MPSI 2 : DL 07

MPSI 2 : DL 07
pour le 26 mars 2003
Dans le probl`eme, Ed´esigne un R-ev de dimension n≥2. On notera Dn(R) l’ensemble des matrices diagonales
de Mn(R). Eij d´esigne la matrice de la base canonique de Mn(R) avec un coefficient 1 `a l’intersection de la
i`eme ligne et de la j`eme colonne, et des z´eros partout ailleurs.
Q1 Soit un endomorphisme u∈L(E) tel que ∀x∈E, le syst`eme (x,u(x)) est li´e. Montrer que uest une homoth´etie.
On utilisera les matrices.
Q2 Soit T r :Mn(R)−→ R
A7→ T r(A)la forme lin´eaire qui `a une matrice associe sa trace. D´eterminer Im(T r),
puis calculer dim(Ker(T r)).
Q3 a) On consid`ere une matrice B= ((bij )) ∈Mn(R). Calculer T r(BEkl) en fonction des coefficients de B.
b) Soit ψune forme lin´eaire sur Mn(R). Montrer qu’il existe B∈Mn(R) telle que
∀A∈Mn(R)ψ(A) = T r(BA)
Q4 Soit une forme lin´eaire φsur l’espace L(E). Montrer l’existence d’une application lin´eaire f∈L(E) telle que
∀u∈L(E)φ(u) = T r(f ou)
Dans la suite, on note φfl’application
φf:L(E)−→ R
u7→ T r(f ou)
Q5 a) Montrer que
∀f∈L(E),(φf= 0) ⇒(f= 0)
b)En d´eduire que l’application
Φ : L(E)−→ (L(E))∗
f7→ φf
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Q6 Soit f∈L(E). On suppose que
∀(u,v)∈L(E)2, φf(uov) = φf(vou)
a) Montrer que ∀u∈L(E), uof =fou.
b) Montrer que fest une homoth´etie.
c) En d´eduire qu’il existe λ∈Rtel que
φf=λT r
1

MPSI 2 2 DL 07
On consid`ere d´esormais un endomorphisme u∈L(E) tel que u6= 0, et v´erifiant
T r(u) = 0
Q7 Montrer que un’est pas une homoth´etie vectorielle.
Q8 Montrer qu’il existe une base bde Etelle que la matrice Ade udans bsoit telle que a1,1= 0.
On peut alors montrer par r´ecurrence sur nl’existence d’une base bde Etelle que la matrice de udans la base
bsoit telle que tous ses ´el´ements diagonaux soient nuls. On admettra ce r´esultat.
Soit D= Diag(α1;...;αn) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux (α1,...,αn) sont tous distincts.
On note
ψD:Mn(R)−→ Mn(R)
M7→ DM −MD
Q9 Montrer que ψDest une application lin´eaire et d´eterminer son noyau.
Q10 Montrer que Im ψDest l’ensemble des matrices M= (mij )∈Mn(R) v´erifiant
∀i∈[[1,n]], mii = 0
Q11 Soit u∈L(E). D´eduire de ce qui pr´ec`ede le th´eor`eme suivant :
(T r(u) = 0) ⇐⇒ (∃(v,w)∈L(E)2u=vow −wou)

