Divisibilité et Congruence

Divisibilité et Congruence
1 Divisibilité
1.1 Dé…nitions et critères de divisibilité
Dé…nition 1 Soit aet bdeux entiers relatifs. On dit que adivise bou que aest un diviseur de b
ou encore que best un multiple de as’il existe q2Ztel que b=aq. Lorsque adivise b, on écrit ajb.
Soit a2Z, on note aZou (a)l’ensemble des multiples de aet on note Div (a)l’ensemble des
diviseurs de a.
Remarque 2 Tout entier divise 0et 0ne divise que 0. Tout entier est un multiple de 1et de 1.
Proposition 3 Soit aet bdeux entiers relatifs. L’entier adivise bsi et seulement si bZaZ.
Démonstration. Si adivise balors il existe q2Ztel que b=aq. Soit c2bZ:9n2Z,
c=nb =naq =a(nq)donc c2aZ. Réciproquement, si bZaZalors b2bZaZdonc b2aZ:
9q2Z,b=aq.
Exemple 4 6Z=f: : : ; 12;6;0;6;12; : : :g,3Z=f: : : 6;3;0;3;6; : : :get 6Z3Z.
Proposition 5 Un nombre est divisible par 2si et seulement si il est pair, c’est à dire que son
chi¤re des unités est 0;2;4;6ou 8.
Un nombre est divisible par 4si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chi¤res
l’est.
Un nombre est un multiple de 5si et seulement s’il se termine par 0ou 5.
Un nombre est divisible par 9si et seulement si la somme de ses chi¤res est divisible par 9.
Même méthode pour 3.
Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chi¤res l’est. Par
exemple 748 est un multiple de 11 car 74 + 8 = 11.
La preuve sera donnée plus tard.
1.2 Relations d’ordres
Dans toute cette partie, Edésigne un ensemble non vide.
Dé…nition 6 On appelle relation d’ordre dans Etoute relation binaire Rsur E(i.e. qui relie deux
éléments de E) qui est ré‡exive, anti-symétrique et transitive, c’est-à-dire :
8
<
:
8a2E; aRaré‡exivité
8a; b 2E; aRbet bRa=)a=banti-symétrie
8a; b; c 2E; aRbet bRc=)aRctransitivité
1

Exemple 7 1. La relation est une relation d’ordre sur N;Z,Q,R.
2. L’ordre alphabétique donne une relation d’ordre sur l’ensemble des mots.
3. Soit Eun ensemble et P(E)l’ensemble de ses parties alors la relation d0inclusion notée est
une relation d’ordre sur P(E).
Proposition 8 La relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N.
Démonstration. Pour tout a2N,a= 1:a donc aja. Si ajbet si bjaalors jaj=jbj; comme aet
bsont positifs, on en déduit que a=b. En…n, si ajbet si bjcalors cZbZaZdonc cZaZdonc
adivise c.
Remarque 9 La relation jn’est pas une relation d’ordre sur Zcar elle n’est pas antisymétrique.
1.3 Division Euclidienne
Dé…nition 10 Soit xun nombre réel, on appelle partie entière de xet l’on note E(x)le plus grand
entier inférieur ou égal à x.
Exemple 11 E(27;356) = 27 ;E() = 3 ;E(1;5) = 2;E(0;01) = 0 ;E(0;01) = 1.
Remarque 12 Pour tout nombre réel xon a
0xE(x)<1
Theorem 13 Division Euclidienne : soit a2Zet b2N. Il existe un unique couple (q; r)d’entiers
relatifs tel que
a=qb +ret 0r < b
On dit que qest le quotient et rle reste de la division euclidienne de apar b.
Démonstration. Unicité du couple (q; r).
Si a=qb +r=q0b+r0avec 0r < b et 0r0< b. Alors b < r0b(q0q) = rr0r < b.
En simpli…ant par b > 0on obtient que 1< q0q < 1, d’où q0q= 0, puis que r=r0.
Existence du couple (q; r).
aet bsont donnés soit q=Ea
b, d’après la remarque précédente on a 0a bEa b<1donc
en multipliant par b
0abEa
b< b
Si on pose r=abEa
bon a bien
a=qb +r
0r < b
ce qui conclut.
2

Exemple 14 On a 25 = 3 7+4 donc 3est le quotient et 4le reste de la division euclidienne de
25 par 7. On a 25 = (4) 7+3 donc 4est le quotient et 3le reste de la division euclidienne
de 25 par 7.
Remarque 15 Le reste est toujours positif donc qb est le plus grand multiple de binférieur à a. Par
exemple si on divise 2par 3le quotient est 1et le reste 1.
Remarque 16 L’expression 35 = 3 10 + 5 est la division de 35 par 10 mais pas par 3car le reste
est 5.
Remarque 17 Soit aet bdeux entiers naturels. Si aest non nul, adivise bsi et seulement si le
reste de la division euclidienne de bpar aest nul.
2 Congruences
2.1 Relations d’équivalences
Dé…nition 18 On appelle relation d’équivalence dans Etoute relation binaire Rsur Equi est
ré‡exive, symétrique et transitive, c’est-à-dire :
8
<
:
8a2E; aRaré‡exivité
8a; b 2E; aRb=)bRasymétrie
8a; b; c 2E; aRbet bRc=)aRctransitivité
Si aRb, on dit que aet bsont équivalents ou congrus modulo R.
Exemple 19 1. La relation d’égalité est une relation d’équivalence dans R.
2. La relation “ aest né la même année que b”dé…nit sur l’ensemble des étudiants de MIAS1 une
relation d’équivalence.
3. La relation " est orthogonale à " n’est pas une relation d’équivalence sur les droites (du plan
ou de l’espace).
4. La relation "a le même degré que" est une relation d’équivalence sur l’ensemble des polynômes.
2.2 Relation de congruence
Dans toute cette partie, ndésigne un entier supérieur ou égal à 2.
Dé…nition 20 Soit aet bdeux entiers relatifs. On dit que aest congru à bmodulo nsi abest
un multiple de n. Cette propriété se note abmod nou ab[n].
Exemple 21 On a 18 5 [13];50 1 [7] et 84 [2].
xy[2] si et seulement si xet ysont de même parité.
Lemma 22 Soit a2Z. Le reste de la division euclidienne de apar nest l’unique entier xtel que
ax[n]et 0x<n.
On en déduit que deux nombres sont congrus modulo nsi et seulement si ils ont le même reste
dans la division euclidienne par n.
3

