Cinématique des uides Les points du cours à connaître

physique
année scolaire 2014/2015
Cinématique des uides
Les pointsmardi
du18cours
à
connaître
octobre 2016
I- Descriptions d'un uide
Dérivée particulaire (dénition)
Ligne de courant (dénition)
Tube de courant (dénition)
II- Caractérisation des écoulements
1. Rotationnel
Formule de Stokes (dénition)
Expression du rotationnel avec l'opérateur nabla (dénition)
Vecteur tourbillon (dénition)
2. Divergence
Formule d'Ostrogradsky (dénition)
Expression de la divergence avec l'opérateur nabla (dénition)
Bilan massique local (dénition)
3. Evolution des particules de uide
Accélération d'une particule de uide (dénition)
III- Quelques types d'écoulements
1. Conditions aux limites
2. Propriétés de certains écoulements
Ecoulements permanents ou stationnaires (dénition)
Ecoulements plans (dénition)
Ecoulements incompressibles (dénition)
Débit volumique dans le cas d'un écoulement incompressible (dénition)
Ecoulements potentiels ou irrotationnels ou non tourbillonnaires (dénition)
Ecoulements potentiels incompressibles (dénition)
spé PC
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Techniques
à maîtriser
jeudi 3 novembre 2016
I- Les capacités exigibles
1. Dérivée particulaire
ce qu'il faut savoir faire capacités
Établir l'expression de la dérivée particulaire de la masse volumique.
v
Associer d~
Connaître et utiliser l'expresdt à l'accélération de la particule de uide qui passe
en un point.
−−→
sion de l'accélération avec le terme convectif sous la forme ~v · grad ~v . Utiliser l'expression fournie de
−−→
l'accélération convective en fonction de grad
v2
2
→
et −
rot ~v ∧ ~v .
2. Divergence et rotationnel de la vitesse
ce qu'il faut savoir faire capacités
Utiliser l'expression de la dérivée particulaire de la masse volumique pour caractériser un écoulement
incompressible. Savoir que le caractère incompressible ne dépend pas du référentiel.
Utiliser div~v = 0 pour un écoulement incompressible.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Illustrer sur des exemples simples la signication qualitative du vecteur tourbillon.
→
rot ~v = ~0 pour un écoulement irrotationnel et en déduire l'existence d'un potentiel des vitesses.
Utiliser −
Savoir que le caractère irrotationnel dépend du référentiel.
3. Bilans en mécanique des uides
ce qu'il faut savoir faire capacités
Établir un bilan de masse en raisonnant sur un système ouvert et xe ou sur un système fermé et mobile.
Utiliser un bilan de masse.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan. Utiliser la loi de la quantité de
mouvement pour exploiter un bilan.
spé PC
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ce qu'il faut savoir faire capacités
Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan.
Utiliser la loi de l'énergie cinétique pour exploiter un bilan. Exploiter la nullité (admise) de la puissance
des forces intérieures dans un écoulement parfait et incompressible.
II- Méthodes
1. Dérivée particulaire
A) Calculs de dérivées particulaires méthode
En eulérien :
Dg
Dt
=
∂
∂t
−−→
−
+→
v .grad .g .
B) Détermination de lignes de courant méthode
On détermine l'équation d'une ligne de courant en écrivant le parallèlisme entre la vitesse ~v et le dépla→
−
→
−
→
−
cement élémentaire d` le long de cette ligne : ~v ∧ d` = ~0 ou bien d` = k.~v .
C) Détermination de trajectoires et de ligne d'émission méthode
On détermine une trajectoire d'une particule de uide en écrivant les équations diérentielles reliant la
position de cette particule ((X(t), Y (t), Z(t))) à la vitesse ~v :
dX(t)
= vx (X(t), Y (t), Z(t), t)
dt
etc... Une ligne d'émission n'est rien d'autre qu'une trajectoire particulière (dénie par des conditions
initiales).
