestenunitésd’écart-type)
0
En moyenne, l’erreur est
nulle:0
s
La dispersion de "ei" est
mesurée par sa variance :
var(ei)=s2
-3
ouparl’écart-types.
-2
-1
1
2
3
68,27%
95,45%
99,73%
Lavariancedel’erreurestaussilavarianceexpérimentaledelamesure
11
Evalua,onetes,ma,ondel’erreurexpérimentaleei
L’erreurexpérimentaleapourpropriétéd’avoirunemoyennenulle;ones9mesadispersionen
répétantplusieursfoislamesure.Oncalculealorslavarianceetl’écart-typedelasériedes
valeursrépétéesquisontlavarianceetl’écart-typedel’erreurexpérimentale.
Justesse : d’une manière générale, on peut définir l’erreur de
justesse comme la composante systématique de l’erreur d’un
instrument ou d’un système de mesure.
Une méthode est “ juste ” si elle conduit à des résultats dont la
moyenne est égale à la vraie grandeur à mesurer La méthode alors
n’a pas d’erreur systématique et l’erreur aléatoire a « zéro » pour
moyenne (ce qui signifie que l’erreur est “nulle en moyenne ”.
Fidélité : d’une manière générale, on peut définir l’erreur de fidélité
comme la composante aléatoire de l’erreur d’un instrument ou d’un
système de mesure.
La fidélité caractérise l’étroitesse de l’accord entre les valeurs
expérimentales obtenues au cours d’un ensemble d’expériences faites
dans des conditions déterminées (étroitesse de l’accord entre des
mesures effectuées sur des prises multiples d’un même échantillon
homogène). La fidélité d’une méthode s’exprimera donc par sa
variance, son écart-type ou parfois par son coefficient de variation
(rapport entre l’écart-type et la moyenne, exprimé sous forme de
pourcentage).
12
6
15/01/16
Intervalledeconfianced’unemesure
•  Uneseulemesure:enappliquantlaloideGausspourunemesureindividuelle,l’intervalle
deconfianceestx zs
zétantunevaleurtabuléedelaloideGaussfonc9ondelaconfiancequel’onveutaccorderaurésultat(zest
d’environ2pour95%deconfiance)
•  Plusieursmesures(unemesurerépétéenfois):onremplacelamesureindividuelleparla
moyennedesmesures​𝑥 =​∑↑▒​𝑥↓𝑖 /𝑛 ;ceVemoyenneestaussicentréesurlavaleurvraie
maissadispersionestplusfaibleetsonécart-typevaut​ /√⁠𝑛 L’intervalledeconfianceest​𝑥 ±z​ /√⁠𝑛 etlamesureseraplusprécise.
NB:sinest«pe(t»onu(liseàlaplacedezunevaleur«t»deStudentquicorrespondàunélargissementde
l’erreur;testaussiunevaleurtabuléefonc(ondelaconfiance.L’intervalledeconfiancesera​𝑥 ±t​ /√⁠𝑛 ,(pour
5répé((onset95%deconfiancet=2,77).
13
Autretyped’erreur:l’erreursystéma,que
L’erreursystéma,que(encoreappelée«biais»)estdueàl’instrumenta9on(malréglée)ouà
laméthodedemesure.
Elle mesure l’écart entre la mesure obtenue et une référence absolue. Elle est difficile à
détectersil’onnepossèdepasderéférence(commeunétalonouunmatériauderéférence
cer9fié).
Elle agit toujours dans le même sens (en excès ou en défaut) d’où son appella9on de
« systéma9que »; si l’on arrive à la connaître, on pourra soustraire ou ajouter la valeur
correspondante.Ellen’intervientpasdansl’intervalledeconfiance.
14
7
15/01/16
Quelquesdéfini,onsu,les
Répétabilité : c’est la mesure de la dispersion obtenue par un même opérateur, dans un même lieu (donc dans un
laboratoire donné), utilisant un même appareil, dans un intervalle de temps réduit.
Reproductibilité : c’est la mesure de la dispersion obtenue dans des laboratoires différents, en reprenant la définition
de la fidélité intermédiaire.
Robustesse : c’est la capacité d’une méthode à fournir des résultats exacts en présence de légères variations des
facteurs expérimentaux maîtrisables.
Seuil de détection : c’est la plus petite quantité de l’élément à analyser pouvant être détectée, mais non quantifiée
par une valeur précise (on admet souvent comme détectable un signal égal à 3 fois le bruit de fond).
Seuil de Sensibilité : c’est la plus petite variation de teneur de l’élément à analyser quantitativement mesurable (on
admet souvent une variation de signal égale à 10 fois le bruit de fond).
