LOI DE COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACCÉLÉRATIONS

LOI DE COMPOSITION DES VITESSES ET
DES ACCÉLÉRATIONS
I. LOI DE COMPOSITION DES VITESSES
I.1 Deux référentiels – Vitesse absolue – Vitesse relative
G G G
G G G
On considère deux référentiels : ℜ = O, i , j , k référentiel absolu et ℜ ' = O ', I , J , K référentiel relatif.
(
)
(
)
On est dans le cas le plus général.
ℜ'
M
O’
ℜ
O
•
•
G
JJJJG
G G
Le point M a pour coordonnées (x, y, z) dans le référentiel ℜ d’origine O : OM = xi + yj + zk .
JJJJG
 dOM 
G
La vitesse de M dans le référentiel ℜ est appelée vitesse absolue : va ( M ) = 
 .
 dt ℜ
JJJJG
G
G G
 dOM 
G
+ yj
+ zk
On peut écrire : va ( M ) = 
=
xi

 dt 

ℜ
JJJJJG
G
G
G
Le point M a pour coordonnées (X, Y, Z) dans le référentiel ℜ ' d’origine O’ : O ' M = XI + YJ + ZK .
JJJJJG
 dO ' M 
G
La vitesse de M dans le référentiel ℜ ' est appelée vitesse relative : vr ( M ) = 

 dt ℜ '
JJJJJG
G
G
G
 dO ' M 
G
+ YJ
+ ZK
On peut écrire : vr ( M ) = 
 = XI
 dt ℜ '
I.2 Exemple avec le tapis roulant
On considère un point matériel se déplaçant sur un tapis roulant.
G G G
Le référentiel absolu est le référentiel terrestre ℜ = O, i , j , k .
G G G G
G G
G G G
Le référentiel relatif est le référentiel lié au tapis : ℜ ' = O ', i , j , k avec I = i , J = j et K = k .
G
G
Dans cet exemple, ℜ ' est en translation rectiligne uniforme par rapport à ℜ avec v ( O ' )ℜ = v0 i .
(
)
(
)
La vitesse absolue du point M est la vitesse de M par rapport au sol.
La vitesse relative du point M est la vitesse de M par rapport au tapis roulant.
I.3 Changement de référentiel
G G G
G G G
On revient dans le cas général avec ℜ = O, i , j , k et ℜ ' = O ', I , J , K .
JJJJG JJJJG JJJJJG
OM = OO ' + O ' M
JJJJG
JJJJG
JJJJJG
 dOM 
 dOO '   dO ' M 

 = 
 + 
 . Le premier terme est la vitesse de O’ dans ℜ . On utilise la formule fondamentale
 dt ℜ  dt ℜ  dt ℜ
G
G
G
G JJJJJG
 dA 
 dA 
G
de la dérivation vectorielle pour le deuxième terme : 
 = 
 + ωℜ '/ℜ ^ A avec A = O ' M .
 dt ℜ  dt ℜ '
JJJJG
JJJJJG
 dO ' M 
JJJJJG 
 dOM 
G
G
On obtient : 
= v ( O ')ℜ + 
+ ωℜ '/ℜ ^ O ' M  . D’où :
 dt 
 dt 

ℜ
ℜ '