2. Divergence et rotationnel de la vitesse
D) Divergence méthode
La divergence peut être calculée grâce son expression dans le repère adapté :
div (~v ) =
1
µ1 .µ2 .µ3
∂ (µ2 .µ3 .v1 ) ∂ (µ3 .µ1 .v2 ) ∂ (µ1 .µ2 .v3 )
+
+
∂s1
∂s2
∂s3
ou bien avec la formule d'Ostrogradsky :
ZZ
ZZZ
−−
→
2
~v .d S =
div (~v ) .d3 τ
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E) Rotationnel méthode
Le rotationnel peut être calculé grâce son expression dans le repère adapté :

h
∂(µ3 .v3 )
h ∂s2
∂(µ1 .v1 )
1
µ3 .µ1 h ∂s3
∂(µ2 .v2 )
1
µ1 .µ2
∂s1
1
µ2 .µ3


−→
rot (~v ) = 

−
−
−
i 
∂(µ2 .v2 )
∂s3
i
∂(µ3 .v3 )
∂s1
i
∂(µ1 .v1 )
∂s2




ou bien grâce au théorème de Stokes :
I
→
−
~v . d` =
F) Potentiel méthode
−−→
−→
rot (~v ) .d2 S
ZZ
−−→
On détermine le potentiel des vitesses φ tel que ~v = grad (φ) grâce à l'expression du gradient :

−−→

grad (φ) = 
1 ∂φ
µ1 . ∂s1
1 ∂φ
µ2 . ∂s2
1 ∂φ
µ3 . ∂s3



ou bien grâce à la circulation
Z
b
→
−
~v d` =
Z
a
b
−−→
→
−
grad (φ) d` = φ(b) − φ(a)
a
On peut créer un écoulement par superposition d'écoulements : on somme les potentiels. Le gradient
donne la vitesse et les lignes de courant sont orthogonales aux surfaces équi-potentielles.
3. Bilans en mécanique des uides
G) Calculs de débits méthode
Il faut bien dénir la surface et son orientation.
RR
RR − −−
−−→
→
−
Il faut discerner débit massique (Dm = S µ.→
v .d2 S ) et débit volumique (Dv = S →
v .d2 S ).
H) Faire un bilan de masse méthode
Il faut faire un schéma avec :
• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;
• à l'instant t + dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.
Seule la masse d'un système fermé est toujours constante (pas celle d'un système ouvert en régime non
permanent) : DM
Dt = 0.
I) Faire un bilan de quantité de mouvement méthode
Il faut faire un schéma avec :
• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;
• à l'instant t + dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.
Seule la quantité d'un système fermé suit le théorème de la résultante cinétique :
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~
DP
Dt
= ΣF~ext .
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Attention à ne pas introduire dans le bilan des forces une force de poussée !
Ne pas oublier la résultante des forces de pression.
J) Faire un bilan d'énergie cinétique méthode
Il faut faire un schéma avec :
• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;
• à l'instant t + dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.
Seule l'énergie cinétique d'un système fermé suit le théorème de la puissance cinétique :
ΣPint = ΣPext dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible.
DEc
Dt
= ΣPext +
III- Exercices
1. Dérivée particulaire
1.1) Accélération dans un dièdre droit
Soit un écoulement bidimensionnel dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région
x < 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
1) Déterminer l'accélération d'une particule de uide.
1.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
1.b) en passant par le formalisme eulérien.
1) On trouve pour l'accélération : ~a = k2 .~r.
1.2) Accélération au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
1) Calculer l'accélération des particules de uide :
1.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
1.b) en passant par le formalisme eulérien.
~a = k 2 .~r.
1.3) Détermination d'un champ de vitesses et d'accélération
Soit un écoulement bidimensionnel déni en formalisme lagrangien par :
X = X0 . (1 + b.t)
Y = Y0
1) Déterminer :
1.a) la vitesse d'une particule de uide en formalisme lagrangien ;
1.b) le champ de vitesse en formalisme eulérien.
2) Déterminer l'accélération d'une particule de uide :
2.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
2.b) en passant par le formalisme eulérien.
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x.b
1) On trouve pour la vitesse : ~v = 1+b.t
.~ux .
2) On trouve pour l'accélération : ~a = ~0.
1.4) Accélération entre deux cylindres
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur
axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
A.r +
B
r
.~uθ
1) Déterminer l'accélération d'une particule de uide.
~a(~r, t) = −
(A.r+ Br )
r
2
.~ur .
1.5) Lignes de courant d'un écoulement dans un dièdre droit
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
Déterminer les lignes de courant.
x.y = cte.
1.6) Lignes de courant d'une particule de uide en chute libre
Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, déni par
~v (~r, t) = u0 .~ux + (v0 − g.t) .~uz
Déterminer les lignes de courants.
dz
dx
=
v0 −g.t
u0 .
