Divisibilité et Congruence

Divisibilité et Congruence
1
Divisibilité
1.1
Dé…nitions et critères de divisibilité
Dé…nition 1 Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b ou que a est un diviseur de b
ou encore que b est un multiple de a s’il existe q 2 Z tel que b = aq. Lorsque a divise b, on écrit ajb.
Soit a 2 Z, on note aZ ou (a) l’ensemble des multiples de a et on note Div (a) l’ensemble des
diviseurs de a.
Remarque 2 Tout entier divise 0 et 0 ne divise que 0. Tout entier est un multiple de 1 et de
Proposition 3 Soit a et b deux entiers relatifs. L’entier a divise b si et seulement si bZ
1.
aZ.
Démonstration. Si a divise b alors il existe q 2 Z tel que b = aq. Soit c 2 bZ : 9n 2 Z,
c = nb = naq = a(nq) donc c 2 aZ. Réciproquement, si bZ aZ alors b 2 bZ aZ donc b 2 aZ :
9q 2 Z, b = aq.
Exemple 4 6Z = f: : : ; 12; 6; 0; 6; 12; : : :g, 3Z = f: : :
6; 3; 0; 3; 6; : : :g et 6Z
3Z.
Proposition 5
Un nombre est divisible par 2 si et seulement si il est pair, c’est à dire que son
chi¤re des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8.
Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chi¤res
l’est.
Un nombre est un multiple de 5 si et seulement s’il se termine par 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chi¤res est divisible par 9.
Même méthode pour 3.
Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chi¤res l’est. Par
exemple 748 est un multiple de 11 car 7 4 + 8 = 11.
La preuve sera donnée plus tard.
1.2
Relations d’ordres
Dans toute cette partie, E désigne un ensemble non vide.
Dé…nition 6 On appelle relation d’ordre dans E toute relation binaire R sur E (i.e. qui relie deux
éléments de E) qui est ré‡exive, anti-symétrique et transitive, c’est-à-dire :
8
ré‡exivité
< 8a 2 E; aRa
8a; b 2 E; aRb et bRa =) a = b anti-symétrie
:
8a; b; c 2 E; aRb et bRc =) aRc transitivité
1
Exemple 7
1. La relation
est une relation d’ordre sur N; Z, Q, R.
2. L’ordre alphabétique donne une relation d’ordre sur l’ensemble des mots.
3. Soit E un ensemble et P (E) l’ensemble de ses parties alors la relation d0 inclusion notée
une relation d’ordre sur P (E).
est
Proposition 8 La relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N.
Démonstration. Pour tout a 2 N, a = 1:a donc aja. Si ajb et si bja alors jaj = jbj; comme a et
b sont positifs, on en déduit que a = b. En…n, si ajb et si bjc alors cZ bZ aZ donc cZ aZ donc
a divise c.
Remarque 9 La relation j n’est pas une relation d’ordre sur Z car elle n’est pas antisymétrique.
1.3
Division Euclidienne
Dé…nition 10 Soit x un nombre réel, on appelle partie entière de x et l’on note E (x) le plus grand
entier inférieur ou égal à x.
Exemple 11 E (27; 356) = 27 ; E ( ) = 3 ; E ( 1; 5) =
2 ; E (0; 01) = 0 ; E ( 0; 01) =
1.
Remarque 12 Pour tout nombre réel x on a
0
x
E (x) < 1
Theorem 13 Division Euclidienne : soit a 2 Z et b 2 N . Il existe un unique couple (q; r) d’entiers
relatifs tel que
a = qb + r et 0 r < b
On dit que q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Démonstration. Unicité du couple (q; r).
Si a = qb + r = q 0 b + r0 avec 0 r < b et 0 r0 < b. Alors b < r0 b(q 0 q) = r r0 r < b.
En simpli…ant par b > 0 on obtient que 1 < q 0 q < 1, d’où q 0 q = 0, puis que r = r0 .
Existence du couple (q; r).
a et b sont donnés soit q = E ab , d’après la remarque précédente on a 0 ab E ab < 1 donc
en multipliant par b
a
0 a b E
<b
b
Si on pose r = a b E ab on a bien
a = qb + r
0
r<b
ce qui conclut.
2
Exemple 14 On a 25 = 3 7 + 4 donc 3 est le quotient et 4 le reste de la division euclidienne de
25 par 7. On a 25 = ( 4) 7 + 3 donc 4 est le quotient et 3 le reste de la division euclidienne
de 25 par 7.
Remarque 15 Le reste est toujours positif donc qb est le plus grand multiple de b inférieur à a. Par
exemple si on divise 2 par 3 le quotient est 1 et le reste 1.
Remarque 16 L’expression 35 = 3
est 5.
10 + 5 est la division de 35 par 10 mais pas par 3 car le reste
Remarque 17 Soit a et b deux entiers naturels. Si a est non nul, a divise b si et seulement si le
reste de la division euclidienne de b par a est nul.