15
No,onsetnota,onsnécessairesàl’es,ma,ondel’incer,tude
Condi,onsderépétabilité:lesdifférentsmesuragesdeXsontréalisésdansdescondi9ons
strictementiden9ques(mêmeprotocole,mêmesinstruments,mêmeexpérimentateur,même
solu9on9trante,mêmejour,mêmelieu…).
Sionrépète(condi(onsderépétabilité)Nfoislemêmemesurage,lesrésultatsobtenussonten
généraldifférents.Onnoteraxilerésultatd’unmesurageet​𝒙 lamoyennearithmé(quedesN
résultatsobtenus(​𝒙 =∑𝟏↑𝑵▒​​𝒙↓𝒊 /𝑵 ).
Condi,onsdereproduc,bilité:lesdifférentsmesuragesdeXsontréalisésselonlemême
protocole,maisuneaumoinsdesautrescondi9onsdiffère.
16
8
15/01/16
No,onsetnota,onsnécessairesàl’es,ma,ondel’incer,tude
ErreurdemesureER:ER=xi-XvraioùXvraiestlavaleur«vraie»deX.Xvraiest,parprincipe,inconnue.
L’erreurERestlasommededeuxcontribu9ons:ER=(ER)a+(ER)s
Erreuraléatoire(ER)a:(ER)a=xi–​𝒙 .Elleestcauséeparlesnombreuxparamètresincontrôlablesdesdifférentes
opéra9onsdumesurage.Ellepeutêtreréduiteenaugmentantlenombred’observa9ons.
Erreursystéma,que(ER)s:(ER)s=​𝒙 –Xvrai.Ellepeutêtredueàl’instrumenta9on(mauvaisétalonnaged’un
instrument),àlaméthode(repéragedel’équivalence).Elleagittoujoursdanslemêmesens.Difficileàdétecter,
ellepeutêtrecorrigée.
17
Incer,tude
Incer,tude,incer,tude-typeu(x):paramètreassociéaurésultatdumesurage,quicaractériseladispersiondes
valeursquipourraientraisonnablementêtreaVribuéesaumesurandeX.Lorsqueleparamètreu9liséestunécarttype,onparled’incer9tude-type,notéeu(x).Lavarianceestlecarrédel’incer9tude-type.Enabsenced’erreur
systéma9que,l’incer9tudedéfinitunintervalleautourdelavaleurmesuréequiinclutXvrai.Appelléintervallede
confiance.
Composantedel’incer,tude:contribu9ond’unesourced’incer9tudeàl’incer9tudetotale.
L’inventairedessourcesd’incer9tude
sefaitàl’aidedudiagramme:
18
9
15/01/16
Incer,tude-typecomposéeuc(x):écarttypeobtenuencombinanttouteslescomposantesde
l’incer9tudeàl’aidedelaloidepropaga9ondesincer9tudes.C’estlaracinecarréedela
variancetotaledetouteslescomposantes.
Niveaudeconfiance:probabilitéd’obtenirunrésultatxdansl’intervalled’incer9tudedonné.
Incer,tude-typeélargieU(x),coefficientd’élargissementk:l’incer9tude-typeélargieest
obtenueenmul9pliantuc(x)paruncoefficientd’élargissementquidépendduniveaude
confiancesouhaité.Généralement,k=2auniveaudeconfiancede95%(celacorrespondà
l’applica9ondelaloideGauss).
Présenta,ondurésultatd’unmesurage:X=x
U(x)(niveaudeconfiance).L’arrondidex
9entcomptedelavaleurdeU(x),quipeutêtredonnéeavecunoudeuxchiffressignifica9fs.
Lescalculsintermédiairessefontsansarrondi.
19
Evalua,ondetypeAdel’incer,tude:
Onrépèteplusieursfoislamesuredanslesmêmescondi9onsetl’ones9meu(x)enconsidérant
unedistribu9ongaussiennedesrésultats(distribu9onnormale).