1.7) Lignes de courant d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
Déterminer : les lignes de courant.
x = cte.y .
1.8) Lignes de courant d'un écoulement dans un dièdre droit (2)
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy + a.ω. cos (ω.t) .~uz
Déterminer les lignes de courant.
x.y = cte et z =
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a.ω. cos(ω.t0 )
ln
k
y
x
.
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1.9) Lignes de courant d'un écoulement dans un évier
On considère la superposition de deux champs : un puits en O et un vortex de centre O, de sorte que :
~v =
−Dv
C
~ur +
~uθ ∀ r
2.π.r
2.π.r
Il s'agit d'un écoulement plan stationnaire dans un évier.
Déterminer l'équation polaire des lignes de courant.
r = r0 .e
−Dv
C
θ
.
1.10) Lignes de courant de la houle
On peut modéliser la houle par un champ de vitesse uniforme qui dépend du temps :
~v = v0 .~u(t) avec ~u(t) = cos (ω.t) ~ux + sin (ω.t) ~uy
Déterminer les lignes de courant, à l'instant t.
Les lignes de courant, à l'instant t, sont des droites parallèles à ~u(t).
1.11) Trajectoires d'une particule de uide dans un dièdre droit
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
Déterminer les trajectoires des particules de uide.
X.Y = cte.
1.12) Trajectoires d'une particule de uide en chute libre
Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, déni par
~v (~r, t) = u0 .~ux + (v0 − g.t) .~uz
Déterminer les trajectoires.
X(t) = X0 + u0 .t et Z(t) = Z0 + v0 .t − 12 g.t2 .
1.13) Ligne d'émission d'une particule de uide en chute libre
Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, déni par
~v (~r, t) = u0 .~ux + (v0 − g.t) .~uz
Déterminer la ligne d'émission issue du point (0, 0).
X(t) = u0 .t et Z(t) = v0 .t − 12 g.t2 .
1.14) Trajectoires d'une particule de uide au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
Déterminer les trajectoires des particules de uide.
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X=
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X0
Y0 Y
.
1.15) Trajectoires d'une particule de uide dans un dièdre droit (2)
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy + a.ω. cos (ω.t) .~uz
Déterminer les trajectoires des particules de uide.
X = X0 .e−k.t , Y = Y0 .ek.t et Z = Z0 + a. sin (ω.t).
1.16) Trajectoires d'une particule de uide dans le cas de la houle
On peut modéliser la houle par un champ de vitesse uniforme qui dépend du temps :
~v = v0 .~u(t) avec ~u(t) = cos (ω.t) ~ux + sin (ω.t) ~uy
Déterminer la trajectoire des particules de uide.
Les trajectoires sont des cercles.
2. Divergence et rotationnel de la vitesse
2.17) Divergence de l'écoulement d'un gaz dans une tuyère
On s'intéresse à une détente d'un gaz dans une tuyère de champ de vitesses :
x
~v = v0 . 1 +
.~ux
a
Calculer div (~v ) pour ce champ de vitesse.
div (~v ) =
v0
a .
2.18) Divergence d'un vortex
C
On s'intéresse à un vortex : ~v = 2.π.r
~uθ pour tout r (c'est le cas limite de la tornade pour a → 0 et
2
C = 2.π.a Ω non nul.)
Calculer la divergence de la vitesse.
div (~v ) = 0.
2.19) Divergence d'un écoulement dans un dièdre droit
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement incompressible ?
La divergence est nulle.
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2.20) Divergence d'un écoulement entre deux cylindres
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur
axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
B
A.r +
r
.~uθ
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement incompressible ?
L'écoulement est incompressible.
2.21) Divergence d'un écoulement au dessus d'un plan oscillant
L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des
vitesses suivant :
~v (~r, t) = A.e−k.y . cos (ω.t − k.y) .~ux
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement incompressible ?
L'écoulement est incompressible ;
2.22) Divergence d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement incompressible ?
div (~v ) = 2.k .
2.23) Rotationnel d'une tornade
On s'intéresse à une tornade :
~v = r.Ω.~uθ pour r < a
2
~v = Ω.a
uθ pour r > a
r ~
1) Calculer le rotationnel de la vitesse.
2) Calculer la circulation de ~v le long d'un cercle C d'axe Oz de rayon r orienté dans le sens trigonométrique.