2
Congruences
2.1
Relations d’équivalences
Dé…nition 18 On appelle relation d’équivalence dans E toute relation binaire R sur E qui est
ré‡exive, symétrique et transitive, c’est-à-dire :
8
ré‡exivité
< 8a 2 E; aRa
8a; b 2 E; aRb =) bRa
symétrie
:
8a; b; c 2 E; aRb et bRc =) aRc transitivité
Si aRb, on dit que a et b sont équivalents ou congrus modulo R.
Exemple 19
1. La relation d’égalité est une relation d’équivalence dans R.
2. La relation “ a est né la même année que b”dé…nit sur l’ensemble des étudiants de MIAS1 une
relation d’équivalence.
3. La relation " est orthogonale à " n’est pas une relation d’équivalence sur les droites (du plan
ou de l’espace).
4. La relation "a le même degré que" est une relation d’équivalence sur l’ensemble des polynômes.
2.2
Relation de congruence
Dans toute cette partie, n désigne un entier supérieur ou égal à 2.
Dé…nition 20 Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a est congru à b modulo n si a
un multiple de n. Cette propriété se note a b mod n ou a b [n].
Exemple 21
x
On a 18
5 [13]; 50
1 [7] et 8
b est
4 [2].
y [2] si et seulement si x et y sont de même parité.
Lemma 22 Soit a 2 Z. Le reste de la division euclidienne de a par n est l’unique entier x tel que
a x [n] et 0 x < n.
On en déduit que deux nombres sont congrus modulo n si et seulement si ils ont le même reste
dans la division euclidienne par n.
3
Démonstration. Soit q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par n. On a
a = nq + r et 0 r < n. Comme nq = a r, a r [n]. Si a x [n] alors il existe m 2 Z tel que
a x = nm. Alors a = nm + x. Si 0 x < n, x est nécessairement le reste de la division euclidienne
de a par n (unicité du reste).
Proposition 23 La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence.
Démonstration. Comme tout entier divise 0, il est clair que pour tout a 2 Z on a a a [n].
D’autre part, si n divise a b alors n divise b a : la relation est symétrique. En…n, s’il existe q 2 Z
tel que a b = nq et s’il existe k 2 Z tel que b c = nk alors a c = n(q + k) donc n divise a c
donc a c [n] : la relation est transitive.
2.3
preuve des critères de divisibilité
Proposition 24 Tout nombre est congru à son chi¤re des unités modulo 2 et au nombre formé par
ses deux derniers chi¤res modulo 4.
10n
Démonstration. Soit x = an an
1
an 1 + 10n an . Donc on a
x
x
1
a3 a2 a1 a0 = a0 + 10
a1 + 100
a2 + 1000
a3 +
+
a0 [2] car 10 est pair
a0 + 10 a1 [4] car 100 est multiple de 4
Proposition 25 Tout nombre est congru à la somme de ses chi¤res modulo 9.
Démonstration. Soit x = an an 1
a3 a2 a1 a0 = a0 + 10 a1 + 100 a2 + 1000 a3 +
+
n
10
an 1 + 10
an la somme des chi¤res de x est S = a0 + a1 + a2 + a3 +
+ an 1 + an
n 1
n
Alors x S = 9 a1 + 99 a2 + 999 a3 +
+ (10
1) an 1 + (10
1) an donc c’est
un multiple de 9. Donc il existe k tel que x S = 9k donc x S [9].
n 1
Exemple 26 3542
2.4
5 [9] et 6421
4 [9]
Opérations et congruences
Proposition 27 Soit a; b; c et d quatre entiers relatifs tels que a
b [n] et c
a + c b + d [n]
compatibilité avec l’addition
ac bd [n]
compatibilité avec la multiplication
8k 2 Z; ka kb [n]
8k 2 N ; ak bk [n]
d [n]. Alors
Démonstration. Il existe q 2 Z tel que a b = nq et il existe k 2 Z tel que c d = nk.
On a (a + c) (b + d) = n(q + k) donc a + c b + d [n].
On a ac = (b + nq)(d + nk) = bd + n(bk + qd + nqk) donc ac bd [n].
Pour tout k 2 Z, n divise a b donc divise k(a b) donc ka kb [n].
Pour k = 1, c’est vrai par hypothèse sur a et b. Supposons que ak bk [n] pour un entier k 2 N .
Alors en utilisant la compatibilité avec le produit, ak a
bk b [n] et donc ak+1
bk+1 [n]. On
vient donc d’établir la propriété par récurrence sur k.
Exemple 28
Le nombre 3542 + 6421 est un multiple de 9.
3542
6421
2 [9]
Si a
b [n] alors
a
b [n].
Le reste de la division par 7 de 10100 est 4.
4
Ensemble Z=nZ
3
3.1
Classes d’équivalences
Dans cette partie R désignera une relation d’équivalence sur E:
Dé…nition 29 Soit a 2 E. On appelle classe d’équivalence selon R l’ensemble
a = fb 2 E;
Exemple 30
fxg.
aRbg
1. Les classes d’équivalences selon la relation d’égalité dans R sont les singletons
2. Les classes d’équivalences selon la relation “ a est né la même année que b” sont les classes
d’âges.