MPSI 2 3 DL 07
Corrig´e.
Q1 Attention `a la traduction de l’hypoth`ese. Elle s’´ecrit :
∀x∈E,∃λx∈Rtel que u(x) = λx.x
L’ordre des quantificateurs est important ! La difficult´e est de montrer que λxest en fait un scalaire ind´ependant
de x. Voyons deux d´emonstrations. La premi`ere est valable en dimension finie et utilise le calcul matriciel, alors
que la deuxi`eme est valable en dimension infinie.
Consid´erons une base ede l’espace Eet notons Ala matrice de l’endomorphisme udans cette base. L’hypoth`ese
donne matriciellement :
∀X∈Mn1(R),∃λX∈Rtq AX =λX.X
En particulier pour k∈[[1,n]], en posant Xk= ((δik))1≤i≤n, il existe λk∈Rtel que AXk=λkXk. On en tire
que pour i6=k,aik = 0 et que akk =λk. Donc la matrice Adoit ˆetre diagonale A= Diag(λ1;...;λn). Mais
alors en prenant pour (k,l)∈[[1,n]]2,Xkl la matrice colonne avec un 1 aux lignes ket let des z´eros ailleurs, on
montre que λk=λl. Par cons´equent, la matrice Aest scalaire et alors l’endomorphisme uest une homoth´etie.
Pour la deuxi`eme d´emonstration, introduisons l’application
λ:E−→ R
x7→ λx
d´efinie `a partir de l’hypoth`ese. Il s’agit de montrer que cette application est constante.
Soit deux vecteurs non-nuls (x,y). Montrons que λx=λyen ´etudiant les deux cas possibles :
1. Le syst`eme (x,y) est libre. Comme
u(x+y) = λx+y.(x+y) = λx.x +λy.y
on obtient que
(λx+y−λx).x + (λx+y−λy).y = 0
et comme le syst`eme (x,y) est libre, il vient que
λx=λx+y=λy
2. Le syst`eme (x,y) est li´e. Alors il existe α∈Rtel que y=α.x (on a suppos´e que x6= 0). Alors
u(y) = λy.y = (αλy).x =u(α.x) = αu(x) = αλx.x
comme on a suppos´e que x6= 0, on en tire que α(λy−λx) = 0 et par cons´equent, puisque y6= 0, que
λx=λy.
Donc, lorsque x6= 0 et y6= 0, on a montr´e que λx=λy. D´efinissons le scalaire λqui vaut cette constante λx
qui est ind´ependante du vecteur xnon-nul. Pour le vecteur nul, on a encore u(0) = 0 = λ.0 et par cons´equent,
∀x∈E,u(x) = λ.x. Donc u=λ. id.
Q2 Il est clair que Im(T r) = R. En effet, si λ∈R, en posant Ala matrice avec a11 =λet tous les autres coefficients
nuls, on a bien Tr(A) = λ.
Alors, d’apr`es la formule du rang, on tire que dim(Ker(T r))=n2−1. En d’autres termes, Ker(T r) est un
hyperplan de l’espace des matrices Mn(R).
Q3 a) En d´ecomposant la matrice Bsur la base canonique de Mn(R), on trouve que
BEkl =
n
X
i=1
n
X
j=1
bijEij Ekl
=
n
X
i=1
n
X
j=1
bijδjk Eil
=
n
X
i=1
bikEil

MPSI 2 4 DL 07
Par cons´equent,
Tr(BEkl) =
n
X
i=1
bik Tr(Eil)
=
n
X
i=1
bikδil
=blk
b) Il suffit de poser B= ((bij ))1≤i,j≤no`u le coefficient Best d´efini par bij =ψ(Eji). Soit alors une matrice
A= ((aij ))1≤i,j≤n∈Mn(R). On calcule
ψ(A) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijψ(Eij )
=
n
X
i=1
n
X
j=1
aijbji
=
n
X
i=1
n
X
j=1
aij Tr(BEij )
= Tr(BA)
Q4 Soit φ∈L(E)?. D´efinissons la forme lin´eaire correspondante sur Mn(R). Consid´erons pour cela une base ede
l’espace Eet posons
ψ:Mn(R)−→ R
A7→ φ(u)
o`u uest l’unique endomorphisme de Etel que A= Mate(u). On montre facilement que ψest lin´eaire. D’apr`es la
question pr´ec´edente, il existe une matrice B∈Mn(R) telle que ∀A∈Mn(R), ψ(A) = Tr(BA). Notons vl’unique
endomorphisme de Etel que B= Mate(v). Alors pour tout endomorphisme u∈L(E), Tr(BA) = Tr(v◦u) et
donc φ(u) = Tr(v◦u).
Q5
– (i)⇒(ii). Soit un endomorphisme f∈L(E) et eune base de l’espace E. Notons B= Mate(f) la
matrice de l’endomorphisme fdans la base e. Consid´erons une matrice A∈Mn(R). Il existe un unique
endomorphisme u∈L(E) tel que A= Mate(u). Puisque φf(u) = 0, on obtient que Tr(BA) = 0 pour
toute matrice A. En particulier, si l’on prend A=Ekl, on obtient que blk = 0, et donc que la matrice B
est nulle. Mais alors f= 0.
– (ii)⇒(i) : clair.
b) D’apr`es a), l’application Φ est injective. D’apr`es la formule du rang, on tire que rg Φ = n2et donc que Φ est
surjective. Par cons´equent, Φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Q6 a) Soit u∈L(E). Montrons que Φ(f◦u) = Φ(u◦f). Soit v∈L(E), on calcule
Φ(f◦u)(v) = φf◦u(v) = Tr(f◦u◦v) = φf(u◦v) = φf(v◦u)
D’autre part, en utilisant la propri´et´e de la trace, Tr(w1◦w2) = Tr(w2◦w1), on calcule
Φ(u◦f)(v) = φu◦f(v) = Tr(u◦(f◦v)) = Tr(f◦v)◦u) = φf(v◦u)
Par cons´equent, ∀v∈L(E), Φ(f◦u)(v) = Φ(u◦f)(v) et par cons´equent, Φ(f◦u) = Φ(u◦f). Puisque on a vu
`a la question 5 que Φ ´etait un isomorphisme, il vient que f◦u=u◦f.
b) Comme fcommute avec tous les endomorphismes, on en d´eduit que fest une homoth´etie (voir l’exercice
fait en cours). Donc il existe λ∈Rtel que f=λ. id.
c) Alors pour tout endomorphisme u∈L(E), Φf(u) = λTr(u) et donc Φf=λ. Tr.
Q7 Par l’absurde, s’il existait λ∈Rtel que u=λid, alors Tr(u) = nλ d’o`u λ= 0 et alors u= 0 ce qui est
impossible.