~ = Ω.~uz , mais si r > a, Ω
~ = ~0. Si r < a,
Si r < a, Ω
H
C
H →
→
−
−
~v d` = 2π.r2 .Ω et si r > a, C ~v d` = 2π.a2 .Ω.
2.24) Rotationnel d'un vortex
C
On s'intéresse à un vortex : ~v = 2.π.r
~uθ pour tout r (c'est le cas limite de la tornade pour a → 0 et
2
C = 2.π.a Ω non nul.)
1) Calculer le rotationnel de la vitesse.
2) Calculer la circulation de ~v le long d'un cercle C d'axe Oz de rayon r orienté dans le sens trigonométrique.
H →
−
−→
rot (~v ) = ~0 et C ~v d` = C .
2.25) Rotationnel d'un écoulement dans un dièdre droit
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement avec tourbillons ? Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
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Le rotationnel est nul.
2.26) Rotationnel d'un écoulement entre deux cylindres
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur
axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
A.r +
B
r
.~uθ
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement avec tourbillons ? Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
~ = A.~uz .
Ω
2.27) Rotationnel d'un écoulement au dessus d'un plan oscillant
L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des
vitesses suivant :
~v (~r, t) = A.e−k.y . cos (ω.t − k.y) .~ux
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement avec tourbillons ? Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
~ = 1 k.A.e−k.y . (cos (ω.t − k.y) − sin (ω.t − k.y)) .~uz .
Ω
2
2.28) Rotationnel d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
Ce champ des vitesses correspond-il à un écoulement avec tourbillons ? Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
Le rotationnel est nul.
2.29) Potentiel des vitesses de l'écoulement d'un gaz dans une tuyère
On s'intéresse à une détente d'un gaz dans une tuyère de champ de vitesses :
x
~v = v0 . 1 +
.~ux
a
Déterminer le potentiel des vitesses.
φ = v0 . x +
x2
2a
+ cste.
2.30) Potentiel des vitesses d'un écoulement dans un dièdre droit
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
Déterminer le potentiel des vitesses.
2
φ = − k 2x +
spé PC
k y2
2
+ cste.
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2.31) Potentiel des vitesses d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
Déterminer le potentiel des vitesses.
φ = k2 . x2 + y 2 + cste.
2.32) Dipôle hydraulique
On s'intéresse à un puits ponctuel de débit Dv situé en P (− a2 , 0, 0) et une source de débit opposé −Dv située
en S(+ a2 , 0, 0). et on se place en M , loin du puits et de la source (approximation dipolaire : OM P S = a).
1) Trouver dans ces conditions une approximation de P M et SM .
→
2) L'écoulement est non tourbillonnaire : −
rot (~v ) = ~0. Déterminer le potentiel en superposant le potentiel
Dv
d'une source et celui d'un puits : φ(M ) = 2.π .ln PSM
M . On l'exprimera en fonction du moment dipolaire
Dv
m = 2.π a.
3) Déterminer le champ de vitesse total en fonction de m.
~v ≈
m
r2
(cos θ.~ur + sin θ.~uθ ).
2.33) Une source proche d'un mur
Pour modéliser un écoulement dans le demi espace x < 0, au voisinage d'une source ponctuelle (en
A(−a, 0, 0)) proche d'un mur (le plan (yOz)), il s'agit tout simplement de superposer deux sources ponctuelles
de même débit volumique :
• la première, réelle, en A(−a, 0, 0),
• et la seconde, virtuelle, en A0 (+a, 0, 0), symétrique de A par rapport au mur.
0
Déterminer le potentiel des vitesses en fonction de rM et rM
qui sont les distances du point M aux deux
0
sources respectivement A et A qui valent :
φ(M ) =
Dv
2.π ln
0
rM .rM
r02
p
2
rM = p(xM + a)2 + yM
0
2
2
rM = (xM − a) + yM
.
3. Bilans en mécanique des uides
3.34) Débit d'un ruissellement laminaire
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie
l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :
~v =
µ.g. sin α
(2.δ − z) .z.~ux
2.η
où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.
1) En déduire le débit volumique Dv par unité de largeur de l'écoulement.
Dv =
spé PC
µ.g. sin α 3
δ .
3.η
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3.35) Débit à travers une paroi poreuse (loi de Darcy)
Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques
horizontaux, de rayon a et de longueur ` (a `), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence
de pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.