Démonstration. Soit qet rle quotient et le reste de la division euclidienne de apar n. On a
a=nq +ret 0r < n. Comme nq =ar,ar[n]. Si ax[n]alors il existe m2Ztel que
ax=nm. Alors a=nm +x. Si 0x<n,xest nécessairement le reste de la division euclidienne
de apar n(unicité du reste).
Proposition 23 La relation de congruence modulo nest une relation d’équivalence.
Démonstration. Comme tout entier divise 0, il est clair que pour tout a2Zon a aa[n].
D’autre part, si ndivise abalors ndivise ba: la relation est symétrique. En…n, s’il existe q2Z
tel que ab=nq et s’il existe k2Ztel que bc=nk alors ac=n(q+k)donc ndivise ac
donc ac[n]: la relation est transitive.
2.3 preuve des critères de divisibilité
Proposition 24 Tout nombre est congru à son chi¤re des unités modulo 2et au nombre formé par
ses deux derniers chi¤res modulo 4.
Démonstration. Soit x=anan1   a3a2a1a0=a0+ 10 a1+ 100 a2+ 1000 a3+   +
10n1an1+ 10nan. Donc on a
xa0[2] car 10 est pair
xa0+ 10 a1[4] car 100 est multiple de 4
Proposition 25 Tout nombre est congru à la somme de ses chi¤res modulo 9.
Démonstration. Soit x=anan1   a3a2a1a0=a0+ 10 a1+ 100 a2+ 1000 a3+   +
10n1an1+ 10nanla somme des chi¤res de xest S=a0+a1+a2+a3+   +an1+an
Alors xS= 9 a1+ 99 a2+ 999 a3+   + (10n11) an1+ (10n1) andonc c’est
un multiple de 9. Donc il existe ktel que xS= 9kdonc xS[9].
Exemple 26 3542 5 [9] et 6421 4 [9]
2.4 Opérations et congruences
Proposition 27 Soit a; b; c et dquatre entiers relatifs tels que ab[n]et cd[n]. Alors
a+cb+d[n]compatibilité avec l’addition
ac bd [n]compatibilité avec la multiplication
8k2Z; ka kb [n]
8k2N; akbk[n]
Démonstration. Il existe q2Ztel que ab=nq et il existe k2Ztel que cd=nk.
On a (a+c)(b+d) = n(q+k)donc a+cb+d[n].
On a ac = (b+nq)(d+nk) = bd +n(bk +qd +nqk)donc ac bd [n].
Pour tout k2Z,ndivise abdonc divise k(ab)donc ka kb [n].
Pour k= 1, c’est vrai par hypothèse sur aet b. Supposons que akbk[n]pour un entier k2N.
Alors en utilisant la compatibilité avec le produit, akabkb[n]et donc ak+1 bk+1 [n]. On
vient donc d’établir la propriété par récurrence sur k.
Exemple 28 Le nombre 3542 + 6421 est un multiple de 9.
3542 6421 2 [9]
Si ab[n]alors a b[n].
Le reste de la division par 7de 10100 est 4.
4

3 Ensemble Z=nZ
3.1 Classes d’équivalences
Dans cette partie Rdésignera une relation d’équivalence sur E:
Dé…nition 29 Soit a2E. On appelle classe d’équivalence selon Rl’ensemble
a=fb2E;aRbg
Exemple 30 1. Les classes d’équivalences selon la relation d’égalité dans Rsont les singletons
fxg.
2. Les classes d’équivalences selon la relation “ aest né la même année que b” sont les classes
d’âges.
3. Soient (A; B)et (C; D)deux couples de points du plan, on dit que ces couples sont équipollents
si et seulement si ABDC (et non pas ABCD) est un parallèlogramme.
L’équipollence est une relation d’équivalence et la classe d’équivalence du couple (A; B)est le
vecteur ! AB.
Dé…nition 31 On appelle ensemble quotient de Epar R, l’ensemble des classes d’équivalence modulo
R, on le note E=R.
Exemple 32 L’ensembles des vecteurs du plan est l’ensemble quotient
fcouples de points du plang=(relation d’équipollence)
3.2 Ensemble Z=nZ
Dé…nition 33 Pour tout entier n2,Z=nZest l’ensemble quotient de Zpar la relation de con-
gruence modulo n.
On peut noter Z=nZ=_ 0;_ 1;_ 2;:::; n1où _xest la classe de xc’est à dire l’ensemble des
nombres dont la division euclidienne par na pour reste x.
Exemple 34 Z=2Z=_ 0;_ 1avec _ 0 = fnombres pairsget _ 1 = fnombres impairsg
5