12. Variables aléatoires réelles discrètes finies

12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
12.1 Généralités
12.1.1 Définitions et notations
Définition 12.1.1 Soit
(Ω,P(Ω))
un espace probabilisable fini. On appelle variable aléatoire
réelle discrète finie sur Ω(VARDF sur Ω) toute application X de RΩ.
■Exemple 12.1 On modélise le lancer de deux dés par une probabilité uniforme sur l’ensemble
1 , 6 2 . Alors, la somme des numéros obtenus sur les deux dés se modélise par la VARDF, notée
X, définie par X : 1,62→R, (i,j)→ i+j.■
Notation 12.1. Pour X une VARDF sur Ω , comme pour toute application, on peut considérer
l’image directe d’un sous-ensemble de Ω par X et l’image réciproque d’un sous-ensemble de R par
X . Dans le cadre des probabilités, la notation standard pour l’image directe ne diffère pas de celle
utilisée ailleurs en mathématiques. Par exemple, on note :
X(Ω)=X({ω1, ...,ωn}) ={X(ω1),...,X(ωn)}.
Par contre, la notation standard en probabilités pour l’image réciproque diffère de celle utilisée
ailleurs en mathématiques. En probabilités, les images réciproques sont notées avec des crochets.
Ainsi, on a :
X−1(A) =[X∈A]={ω∈Ω|X(ω)∈A}.
Cette notation se généralise à n’importe quelle proposition Qportant sur des éléments de R:
[X vérifie Q]={ω∈Ω|X(ω) vérifie Q}.
■Exemple 12.2 On reprend les mêmes objets que ceux de l’exemple précédent. On a alors
[X =3] ={(1,2), (2,1)} ou encore [X ≤3] ={(1,1),(1,2),(2, 1)}. ■
Notation 12.2. Une application constante sur Ω est une VARDF sur Ω . On la note généralement
via la valeur de sa constante, i.e. pour un réel a, on note a:Ω−→ R
ω−→ a.

160 Chapitre 12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
Théorème 12.1.1 — Opérations usuelles. Soient X et Y deux VARDF sur un espace probabi-
lisable fini
(Ω,P(Ω))
. Soient λ∈R et f une fonction réelle définie sur un intervalle I de R tel
que X(Ω)⊂I. Alors, on peut définir les VARDF suivantes :
(i) X+Y : Ω−→ R
ω−→ X(ω)+Y(ω)
(addition)
(ii) λ.X : Ω−→ R
ω−→ λ×X(ω)
(multiplication par un scalaire)
(iii) X×Y : Ω−→ R
ω−→ X(ω)×Y(ω)
(multiplication)
(iv) f◦X : Ω−→ R
ω−→ f(X(ω))
(transfert)
Démonstration. Ceci découle directement des résultats usuels sur les applications réelles. ■
R
On remarque que l’on ne parle pas de composition pour les VARDF mais de transfert. C’est
dû au fait que l’on utilise une fonction
f qui permet de passer d’une VARDF à une autre (i.e.
X à f◦X), mais que fn’est pas, en soi, une VARDF : ce n’est qu’une fonction de transfert.
Théorème 12.1.2 — Système complet associés à une VARDF. Soit X une VARDF sur un
espace probabilisable fini (Ω,P(Ω)). La famille ([X =x])x∈X(Ω)forme une partition de Ω.
Démonstration.
C’est très direct. Si ω∈Ω alors, par la définition d’une application, l’image de ω
par X , X ( ω ), est définie de manière unique dans X ( Ω ). Ainsi, ω appartient à un unique ensemble
de la famille ([X =x])x∈X(Ω).■
12.1.2 Loi de probabilité et fonction de répartition
Définition 12.1.2 — Loi de probabilité. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé fini
(Ω,P(Ω),P). On appelle loi de probabibilité de X l’application LXdéfinie par :
LX: X(Ω)−→ [0,1]
x−→ P([X =x]) .
Notation 12.3. Pour simplifier, on note souvent P ( X=x )et, plus généralement, P ( X vérifie Q )au
lieu de P([X =x]) et P([X vérifieQ]).
Exercice 12.1 Déterminer la loi de probabilité LX, où X est la VARDF de l’exemple 12.1. ■