On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est caractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz tel
que :
v(r) =
∆p
a2 − r2
4.η.`
où r désigne la distance à l'axe du tube.
1) Exprimer le débit volumique Dv du uide à travers la paroi sous la forme
Dv = K
S.∆p
η.`
où K est la perméabilité de la paroi et S représente la section totale de la paroi.
2) En déduire la vitesse moyenne V du uide - vitesse de Darcy - à travers la paroi.
K=
N.π.a4
8.S
et V = K ∆p
η.` .
3.36) Jet sur une plaque xe
On s'intéresse à une plaque plane orthogonale à ~ux , immobile dans le référentiel du sol, sur laquelle arrive
un jet d'eau à la pression atmosphérique (de masse volumique µ, de vitesse ~v0 = v0 .~ux , de section S et donc
de débit massique Dm = µ.S.v0 ). Après contact avec la plaque, le jet est dévié d'un angle α, il garde la même
section S , et la même pression. On néglige tous phénomènes de viscosité.
1) Déterminer la force F~jet exercée par le jet sur la plaque en régime permanent.
2) Montrer en particulier que si α = 0 (le uide repart dans la direction d'incidence),
F~jet = 2.Dm .~v0
F~jet = 2.Dm .~v0 .
3.37) Jet sur une plaque mobile
Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale (Ox), est en translation, de vitesse constante ~v = v.~ex .
Elle est poussée par un jet d'eau, dont la vitesse est ~vi 0 = v0 .~ex et le débit massique Dm .
Un déecteur dévie le jet d'un angle dont la valeur est α dans le référentiel de la plaque. Le jet garde une
section uniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité.
0
1) Calculer le débit Dm
du jet dans le référentiel de la plaque.
2) Calculer la force exercée sur la plaque.
1)
2)
0
Dm
= Dm . 1 − vv0 .
F~j = Dm . 1 − vv0 (v0 − v) . [(1 + cos α) ~ex − sin α~ey ].
3.38) Force sur une lance d'incendie
Un tuyau souple, de section S se termine par un embout dont la section terminale s = 1cm2 est très petite
devant S .
La pression dans le tuyau est P1 = 10bar et le jet sort dans l'atmosphère à la pression P0 = 1bar. L'embout
fait un angle droit avec la partie antérieure du tuyau.
La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du uide dans le tuyau.
1) L'eau étant assimilée à un uide partait, calculer le débit massique Dm
2) Calculer Fy , la composante parallèle au jet de la force F~ exercée par la personne qui tient la lance.
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physique
1)
2)
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Dm = 4, 2kg.s−1 .
Fy = 180N .
3.39) Force de poussée subie par une fusée
Une fusée, dont la masse à l'instant t est m éjecte vers l'arrière les gaz issus de la combustion du carburant
et du comburant qu'elle contient. On suppose qu'elle est en translation, de vitesse ~v par rapport au référentiel
d'étude, galiléen, et que la vitesse ~u des gaz éjectés dans le référentiel de la fusée est uniforme et constante. Dm
représente leur débit massique.
1) Calculer la poussée de la fusée, c'est-à-dire la force F~p qu'il faudrait appliquer à un système fermé soumis
aux mêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération.
1)
F~p = −Dm .~u.
3.40) Evolution de la vitesse d'une fusée
Une fusée, de masse totale m(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par
un dispositif à réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec
un débit massique constant a = 120kg.s−1 , à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1 ). Le
mélange combustible a une masse mc (0) = 0, 8.m(0) au départ.
1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse V~ de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestre
considéré comme galiléen, en fonction de ~g , intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, et
m(t) masse de la fusée à l'instant t.
2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver V~ (t),
la vitesse de la fusée à l'instant t.
3) On prendra g = 10m.s−2 . Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.
1)
2)
3)
~
dV
dt
= ~g +
dm
u.
m.dt .~
m(t)
m(t=0)
3
−1
~ (t) = ~g .t + ln
V
Vmax = 3, 1.10 m.s
.~u.
.
3.41) Puissance d'une pompe
Une pompe aspire l'eau d'un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massique Dm
constant. Le niveau supérieur de l'eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits, et la
pression y est égale à P1 , supérieure à la pression atmosphérique P0 . On néglige toute viscosité.
1) Calculer la puissance utile Pu fournie par la pompe au uide.
1)
spé PC
Pu = Dm . g.h +
P1 −P0
µ
.
