12. Variables aléatoires réelles discrètes finies

12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
12.1 Généralités
12.1.1
Définitions et notations
Définition 12.1.1 Soit (Ω, P (Ω)) un espace probabilisable fini. On appelle variable aléatoire
réelle discrète finie sur Ω (VARDF sur Ω) toute application X de RΩ .
Exemple 12.1 On modélise le lancer de deux dés par une probabilité uniforme sur l’ensemble
�1, 6�2 . Alors, la somme des numéros obtenus sur les deux dés se modélise par la VARDF, notée
X, définie par X : �1, 6�2 → R, (i , j ) �→ i + j .
■
■
Notation 12.1. Pour X une VARDF sur Ω, comme pour toute application, on peut considérer
l’image directe d’un sous-ensemble de Ω par X et l’image réciproque d’un sous-ensemble de R par
X. Dans le cadre des probabilités, la notation standard pour l’image directe ne diffère pas de celle
utilisée ailleurs en mathématiques. Par exemple, on note :
X(Ω) = X({ω1 , ..., ωn }) = {X(ω1 ), ..., X(ωn )} .
Par contre, la notation standard en probabilités pour l’image réciproque diffère de celle utilisée
ailleurs en mathématiques. En probabilités, les images réciproques sont notées avec des crochets.
Ainsi, on a :
X −1 (A) = [X ∈ A] = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A} .
Cette notation se généralise à n’importe quelle proposition Q portant sur des éléments de R :
[X vérifie Q] = {ω ∈ Ω | X(ω) vérifie Q} .
Exemple 12.2 On reprend les mêmes objets que ceux de l’exemple précédent. On a alors
[X = 3] = {(1, 2), (2, 1)} ou encore [X ≤ 3] = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}.
■
■
Notation 12.2. Une application constante sur Ω est une VARDF sur Ω. On la note généralement
a : Ω −→ R
.
via la valeur de sa constante, i.e. pour un réel a, on note
ω �−→ a
Chapitre 12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
160
Théorème 12.1.1 — Opérations usuelles. Soient X et Y deux VARDF sur un espace probabilisable fini (Ω, P (Ω)). Soient λ ∈ R et f une fonction réelle définie sur un intervalle I de R tel
que X(Ω) ⊂ I. Alors, on peut définir les VARDF suivantes :
(i)
X + Y : Ω −→ R
ω �−→ X(ω) + Y(ω)
(ii)
λ.X : Ω −→ R
ω �−→ λ × X(ω)
(iii)
X × Y : Ω −→ R
ω �−→ X(ω) × Y(ω)
(iv)
f ◦ X : Ω −→ R
ω �−→ f (X(ω))
(addition)
(multiplication par un scalaire)
(multiplication)
(transfert)
Démonstration. Ceci découle directement des résultats usuels sur les applications réelles.
R
■
On remarque que l’on ne parle pas de composition pour les VARDF mais de transfert. C’est
dû au fait que l’on utilise une fonction f qui permet de passer d’une VARDF à une autre (i.e.
X à f ◦ X), mais que f n’est pas, en soi, une VARDF : ce n’est qu’une fonction de transfert.
Théorème 12.1.2 — Système complet associés à une VARDF. Soit X une VARDF sur un
espace probabilisable fini (Ω, P (Ω)). La famille ([X = x])x∈X(Ω) forme une partition de Ω.
Démonstration. C’est très direct. Si ω ∈ Ω alors, par la définition d’une application, l’image de ω
par X, X(ω), est définie de manière unique dans X(Ω). Ainsi, ω appartient à un unique ensemble
de la famille ([X = x])x∈X(Ω) .
■
12.1.2
Loi de probabilité et fonction de répartition
Définition 12.1.2 — Loi de probabilité. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé fini
(Ω, P (Ω), P). On appelle loi de probabibilité de X l’application L X définie par :
L X : X(Ω) −→ [0, 1]
.
x �−→ P([X = x])
Notation 12.3. Pour simplifier, on note souvent P(X = x) et, plus généralement, P(X vérifie Q) au
lieu de P([X = x]) et P([X vérifie Q]).
Exercice 12.1 Déterminer la loi de probabilité L X , où X est la VARDF de l’exemple 12.1.
■
12.2 Espérance et variance
161
Définition 12.1.3 — Égalité en loi. Soient X et Y des VARDF sur un espace probabilisé fini
L
(Ω, P (Ω), P). On dit que X et Y sont égales en loi si L X = L Y . On note alors, X = Y.
Exercice 12.2 On modélise un lancer de pièce par une probabilité uniforme sur un ensemble
{p, f }. Déterminer la loi de X, définie par X(p) = 0 et X( f ) = 1, puis de Y = 1 − X, définie par
Y(p) = 1 et Y( f ) = 0. En déduire qu’il peut y avoir égalité en loi sans avoir égalité.