MPSI 2 5 DL 07
Q8 D’apr`es la question 1, puisque un’est pas une homoth´etie, il existe un vecteur x0∈Etel que le syst`eme
u(x0),x0soit libre. On compl`ete ce syst`eme en une base de Ede la forme e0= (x0,u(x0),e3,...,en) en
utilisant le th´eor`eme de la base incompl`ete. Dans cette base la matrice de us’´ecrit
Mate0(u) = 
0 ? ...
1 ? ...
0 ? ...
.
.
. ? ...
0 ? ...
Q9 On montre facilement que ψDest lin´eaire. Cherchons son noyau. Soit M= ((mij ))1≤i,j≤n∈Ker ψD. On calcule
DM =
n
X
i=1
n
X
j=1
αimijEij
MD =
n
X
i=1
n
X
j=1
αjmij Eij
Comme DM −MD = 0, en en d´eduit que
∀(i,j)∈[[1,n]]2,(αi−αj)mij = 0
et donc que pour i6=j,mij = 0. La matrice Mest donc n´ecessairement diagonale. On v´erifie r´eciproquement
que si Mest une matrice diagonale, on a bien ψ(D)(M) = 0 (on sait multiplier deux matrices diagonales). Donc
Ker ψD=Dn(R).
Q10 Soit M∈Mn(R). D’apr`es le calcul pr´ec´edent,
ψD(M) =
n
X
i=1
n
X
j=1
(αi−αj)mij Eij
On en d´eduit que ψD(M) est une matrice de trace nulle, et donc que Im ψD⊂ D0(ensemble des matrices de
trace nulle). R´eciproquement, si A= ((aij )) ∈Mn(R) est une matrice de trace nulle, il suffit de d´efinir pour
i6=j,mij =aij
αi−αj
et ∀i∈[[1,n]], mii = 0, et on a bien ψD(M) = A. Par cons´equent, l’image de ψDest
l’ensemble des matrices de trace nulle.
Q11
– (ii)⇒(i) est clair .
– (i)⇒(ii) D’apr`es le r´esultat admis, il existe une base bde l’espace Etelle que la matrice de udans cette
base soit une matrice A`a coefficients diagonaux nuls. D’apr`es la question 10, en posant par exemple D=
Diag(1; 2; ...;n) il existe une matrice M∈Mn(R) telle que ψD(M) = A. En appelant vl’endomorphisme
de Eayant Dcomme matrice dans la base bet wl’endomorphisme de Eayant Mcomme matrice dans
la base b, on a alors u=v◦w−w◦v.