8 Limites finies en un point

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Limites finies en un point
Pour ce chapitre, sauf précision contraire, Idésigne une partie non vide de Ret fune
fonction définie sur Iet à valeurs réelles ou complexes.
Là encore, les fonctions usuelles √·,exp,ln, xa,cos,sin,tan,··· sont supposés connus.
8.1 Points adhérents à une partie non vide de R
La notion de limite finie en un point d’une fonction (étudiée au paragraphe qui suit) est
intéressante si le point est adhérent à l’ensemble de définition Ide la fonction f. En un tel
point la fonction fn’est, a priori, pas définie. De manière intuitive, un point adhérent à Iest
un réel qui « colle » à l’ensemble I. Plus précisément, on peut donner la définition suivante.
Définition 8.1 On dit qu’un réel aest adhérent à l’ensemble Isi :
∀ε > 0,]a−ε, a +ε[∩I6=∅.
Comme pour tout a∈Iet tout ε > 0,on a a∈]a−ε, a +ε[∩I, on déduit que tout point
de Iest adhérent à I.
On note Il’ensemble des points adhérents à Iet on dit que Iest l’adhérence (ou la fermeture)
de I.
On a I⊂I, mais ce sont les points de I\Iqui vont nous intéresser pour les problèmes de
limites.
Par exemple pour I= ]a, b[∪]b, c[avec a < b < c, les points a, b et csont des points adhérents
àIqui n’appartiennent pas à Iet I= [a, b].
Exercice 8.1 Montrer que si I⊂J, alors I⊂J.
Solution 8.1 Pour tout a∈I, on a :
∀ε > 0,]a−ε, a +ε[∩J⊃]a−ε, a +ε[∩I6=∅
et donc a∈J.
Exercice 8.2 Montrer que si u= (un)n∈Nest une suite réelle qui converge vers un réel `, alors
`est adhérent à l’ensemble I={un|n∈N}.
Solution 8.2 Par définition de la limite d’une suite, on a :
∀ε > 0,∃n0∈N| ∀n≥n0, un∈]`−ε, ` +ε[∩I,
et en conséquence, `est adhérent à I.
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174 Limites finies en un point
On peut donner la caractérisation séquentielle suivante de la notion de point adhérent. Cette
caractérisation est souvent utilisée.
Théorème 8.1 Un réel aest adhérent à Isi, et seulement si, il existe une suite (un)n∈Nde
points de Iqui converge vers a.
Démonstration. Si aest adhérent à I, pour tout entier n≥1l’ensemble ¸a−1
n, a +1 n·∩I
est non vide, il existe donc un réel un∈Itel que |un−a|<1
net faisant tendre nvers l’infini,
on déduit que a= lim
n→+∞un.
Réciproquement si aest limite d’une suite (un)n∈Nde points de I, on a alors :
a∈ {un|n∈N} ⊂ I.
8.2 Limite finie en un point d’une fonction réelle
Pour ce paragraphe et les suivants, aest un point adhérent à Iet fune fonction de Idans
Rou C.
Définition 8.2 On dit que la fonction fadmet une limite finie quand xtend vers adans I,
s’il existe un réel `tel que :
∀ε > 0,∃η > 0|(x∈Iet |x−a|< η)⇒ |f(x)−`|< ε (8.1)
(on dit aussi que f(x)tend vers `quand xtend vers adans I).
Comme dans le cas de la définition de la convergence d’une suite, les deux dernières inégalités
dans (8.1) peuvent être strictes ou larges et il est parfois commode de se limiter à ε∈]0,1[
sans que cela ne soit restrictif.
Dire que fn’a pas de limite en aéquivaut à dire que pour tout scalaire `il existe un réel
ε > 0tel que :
∀η > 0,∃x∈I| |x−a|< η et |f(x)−`| ≥ ε.
Il est parfois commode de traduire (8.1) sous la forme :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈]a−η, a +η[∩I, |f(x)−`|< ε
ou encore, dans le cas d’une fonction à valeurs réelles :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈]a−η, a +η[∩I, f (x)∈]`−ε, ` +ε[.
Le fait que asoit adhérent à Inous assure que ]a−η, a +η[∩In’est pas vide.
En utilisant l’inégalité triangulaire dans Rou C,on montre, comme pour les suites conver-
gentes, que si fadmet une limite `en a, alors cette limite est unique. En effet, s’il existe deux
réels `et `0vérifiant (8.1) ,on peut alors trouver pour tout réel ε > 0un réel η > 0tel que pour
tout x∈Itel que |x−a|< η on ait :
|`−`0|=|(`−f(x)) + (f(x)−`0)| ≤ |`−f(x)|+|f(x)−`0|<2ε,
ce qui équivaut à `−`0= 0.