20
10
15/01/16
Distribution d'échantillonnage de la moyenne
Estimation de la variance d’une population
Si une variable aléatoire est distribuée suivant une loi de
probabilité de moyenne m et de variance s 2,
La variance qui caractérise un
« échantillon » de taille n, dont les
valeurs sont
x1,x2,…xn, est par
définition :
la moyenne empirique x est distribuée selon une loi normale de
moyenne m = m
x
et
de variance s
2
x
=
s2
n
x
m
n-1
E(s2n) = n s 2
On démontre que selon la
taille n de l’échantillon on a :
+¥ -¥
Abscisse : variable x d’écart-type s
Abscisse : variable
x
S(xi - x)2
n
Ce n'est pas un estimateur sans biais de la variance de
la population dont il est issu.
m
-¥
sn2 =
+¥
d’écart-type s
x
Il faut donc prendre comme estimateur
de la variance de la population
n 2
s
n-1 n
s^2 =
S(xi - x)2
n -1
Soit pour l’estimation de s 2 :
Tout se passe donc comme si on estimait la variance de
la population avec (n-1) comme diviseur au lieu de n.
21
Pour un échantillon de n observations indépendantes d'une
grandeur x qui suit une loi normale de moyenne m et d'écart-type s ),
En résumé, pour les VARIANCES :
si on connaît s :
Z=
x-m
s
n
suit une loi Normale
si on ne connaît pas s on doit l’estimer à travers l’échantillon:
x-m
t= ^
s
n
suit une loi de Student
avec n = n-1 et
S(xi - x)2
^
s=
n-1
Population
:
s2 =
S(xi - m)2
n
Echantillon
:
sn 2 =
S(xi - x)2
n
Estimation de
la variance de
la population :
S(xi - x)2
s^2 =
n -1
NB: dans ce cas pour des échantillons « grands » (>30) on peut faire
l’approximation de la loi de Gauss.
En résumé, pour les Intervalles de CONFIANCE :
Valeur individuelle :
x ± zc s
Grands Echantillons
(> 30 répétitions) :
x ± zc
^
s
n
Petits Echantillons
(< 30 répétitions) :
x ± tc
s^
n
22
11
15/01/16
Evalua,ondetypeBdel’incer,tude:
Onauneseulevaleurdelamesure.Ones9meu(x)àpar9rdesspécifica9onsdesappareilsdemesures.
Instrumentétalonné
Lecer9ficatd’étalonnagefournitl’écartmaximumtoléré(EMT).Onpeutsupposerunedistribu9ontriangulaire(appareilneuf):
u(x)=​ 𝐸𝑀𝑇/√⁠3 .
Instrumentsansaucuneindica,on
Ones9melalargeurddel’intervalleàl’intérieurduquelsesituetrèsprobablementx(unegradua9onsurun
instrumentanalogiqueouseuildemobilité,c’est-à-direvaleuràpar9rdelaquelleledernierdigitchange,pourun
instrumentnumérique).Onsupposeuneloidedistribu9onrectangulaireetonprend:u(x)=​ 𝑑/2√⁠3 Onpeutsupposerunedistribu9onsta9s9querectangulaire(appareilbeaucoupu9lisé):u(x)=​ 𝐸𝑀𝑇/√⁠6 23
Propaga,ond’incer,tude:
Loi de propagation : si le mesurande X s’exprime en fonction des mesurandes Y, Z, … alors
SilemesurandeXs’exprimeenfonc9ondesmesurandesY,Z,…alorson,danslecasoùles
erreurssontconsidéréescomme«pe9tes»devantlesvaleursdesgrandeurs:
on a, dans le cas où les erreurs sont considérées comme « petites » devant les valeurs des
𝜹𝒇
𝜹𝒇
grandeurs : u(x)2 = [ ] 2 u(y)2 + [ ] 2 u(z)2 + … où u(x), u(y), u(z) … sont les écart𝜹𝒚
𝜹𝒛
Oùu(x),u(y),u(z)…sontlesécart-typessurlesvaleursx,y,z…,desmesurandesX,Y,Z…
type sur les valeurs x , y, z.., des mesurandes X, Y, Z...
Exemple1:X=2Y–Z.Onob9ent:u(x)2=[2]2u(y)2+[-1]2u(z)2.
Exemple2:X=kYaZb.Onpeutmontrerque:(​𝑢(𝑥)/𝑥 )2=(𝑎​𝑢(𝑦)/𝑦 )2+(𝑏​𝑢(𝑧)/𝑧 )2
24
12
15/01/16
Exempledemiseenœuvred’unprocessusenchimieanaly,que
Subs tance à analyser
Prélèvement de
l'échantillon
Prépa ration de
l'échantillon
"Qualité" de la
préparation :
réactifs, verrerie,
méthode...
utilisation de stand ards
(étalo ns, référen ces....)
Etalo nnag e
Mes ure
utilisation des cartes de
contrô le
Résulta t
réglage et o ptimiation
de l'appareillage
déterminatio n de la
limite de sensibilité
Ana ly se des données
Décision fina le : résultat avec son
interv alle de co nfiance
25
13