■
Définition 12.1.4 — Fonction de répartition. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω, P (Ω), P). On appelle fonction de répartition de X et on note FX la fonction définie
par :
FX : R −→ [0, 1]
.
x �−→ P(X ≤ x)
Exercice 12.3 Faire la représentation graphique, pour x ∈ [0, 15], de la fonction de répartition
de X, définie comme dans l’exemple 12.1.
■
Théorème 12.1.3 — Caractérisation de la loi par la fonction de répartition. Soient X et Y
deux VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P). On a l’équivalence suivante :
L
X = Y ⇔ ∀x ∈ R, FX (x) = FY (x) .
Démonstration. Il suffit d’écrire X(Ω) = {x 1 , ..., x n } avec x 1 < x 2 < ... < x n . On remarque alors
�
que FX (x) =
P(X = x i ). Réciproquement, on a P(X = x 1 ) = FX (x 1 ) et, si i ∈ �2, n�, on a
1≤i ≤n
x i ≤x
P(X = x i ) = FX (x i ) − FX (x i −1 ). Donc FX est définie entièrement par sa loi et réciproquement. ■
12.2 Espérance et variance
12.2.1
Espérance mathématique
Définition 12.2.1 — Espérance mathématique d’une VARDF. Soit X une VARDF sur un
espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P) telle que X(Ω) = {x 1 , ..., x n }. On appelle espérance mathé-
Chapitre 12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
162
matique de X (ou simplement espérance de X) le réel, noté E(X), tel que :
E(X) =
n
�
i =1
x i P(X = x i ) .
R
L’espérance mathématique permet souvent de modéliser le gain moyen dans un jeu de
hasard.
R
On déduit directement de la définition de l’espérance que deux VARDF qui sont égales en
loi ont la même espérance.
Exercice 12.4 Calculer l’espérance de X, où X est la VARDF de l’exemple 12.1.
■
Théorème 12.2.1 — Théorème de transfert. Soient X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω, P (Ω), P) telle que X(Ω) = {x 1 , ..., x n } et g une fonction réelle définie sur X(Ω). On a :
E(g (X)) =
n
�
i =1
g (x i )P(X = x i ) .
Démonstration. La démonstration de ce théorème n’étant pas au programme, on l’admet. Mais
elle ne présente pas de difficulté particulière.
■
Exercice 12.5 Retrouver le résultat de l’exercice précédent en posant Y = 14 − X.
12.2.2
Variance
■
Définition 12.2.2 — Variance d’une VARDF. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω, P (Ω), P). On appelle variance de X le réel, noté V(X), tel que :
�
�
V(X) = E (X − E (X))2 .
R
De même que pour l’espérance, on déduit directement de la définition de la variance que
deux VARDF de même loi ont même variance.
12.2 Espérance et variance
163
Théorème 12.2.2 — Positivité de la variance. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω, P (Ω), P). Alors, on a :
(i)
(ii)
V(X) ≥ 0
V(X) = 0 ⇔ P(X = E(X)) = 1 (on dit que X est presque surement égale à E(X)).
Démonstration. Il suffit d’utiliser le théorème de transfert appliqué à la formule de la variance.
n
�
Ceci permet d’écrire V(X) = (x i − E(X))2 P(X = x i ) ≥ 0, car c’est une somme de termes positifs.
i =1
On voit alors que x i = E(X) tant que P(X = x i ) �= 0, ce qui permet de conclure pour le cas
V(X) = 0.
■
Théorème 12.2.3 — Formule de Koenig-Huygens. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P). Alors, on a :
V(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
Démonstration. On a V(X) =
n
�
i =1
x i2 P(X = x i ) − 2E(X)
E(X)2 .
n
�
i =1
n
�
(x i − E(X))2 P(X = x i ) =
i =1
x i P(X = x i ) + E(X)2
n
�
i =1
n
�
(x i2 − 2E(X)x i + E(X)2 )P(X = x i ) =
i =1
P(X = x i ) = E(X 2 ) − 2E(X)2 + E(X)2 = E(X 2 ) −
Exercice 12.6 Calculer la variance de X, où X est la VARDF de l’exemple 12.1.
12.2.3
■
■
Définition 12.2.3 — Écart-type d’une VARDF. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé
fini (Ω, P (Ω), P). On appelle écart-type de X le réel, noté σ(X), tel que :
�
σ(X) = V(X) .
Transferts usuels
Théorème 12.2.4 — Transfert linéaire. Soient X une VARDF sur un espace probabilisé fini
(Ω, P (Ω), P) et a, b deux réels. Alors, on a :
(i)
(ii)
E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX + b) = a 2 V(X)
Démonstration. Pour l’espérance, il suffit d’utiliser le théorème de transfert puis la linéarité de
la somme. Pour la variance, il suffit de passer par la formule de Koenig-Huygens ainsi que la
formule (i).