On note alors `= lim
x→a
x∈I
f(x)ou plus simplement `= lim
x→af(x),le domaine de définition de
la fonction fétant sous-entendu, cette limite. On écrira aussi f(x)→
x→a`.

Limite finie en un point d’une fonction réelle 175
Exercice 8.3 Montrer que si a∈Iet si fa une limite finie en a, cette limite ne peut être que
f(a)(dans ce cas la fonction fest continue en a, comme nous le verrons au chapitre suivant).
Solution 8.3 En notant `= lim
x→af(x),on a :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈]a−η, a +η[∩I, |f(x)−`|< ε
ce qui donne pour x=a∈]a−η, a +η[∩I, |f(a)−`|< ε. Le réel ε > 0étant quelconque, il
en résulte que `=f(a).
Exercice 8.4 Montrer que la fonction fdéfinie sur R∗par f(x)=0pour tout x∈R∗admet
une limite en 0,mais que la fonction gdéfinie sur Rpar g(0) = 1 et g(x) = 0 pour tout x∈R∗
n’a pas de limite en 0.
Solution 8.4 Soit ε > 0.Pour tout η > 0,on a :
∀x∈]−η, η[∩R∗,|f(x)|= 0 < ε,
ce qui signifie que lim
x→0f(x) = 0.
Supposons que gadmette une limite `en 0.Pour tout réel ε > 0,il existe alors un réel η > 0
tel que :
∀x∈]−η, η[,|f(x)−`|< ε
et prenant x6= 0 dans ]−η, η[,on a |`|< ε, le réel ε > 0étant quelconque, ce qui impose `= 0.
Mais prenant ε=1
2et x= 0 dans ]−η, η[,on aboutit à |f(0) −`|= 1 <1 2,ce qui est absurde.
La fonction gn’a donc pas de limite en 0.
Comme dans le cas des suites convergentes, les résultats qui suivent sont souvent utilisés
pour justifier le calcul d’une limite.
Théorème 8.2 S’il existe un réel `, un réel δ > 0et une fonction ϕde J= ]a−δ, a +δ[∩I
dans R+tels que : (∀x∈J, |f(x)−`| ≤ ϕ(x)
lim
x→aϕ(x) = 0
alors lim
x→af(x) = `.
Démonstration. Pour tout réel ε > 0il existe un réel η > 0tel que :
x∈J⊂Iet |x−a|< η ⇒ |f(x)−`| ≤ ϕ(x)< ε
ce qui donne le résultat annoncé.
Par exemple, avec |sin (x)| ≤ |x|pour tout réel x, on déduit que lim
x→0sin (x)=0et avec
|cos (x)−1|= 2 sin2³x
2´≤x2 2,on déduit que lim
x→0cos (x) = 1.
Théorème 8.3 Si fest à valeurs réelles et s’il existe un réel δ > 0et deux fonction ϕet ψ
définies sur J= ]a−δ, a +δ[∩Iet à valeurs réelles tels que :
(∀x∈J, ψ (x)≤f(x)≤ϕ(x)
lim
x→aϕ(x) = lim x→aψ(x) = `
alors lim
x→af(x) = `.

176 Limites finies en un point
Démonstration. Pour tout réel ε > 0il existe un réel η > 0tel que pour tout x∈J⊂I
tel que |x−a|< η, on ait :
`−ε < ψ (x)≤f(x)≤ϕ(x)< ` +ε
ce qui donne le résultat annoncé.
Exercice 8.5 Montrer que lim
x→0xcos µ1
x¶= 0.
Solution 8.5 Se déduit de ¯¯¯¯xcos µ1
x¶¯¯¯¯≤ |x|pour x∈R∗.
Exercice 8.6 Montrer que, pour tous réels a > 0et b > 0,on lim
x→0
x
a·b x¸=b a,où [·]désigne
la fonction partie entière.
Solution 8.6 Pour tout réel x6= 0,on a ·b
x¸≤b x<·b x¸+ 1,de sorte que pour x > 0on a :
x
a·b x¸≤b a<x a·b x¸+x a
soit : b
a−x a<x a·b x¸≤b a<b a+x a
et pour x < 0,on a :
x
a·b x¸≥b a>x a·b x¸+x a.
soit : b
a+x a<b a≤x a·b x¸<b a−x a
Il en résulte que :
b
a−|x| a<x a·b x¸<b a+|x| a
pour tout x6= 0 et lim
x→0
x
a·b x¸=b a.
