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E.5. Potentiel de Yukawa CCP 2015
On considère une distribution de charges de symétrie sphérique autour d'un point O origine du
repère. En un point M tel que OM = r, le potentiel électrostatique est donné par :
V(M) = V(r) =
0
q
πε
q et a sont des constantes positives respectivement homogènes à une charge électrique et à
une longueur.
1. Déterminer l’expression du champ électrostatique E(M) en tout point de l’espace.
Donner des équivalents au champ E lorsque r tend vers 0 et vers l’infini.
Que peut-on en déduire ?
2. Calculer Q(r) la charge intérieure à une sphère de rayon r et de centre O.
Calculer les limites de la charge Q(r) lorsque r tend vers 0 et vers l’infini.
Retrouver les conclusions précédentes.
3. Calculer la charge volumique ρ(r) en M ainsi que la charge diffuse Q
diff
contenue dans une
sphère de centre O et de rayon r.
E.6. Tranche de charges (incontournables p159)
On considère une distribution volumique (D) de charges ρ uniforme, d’extension infinie,
comprise entre deux plans z = –
et z =
dans le repère (O, u
x
, u
y
, u
z
).
1. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques en tout point de l’espace. On pose V(0) = 0.
2. Étudier le cas où a tend vers 0.
E.7. Distribution entre deux sphères concentriques (incontournables p167)
On considère une charge q négative répartie en volume entre deux sphères concentriques de
rayons R
1
et R
2
. On appelle ρ(r) la densité volumique de charges entre R
1
et R
2
. Le champ
électrostatique se met sous la forme E(M) = a(r – R
1
).u
r
pour R
1
≤ r ≤ R
2
avec a une constante.
1. Déterminer la densité volumique de charge ρ(r) en fonction de a, r, R
1
et ε
0
.
2. Déterminer a en fonction de q, ε
0
, R
1
et R
2
.
3. Déterminer le champ électrostatique en tout point de l’espace.
4. En déduire le potentiel électrostatique en tout point de l’espace. On pose V(∞) = 0.
E.8. Capacité d’un câble coaxial CCP 2015
Un câble coaxial est formé d’un conducteur cylindrique plein, de rayon R
1
, de charge Q, de
longueur h, d’axe Oz, de potentiel V
1
> 0, entouré d’un conducteur cylindrique creux, de rayon
intérieur R
2
, de charge – Q, de potentiel V
2
= 0. Le vide sépare les deux conducteurs.
On néglige les effets de bord. On pose U = V
1
– V
2
. La capacité C du câble coaxial est définie
par Q = CU.
1. Déterminer le champ électrostatique dans l’espace défini par R
1
< r < R
2
.
2. En déduire l’expression du potentiel électrostatique dans l’espace défini par R
1
< r < R
2
.
3. Donner l’expression de la capacité C du câble en fonction de h, R
1
, R
2
et ε
0
.