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Travaux
dirigés
vendredi 4 novembre 2016
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Les fusées à eau
Extraits de l'article du Bulletin de l'Union des Physiciens n◦ 732 vol. 85 mars 1991 pp. 512-532
La fusée à eau par J.P. SOULARD
Une fusée qui se propulse... à l'eau
Réaliser une fusée de stabilité convenable tout au long de son vol
peut se faire simplement. Deux bouteilles en plastique pour boisson
gazeuse (genre Pepsi, Coca...) de 1, 5 L, ou même 2 L, constituent
le matériau de base à se procurer. L'une des deux est découpée pour
fournir l'ogive et la jupe sur laquelle seront xés trois ou quatre ailerons
pour former la queue.
Au terme d'un éventuel compte à rebours (ça fait plus sérieux !) la
libération du cran d'arrêt entraîne la décompression du bouchon et la
pression à l'intérieur acquise par gonage fait le reste : dégagement de
la tuyère par la force pressante, éjection brutale de l'eau et mouvement
de la fusée par réaction.
Caractéristiques approximatives de la fusée :
- masse à vide avec ogive et queue 100 g ;
- diamètre du corps : 8, 5 cm ;
- diamètre de la tuyère : 2 cm ;
- volume total du réservoir : 1, 5 L ;
- hauteur : 40 cm ;
- pression supportable : jusqu'à 40 bar.
En y mettant 0, 5 L et en gonant à 6 bars, on obtient pour le
départ : poussée F = 377 N.
Enoncé
1) Vérier que la valeur numérique de la poussée au démarrage de la fusée est bien de l'ordre de grandeur
de ce qui est indiqué dans le texte.
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Devoir
non surveillé
vendredi 4 novembre 2016
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
La tempête Christian
Météo France
extraits issus du site comprendre.meteofrance.com/pedagogique/pour tous/glossaire/
En Europe, la tempête Christian a fait onze victimes le 28 octobre 2013. Des
vents souant à plus de 160 km/h ont causé le chaos dans le sud de l'Angleterre et
le pays de Galles.
Surface isobare
Dans l'atmosphère , une surface isobare est une surface réunissant à un instant déterminé les points en
lesquels la pression atmosphérique est égale à une même valeur donnée.
Sur ces surfaces plus ou moins ondulées et incurvées que constituent les surfaces isobares, les météorologistes
réunissent par des courbes les points possédant la même altitude géopotentielle ; de telles courbes, appelées
lignes isohypses, sont analogues à des courbes de niveau d'une carte géographique et mettent ainsi en évidence
la topographie des surfaces isobares : cette topographie, essentielle pour l'observation et la prévision du temps,
se décrit principalement en termes d'anticyclones, de dépressions, de dorsales et de thalwegs, et aussi de cols
barométriques et de marais barométriques (sur une surface isobare, un col barométrique est une région en forme
de selle séparant deux anticyclones et deux dépressions disposés en croix, et un marais barométrique est une
région faiblement dépressionnaire analogue à une plaine).
Vent géostrophique
On constate qu'en chaque point, le vecteur vent réellement observé s'écarte peu en vitesse et direction d'un
vecteur vent "théorique" appelé vent géostrophique, qui possède deux propriétés :
spé PC
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- il est tangent à la ligne isohypse passant par ce point et son sens est tel qu'il laisse les altitudes géopotentielles
plus basses sur sa gauche dans l'hémisphère Nord, sur sa droite dans l'hémisphère Sud ;
- sa vitesse est d'autant plus élevée que les distances entre lignes isohypses successives au voisinage du point
d'observation sont plus petites. Plus précisément, à l' échelle synoptique , cette vitesse peut être considérée
comme proportionnelle à l'intensité du gradient isobare de géopotentiel (donc à la pente de la surface isobare)
en ce point.
Le fait que le vent soue pratiquement dans la direction des lignes isohypses pose question, puisque l'on
s'attendrait à un mouvement de l'air dirigé des pressions plus hautes vers les pressions plus basses, et donc
perpendiculaire à ces courbes : c'est en réalité la force de Coriolis qui, en déviant ce mouvement vers la droite dans
l'hémisphère Nord, vers la gauche dans l'hémisphère Sud, compense l'action des forces de pression horizontales
et rend le déplacement de l'air à peu près parallèle aux lignes isohypses. Cette répartition générale des vents
(hors de la zone équatoriale) exprime l'existence d'un état d'équilibre dynamique dont les mouvements de
l'atmosphère tendent sans cesse à se rapprocher sans jamais l'atteindre.