3. Soient (A; B) et (C; D) deux couples de points du plan, on dit que ces couples sont équipollents
si et seulement si ABDC (et non pas ABCD) est un parallèlogramme.
L’équipollence est une relation d’équivalence et la classe d’équivalence du couple (A; B) est le
!
vecteur AB.
Dé…nition 31 On appelle ensemble quotient de E par R, l’ensemble des classes d’équivalence modulo
R, on le note E=R.
Exemple 32 L’ensembles des vecteurs du plan est l’ensemble quotient
fcouples de points du plang = (relation d’équipollence)
3.2
Ensemble Z=nZ
Dé…nition 33 Pour tout entier n
gruence modulo n.
On peut noter Z=nZ =
2, Z=nZ est l’ensemble quotient de Z par la relation de con-
_ 1;
_ 2;
_ :::;n
0;
1
où x_ est la classe de x c’est à dire l’ensemble des
nombres dont la division euclidienne par n a pour reste x.
_ 1_ avec 0_ = fnombres pairsg et 1_ = fnombres impairsg
Exemple 34 Z=2Z = 0;
5
3.3
Opérations
_ et une opération multiplication notée _ sur Z=nZ de la
On va dé…nir une opération somme notée +
façon suivante :
_ b_ =
a_ +
a+b
a_ _ b_ =
a
b
La proposition 27 permet de montrer que ces opérations sont bien dé…nies.
Exemple 35 Quelques calculs dans Z=10Z
_ 8_ = 11 = 1_ , 4_ _ 4_ = 16 = 6_ ,
3_ +
_
_ 8_ = 10 = 0_ on dit que 8_ est l’opposé de 2_ et que 2_ est l’opposé de 8.
2_ +
_
3_ _ 7_ = 21 = 1_ on dit que 7_ est l’inverse de 3_ et que 3_ est l’inverse de 7.
2_ _ 5_ = 0_ : on dit que 2_ et 5_ sont des diviseurs de zéros.
_ 5_ = 0_ donc 5_ est égal à son opposé !
5_ +
9_ _ 9_ = 81 = 1_ donc 9_ est égal à son inverse.
3_
100
=
3_
2 50
= 9_
50
=
9_
2 25
= 1_
25
= 1_
Dé…nition 36 Soit n 2 N et soit x_ un élément non nul de Z=nZ. On dit que x_ est un diviseur de
zéro si et seulement si il existe y_ 6= 0_ 2 Z=nZ tel que
x_ _ y_ = 0_
Remarque 37 2_ et 5_ sont des diviseurs de zéros dans Z=10Z mais pas dans Z=6Z car dans ce cas 2_
_
_ 5_ = 4.
Dé…nition 38 Soit x_ un élément de Z=nZ, on dit que x_ est inversible si et seulement si il existe
y_ 2 Z=nZ tel que
x_ _ y_ = 1_
L’ensemble des éléments inversibles de Z=nZ est noté(Z=nZ) .
Exemple 39
(Z=3Z) =
(Z=4Z) =
(Z=5Z) =
(Z=6Z) =
(Z=7Z) =
(Z=8Z) =
(Z=2Z) = 1_
_ 2_
1;
_ 3_
1;
_ 2;
_ 3;
_ 4_
1;
_ 5_
1;
_ 2;
_ 3;
_ 4;
_ 5;
_ 6_
1;
_1; 3;
_ 5;
_ 7_
Remarque 40 Soit x_ un élément de Z=nZ alors x_ ne peut pas être à la fois inversible et un diviseur
de zéro.
Démonstration. Supposons qu’il existe y_ tel que x_ _ y_ = 1_ et z_ 6= 0_ tel que x_ _ z_ = 0_ alors
x_ _ y_ _ z_ = z_
= x_ _ z_ _ y_ = 0_
ce qui donne une contradiction.
6
_ On
Proposition 41 Si x_ 2 (Z=nZ) alors il existe un unique élément y_ 2 Z=nZ tel que x_ _ y_ = 1.
1
appelle cet élément l’inverse de x et on le note (x)
_ .
Démonstration. Supposons qu’il existe y_ et z_ tels que x_ _ y_ = 1_ et x_ _ z_ = 1_ alors
x_ _ y_ _ z_ = z_
= x_ _ z_ _ y_ = y_
donc
z_ = y_
1
Exemple 42 Dans Z=5Z on a 2_
Dans Z=nZ on a toujours 1_
= 3_ donc 3_
1
1
= 2_ et 4_
1
= 1_ et
(p
p
1
1)2 = p2
=p
2p + 1
1, en e¤et
1 [p]
Dé…nition 43 On appelle fonction indicatrice d’Euler et on note
par
(n) = Card ((Z=nZ) )
Exemple 44 On a
(2) = 1,
_
= 4.
1
(3) = 2,
(4) = 2,
7
(5) = 4,
l’application de N dans N dé…nie
(6) = 2,
(7) = 6 et
(8) = 4.