12.2 Espérance et variance 161
Définition 12.1.3 — Égalité en loi. Soient X et Y des VARDF sur un espace probabilisé fini
(Ω,P(Ω),P). On dit que X et Y sont égales en loi si LX=LY. On note alors, X L
=Y.
Exercice 12.2 On modélise un lancer de pièce par une probabilité uniforme sur un ensemble
{p,f} . Déterminer la loi de X , définie par X ( p ) = 0 et X ( f ) = 1, puis de Y= 1 −X , définie par
Y(p)=1 et Y(f)=0. En déduire qu’il peut y avoir égalité en loi sans avoir égalité. ■
Définition 12.1.4 — Fonction de répartition. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini
(Ω,P(Ω),P)
. On appelle fonction de répartition de X et on note FX la fonction définie
par :
FX:R−→ [0,1]
x−→ P(X ≤x).
Exercice 12.3 Faire la représentation graphique, pour x∈ [0 , 15], de la fonction de répartition
de X, définie comme dans l’exemple 12.1. ■
Théorème 12.1.3 — Caractérisation de la loi par la fonction de répartition. Soient X et Y
deux VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω,P(Ω),P). On a l’équivalence suivante :
XL =Y⇔ ∀x∈R, FX(x)=FY(x) .
Démonstration.
Il suffit d’écrire X ( Ω ) ={x1, ..., xn} avec x1<x2<... <xn . On remarque alors
que FX ( x ) =
1≤i≤n
xi≤x
P ( X=xi ). Réciproquement, on a P ( X=x1 ) =FX ( x1 ) et, si i∈  2 ,n , on a
P ( X=xi ) =FX ( xi ) −FX ( xi−1 ). Donc FX est définie entièrement par sa loi et réciproquement. ■
12.2 Espérance et variance
12.2.1 Espérance mathématique
Définition 12.2.1 — Espérance mathématique d’une VARDF. Soit X une VARDF sur un
espace probabilisé fini
(Ω,P(Ω),P)
telle que X ( Ω ) ={x1, ..., xn} . On appelle espérance mathé-

162 Chapitre 12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
matique de X (ou simplement espérance de X) le réel, noté E(X), tel que :
E(X) =
n
i=1
xiP(X =xi) .
R
L’espérance mathématique permet souvent de modéliser le gain moyen dans un jeu de
hasard.
R
On déduit directement de la définition de l’espérance que deux VARDF qui sont égales en
loi ont la même espérance.
Exercice 12.4 Calculer l’espérance de X, où X est la VARDF de l’exemple 12.1. ■
Théorème 12.2.1 — Théorème de transfert. Soient X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω,P(Ω),P)telle que X(Ω)={x1, ..., xn} et gune fonction réelle définie sur X(Ω). On a :
E(g(X)) =
n
i=1
g(xi)P(X =xi) .
Démonstration. La démonstration de ce théorème n’étant pas au programme, on l’admet. Mais
elle ne présente pas de difficulté particulière. ■
Exercice 12.5 Retrouver le résultat de l’exercice précédent en posant Y =14 −X. ■
12.2.2 Variance
Définition 12.2.2 — Variance d’une VARDF. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω,P(Ω),P). On appelle variance de X le réel, noté V(X), tel que :
V(X) =E(X−E(X))2.
R
De même que pour l’espérance, on déduit directement de la définition de la variance que
deux VARDF de même loi ont même variance.

12.2 Espérance et variance 163
Théorème 12.2.2 — Positivité de la variance. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω,P(Ω),P). Alors, on a :
(i) V(X) ≥0
(ii) V(X) =0⇔P(X =E(X)) =1 (on dit que X est presque surement égale à E(X)).
Démonstration.
Il suffit d’utiliser le théorème de transfert appliqué à la formule de la variance.
Ceci permet d’écrire V ( X ) =
n
i=1
( xi−E ( X ))
2P
( X=xi ) ≥ 0, car c’est une somme de termes positifs.
On voit alors que xi=E ( X ) tant que P ( X=xi ) = 0, ce qui permet de conclure pour le cas
V(X) =0. ■
Théorème 12.2.3 — Formule de Koenig-Huygens. Soit X une VARDF sur un espace proba-
bilisé fini (Ω,P(Ω),P). Alors, on a :
V(X) =E(X2)−(E(X))2.
Démonstration.
On a V ( X ) =
n
i=1
( xi−E ( X ))
2P
( X=xi ) =
n
i=1
( x2
i−
2 E ( X ) xi+E ( X )
2
) P ( X=xi ) =
n
i=1
x2
iP
( X=xi ) − 2 E ( X )
n
i=1
xiP ( X=xi ) +E ( X )
2n
i=1
P ( X=xi ) =E ( X2 ) − 2 E ( X )
2+E
( X )
2=E
( X2 ) −
E(X)2.■
Exercice 12.6 Calculer la variance de X, où X est la VARDF de l’exemple 12.1. ■
Définition 12.2.3 — Écart-type d’une VARDF. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω,P(Ω),P). On appelle écart-type de X le réel, noté σ(X), tel que :
σ(X) =V(X) .
12.2.3 Transferts usuels
Théorème 12.2.4 — Transfert linéaire. Soient X une VARDF sur un espace probabilisé fini
(Ω,P(Ω),P)et a,bdeux réels. Alors, on a :
(i) E(aX+b)=aE(X) +b
(ii) V(aX+b)=a2V(X)
Démonstration.
Pour l’espérance, il suffit d’utiliser le théorème de transfert puis la linéarité de
la somme. Pour la variance, il suffit de passer par la formule de Koenig-Huygens ainsi que la
formule (i). ■