Force de Coriolis
Sur Terre, la force de Coriolis s'applique en particulier aux parcelles d' air et d'eau constituant respectivement
~ h de cette force s'exerce sur le centre de masse B
l'atmosphère et l'océan. Lorsque la composante horizontale C
de l'une de ces parcelles, elle est de direction orthogonale à la composante horizontale V~h de la vitesse de B et a
une valeur numérique proportionnelle au produit f mvh , où m représente la masse de la parcelle et vh la valeur
numérique de V~h ; le coecient de proportionnalité est la valeur absolue d'un nombre symbolisé par la lettre f
et appelé le paramètre de Coriolis, qui prend la forme f = 2Ω sin λ, où Ω est la vitesse angulaire de rotation
(constante) de la Terre sur elle-même et λ la latitude où se trouve B : ce nombre f , positif dans l'hémisphère
Nord, négatif dans l'hémisphère Sud, a la dimension du produit d'une mesure angulaire par l'inverse d'un temps
(il vaut environ 10−4 rad · s−1 pour λ = +45◦ ) et n'est autre que la valeur numérique prise par la composante
verticale en B du tourbillon de la Terre dans un référentiel galiléen.
Synoptique
L'adjectif "synoptique" en météorologie qualie les phénomènes atmosphériques dont l'ordre de grandeur est
de quelques milliers de kilomètres pour les dimensions horizontales, de quelques kilomètres pour la dimension
verticale et de quelques jours pour la durée ; l'échelle spatio-temporelle ainsi décrite s'appelle précisément l'échelle
synoptique et constitue par excellence le cadre de la prévision opérationnelle sur une échéance de un à trois
jours dans les zones tempérées : pareille prévision repose en eet sur l'évolution de systèmes anticycloniques
et dépressionnaires de la basse atmosphère qui constituent autant d'objets météorologiques généralement bien
ajustés à cette échelle dans l'espace et le temps, de même que les perturbations atmosphériques et les zones
frontales susceptibles de s'y développer.
Buys-Ballot (Christophorus Henricus)
La règle de Buys-Ballot indique, premièrement, que dans l'hémisphère Nord la direction du vent - compte
tenu de son sens - laisse les basses pressions sur sa gauche et les hautes pressions sur sa droite (la disposition
inverse valant pour l'hémisphère Sud), et deuxièmement, que la vitesse du vent est d'autant plus élevée que les
lignes isobares sont plus resserrées.
Enoncé
1)
1.a) Représenter une vue de la Terre en coupe, avec O, le centre de la Terre, les pôles nord (PN) et sud
~ de la Terre.
(PS), un point B à la surface de la Terre, λ la latitude de B et le vecteur rotation Ω
1.b) Calculer la valeur numérique de Ω.
2) Vérier que la composante horizontale de la force de Coriolis C~ h exercée sur une "parcelle d'atmosphère"
de masse m, de centre de masse en B et de vitesse ~v est bien cohérente avec l'expression donnée par le document.
3)
3.a) En faisant un bilan sur un écoulement unidimensionnel entre une zone de haute pression
Pe à
~
l'entrée et une zone de basse pression Ps à la sortie, exprimer la résultante Π des forces de pression appliquées
sur le uide.
3.b) En passant à un système innitésimal, exprimer la résultante des forces de pression exercée sur la
−−→
"parcelle d'atmosphère" de centre de masse en B et de volume V en fonction de grad P .
4) En supposant l'existence d'un état d'équilibre dynamique, démontrer la règle de Buys-Ballot.
5) Sur la carte météo,
5.a) Déterminer où sont les zones de hautes et basses pressions.
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6)
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5.b) Représenter à plusieurs endroits des vecteurs vitesse horizontaux de l'atmosphère.
5.c) Où les vents sont-ils les plus violents ?
6.a) En utilisant le fait que la valeur numérique du rayon de la Terre est R ≈ 6700 km, évaluer sur la
carte météo la valeur maximale atteinte par la vitesse du vent.
6.b) Est-ce cohérent avec les données du chapeau ?
Devoir
surveillé
samedi 5 novembre 2016
Un DS commun aura lieu samedi 5 novembre 2016 de 8h à 12h, il portera sur la mécanique
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