Exercice 8.7 Soit f: ]−α, α[\{0} → C,avec α > 0.Montrer que lim
x→0f(x) = `si, et seulement
si, lim
x→0f(sin (x)) = `.
Solution 8.7 Supposons que lim
x→0f(x) = `. Soient ε > 0et η∈i0,min ³α, π
2´h tel que
|f(y)−`|< ε pour tout y∈]−η, η[\{0}.Pour tout x∈]−η, η[\{0}on a alors 0<|sin (x)| ≤
|x|< η et |f(sin (x)) −`|< ε.
Réciproquement, supposons que lim
x→0f(sin (x)) = `. Soient ε > 0et δ∈i0,min ³α, π
2´htel que
|f(sin (t)) −`|< ε pour tout t∈]−δ, δ[\ {0}.En posant η= sin (δ),pour 0<|x|< η, on a
0<|arcsin (x)|<arcsin (η) = δet |f(x)−`|=|f(sin (arcsin (x))) −`|< ε.
Comme pour les suites convergentes, l’inégalité triangulaire nous donne le résultat suivant.

Limite finie en un point d’une fonction réelle 177
Théorème 8.4 Si fadmet une limite finie quand xtend vers adans I, il existe alors un réel
η > 0tel que la restriction de fàJ= ]a−η, a +η[∩Isoit bornée (on dit que fest bornée au
voisinage de a).
Démonstration. Si lim
x→af(x) = `, il existe alors un réel η > 0tel que, pour tout xdans
]a−η, a +η[∩I, on ait :
|f(x)|=|(f(x)−`) + `| ≤ |f(x)−`|+|`|<1 + |`|.
Le résultat qui suit se déduit immédiatement de la définition de la limite en a.
Théorème 8.5 Supposons que lim
x→af(x) = `, la fonction fétant à valeurs réelles.
1. Si ` > 0[resp. ` < 0] il existe alors un réel η > 0tel que f(x)>0[resp. f(x)<0] pour
tout x∈]a−η, a +η[∩I(fest de signe constant au voisinage de a).
2. S’il existe un réel η > 0tel que f(x)≥0[resp. f(x)≤0] pour tout x∈]a−η, a +η[∩I
on a alors `≥0[resp. `≤0].
Démonstration.
1. Pour ε=`
2>0il existe un réel η > 0tel que, pour tout x∈]a−η, a +η[∩I, on ait
|f(x)−`|<`
2et on a alors :
∀x∈]a−η, a +η[∩I, f (x)> ` −`
2>` 2>0.
Pour ` < 0,on travaille avec −f.
2. Se déduit facilement du premier point.
Une définition séquentielle de la notion de limite finie en un point est donnée par le résultat
suivant.
Théorème 8.6 La fonction fadmet la limite `quand xtend vers adans Isi, et seulement si,
pour toute suite (un)n∈Nde points de Iqui converge vers a, la suite (f(un))n∈Nconverge vers
`.
Démonstration. Si lim
x→af(x) = `, alors pour tout réel ε > 0il existe un réel η > 0tel
que |x−a|< η dans Ientraîne |f(x)−`|< ε et si (un)n∈Nest une suite de points de Iqui
converge vers a, il existe alors un entier n0tel que |un−a|< η pour tout n≥n0,ce qui
implique |f(un)−`|< ε. On a donc bien lim
n→+∞f(un) = `.
Pour la réciproque, on raisonne par l’absurde. Si fn’a pas de limite finie en a, pour tout
réel `, il existe alors un réel ε > 0tel que pour tout entier n≥1on peut trouver un∈Itel que
|un−a|<1
net |f(un)−`| ≥ ε. On a donc ainsi une suite (un)n∈Nde points de Iqui converge
vers apour laquelle la suite (f(un))n∈Nne converge pas.
Cette caractérisation de la notion de limite peut être utilisée pour montrer qu’une fonction
n’a pas de limite en un point.
Exercice 8.8 Montrer que la fonction définie sur R∗par f(x) = cos µ1
x¶pour tout x∈R∗
n’a pas de limite en 0.
Solution 8.8 Si (un)n≥1est la suite définie dans R∗par un=1
nπ pour n≥1,on a lim
n→+∞un= 0
et la suite (f(un))n≥1= ((−1)n)n≥1est divergente, ce qui prouve que fn’a pas de limite en 0.