■
Chapitre 12. Variables aléatoires réelles discrètes finies
164
Exercice 12.7 Donner le détail des étapes décrites dans la démonstration du théorème
précédent.
■
Définition 12.2.4 — Variable centrée et réduite. Soit X une VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P). On dit que X est centrée lorsque E(X) = 0. On dit que X est centrée et
réduite lorsque E(X) = 0 et V(X) = 1. Si V(X) �= 0, on appelle variable centrée réduite associée
à X la VARDF, notée X ∗ , définie par :
X∗ =
R
X − E(X)
.
σ(X)
Les propriétés des transferts linéaires permettent de vérifier que X ∗ est bien une variable
centrée et réduite.
12.3 Lois usuelles
12.3.1
Loi certaine
Définition 12.3.1 Soit X une VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P). On dit que X
suit une loi certaine de paramètre a ∈ R si P(X = a) = 1.
Théorème 12.3.1 Soit X une VARDF suivant une loi certaine de paramètre a ∈ R. Alors, on a :
E(X) = a
et
V(X) = 0 .
Démonstration. Pour l’espérance, c’est immédiat. Pour la variance, il suffit d’appliquer le théorème sur la positivité de la variance.
■
12.3.2
Loi uniforme
Définition 12.3.2 Soient X une VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P) et E une
partie finie non vide de R. On dit que X suit une loi uniforme sur E si X(Ω) = E et, pour tout
1
x ∈ E, P(X = x) = |E|
. On note alors X �→ U (E).
Théorème 12.3.2 Soit X une VARDF telle que X �→ U (�1, n�). Alors, on a :
E(X) =
n +1
2
et
V(X) =
n2 − 1
.
12
�
�
��
�
�
k2
n
2
2
Démonstration. On a E(X) = nk=1 nk = n1 n(n+1)
= n+1
2
2 et V(X) = E(X ) − E(X) =
n −
k=1
�
�
2
2
(n+1)2
1 n(n+1)(2n+1)
=
− (n+1)
= (n + 1) 2(2n+1)−3(n+1)
= (n+1)(n−1)
= n12−1 .
■
4
n
6
4
12
12
12.3 Lois usuelles
165
Exercice 12.8 Soient a, b ∈ Z tels que a < b et X une VARDF telle que X �→ U (�a, b�). Déterminer l’espérance et la variance de X. On posera X = g (Y) où Y �→ U (�1, n�) et g est une
fonction de transfert linéaire.
■
12.3.3
Loi de Bernoulli
Définition 12.3.3 Soient X une VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P). On dit que
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ si X(Ω) = {0, 1}, P(X = 1) = p et P(X = 0) =
1 − p. On note alors X �→ B(p).
Théorème 12.3.3 Soit X une VARDF telle que X �→ B(p). Alors, on a :
E(X) = p
et
V(X) = p(1 − p) .
Démonstration. On a E(X) = 0×(1− p)+1× p = p et V(X) = E(X 2 )−E(X)2 = p − p 2 = p(1− p). ■
12.3.4
Loi binomiale
Définition 12.3.4 Soient X une VARDF sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P). On dit
que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[ si X(Ω) = �0, n� et, pour tout
� �
k ∈ �0, n�, P(X = k) = nk p k (1 − p)n−k . On note alors X �→ B(n, p).
R
Une loi de Bernoulli est une loi binomiale de paramètres 1 et p. Qui plus est, une VARDF
de loi binomiale de paramètres n et p permet de modéliser les résultats cumulés de n
itérations d’une expérience aléatoire dont les résultats sont modélisés par une VARDF de
loi de Bernoulli de paramètre p.
Théorème 12.3.4 Soit X une VARDF telle que X �→ B(n, p). Alors, on a :
E(X) = np
et
V(X) = np(1 − p) .
� �
� �
�
�
Démonstration. On a E(X) = nk=0 k nk p k (1 − p)n−k = nk=1 k nk p k (1 − p)n−k . Or, ∀k ∈ �1, n�,
�n �
�n−1�
�
�
�
�n−1 �n−1� k
k
n−k
n−1−k
k k = n k−1 . D’où E(X) = nk=1 n n−1
= np(p +
k−1 p (1 − p)� � = np k=0 k p (1 − p)
�n−1� k
�
�
n
n−1
n−1
2
2 n k
n−k
1 − p)
= np. De même, on a E(X ) = k=0 k k p (1 − p)
= np k=0 (k + 1) k p (1 −
n−1−k
2
= np(1 + (n − 1)p). Ainsi, V(X) = np(1 + (n − 1)p) − (np) = np(1 − p).
■
p)
Exercice 12.9 On considère une urne de N boules avec b boules blanches et N − b boules
noires. Les boules blanches sont gagnantes et rapporte un euro, les boules noires ne rapportent rien. On effectue le tirage d’une boule. Comment peut-on modéliser les gains obtenus ? Même question si on effectue n tirages successifs avec remise.
■