(
)
(
)
JJJJJG
G
G
G
G
v ( M )ℜ = v ( M )ℜ ' + v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' M
{
Q Loi de composition des vitesses et des accélérations (33-206)
}
Page 1 sur 4
JN Beury
I.4 Interprétation avec le point coïncidant – Vitesse d’entraînement
JJJJG
G
G
G
G
Soit P un point fixe dans ℜ ' : v ( P )ℜ = v ( P )ℜ ' + v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' P .
{
}
Dans la suite, on ne va pas prendre un point P quelconque dans ℜ ' :
On définit P le point coïncidant avec M à l’instant t : c’est un point M fixe dans ℜ ' et qui coïncide avec M à l’instant
JJJJG JJJG
t (on a OM = OP à l’instant t).
On peut donner l’image suivante : le point coïncidant avec M à l’instant t est un point collé (Super Glue) à ℜ ' qui
l’emporte lors de sons mouvement. Si M et P coïncident à un instant t, ils n’ont plus de raison de coïncider après t.
JJJJG
G
G
G
G
La vitesse de ce point coïncidant dans ℜ est donc : v ( P )ℜ = v ( P )ℜ ' + v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' P .
JJJJJG
JJJJG JJJG
G
G
G
G
Comme OM = OP , alors v ( P )ℜ = v ( P )ℜ ' + v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' M
{
}
{
}
On définit la vitesse d’entraînement de M à l’instant t :
La vitesse d’entraînement de M à l’instant t = vitesse absolue du point coïncidant avec M à l’instant t
JJJJJG
G
G
G
G
ve ( M ) = v ( P )ℜ = v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' M
On a donc interprété le {} rencontré dans le paragraphe précédent.
I.5 Loi de composition des vitesses
vitesse absolue de M = vitesse relative de M + vitesse d’entraînement de M
G
G
G
va ( M ) = vr ( M ) + ve ( M )
On a deux méthodes pour calculer la vitesse d’entraînement de M
JJJJJG
G
G
G
•
Première méthode : ve ( M ) = v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' M
•
Deuxième méthode : définir et chercher la trajectoire du point coïncidant avec M à l’instant t. La vitesse
d’entraînement de M est alors la vitesse absolue du point coïncidant avec M à l’instant t.
I.6 Retour à l’exemple du tapis roulant
Pour illustrer sur un exemple concret, on suppose que la vitesse relative vaut 3 m.s-1 et la vitesse d’entraînement vaut 4
m.s-1. On a vu que les deux référentiels sont en translation rectiligne uniforme.
• vitesse relative = vitesse de M par rapport au tapis roulant : 3 m.s-1
• Comment calculer la vitesse d’entraînement ? On a deux méthodes :
JJJJJG
G
G
G
G
G
Méthode 1 : appliquer la formule démontrée dans le cours : ve ( M ) = v ( O ')ℜ + ωℜ '/ℜ ^ O ' M . Ici ωℜ '/ℜ = 0 car ℜ '
G
G
G
est en translation par rapport à ℜ . On a alors ve ( M ) = v ( O ')ℜ = 4 i .
On a une vitesse d’entraînement de 4 m.s-1.
Méthode 2 : raisonner sur le point coïncidant. On considère donc un point coïncidant avec M à l’instant t, c'est-àdire un point collé au tapis roulant et qui se trouve au même endroit que M à l’instant t. Ce point collé a un
mouvement rectiligne uniforme de vitesse 4 m.s-1. La vitesse d’entraînement est par définition la vitesse absolue du
G
G
point coïncidant, c'est-à-dire 4 m.s-1, d’où ve ( M ) = 4 i .
II. LOI DE COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS
II.1 Changement de référentiel
G G G
G G G
On considère deux référentiels : ℜ = O, i , j , k référentiel absolu et ℜ ' = O ', I , J , K référentiel relatif.
(
)
(
)
On est dans le cas le plus général.
ℜ'
M
O’
ℜ
O
JJJJG JJJJG JJJJJG
On a vu que : OM = OO ' + O ' M
JJJJG
JJJJJG
 dO ' M 
JJJJJG 
 dOM 
G
G
= v ( O ')ℜ + 
+ ωℜ '/ℜ ^ O ' M 
On a démontré dans le paragraphe précédent : 


 dt 


 dt ℜ '

ℜ

On dérive une nouvelle fois par rapport au temps dans le référentiel ℜ .
Q Loi de composition des vitesses et des accélérations (33-206)
Page 2 sur 4
JN Beury
JJJJG
JJJJJG
G
JJJJJG 
 dv ( O ')ℜ 
 d 2 OM 
G
d  dO ' M 
=
+




 + ωℜ '/ℜ ^ O ' M 

2
dt
ℜ
 dt  ℜ 
ℜ dt  dt ℜ '
JJJJ
G
JJJJJG
G
G
 dv ( M )ℜ ' 
 d 2 OM 
 dO ' M 
dωℜ '/ℜ JJJJJG G
G
a
O
'
^
O
'
M
^
ω
=
+
+
+

( )ℜ 




ℜ '/ ℜ
2
dt
dt
 dt  ℜ
 dt ℜ

ℜ
On applique deux fois la formule fondamentale de la dérivation vectorielle :
JJJJJG
 dvG ( M ) 
 dωG
JJJJJG G
JJJJJG 
G
G
G
G
G
 dO ' M 
ℜ'
ℜ '/ ℜ
a ( M )ℜ = a ( O ')ℜ + 
^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ 
+ ωℜ '/ℜ ^ v ( M )ℜ '  +
+ ωℜ '/ℜ ^ O ' M 






dt
dt
 dt ℜ '


ℜ '

G
JJJJJG G
JJJJJG 
G
G
dω
G
G
G
G
a ( M )ℜ = a ( M )ℜ ' + 2ωℜ '/ℜ ^ v ( M )ℜ ' + a ( O ' )ℜ + ℜ '/ℜ ^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M 
dt


(
)
II.2 Interprétation avec le point coïncidant – Accélération d’entraînement
G
JJJJG G
JJJJG 
G
G
dω
G
G
G
G
Soit P un point fixe dans ℜ ' : a ( P )ℜ = a ( P )ℜ ' + 2ωℜ '/ℜ ^ v ( P )ℜ ' + a ( O ')ℜ + ℜ '/ℜ ^ O ' P + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' P  .
dt


Dans la suite, on ne va pas prendre un point P quelconque dans ℜ ' :
(
)
On définit P le point coïncidant avec M à l’instant t : c’est un point M fixe dans ℜ ' et qui coïncide avec M à l’instant
JJJJG JJJG
t (on a OM = OP à l’instant t).
On peut donner l’image suivante : le point coïncidant avec M à l’instant t est un point collé (Super Glue) à ℜ ' qui
l’emporte lors de sons mouvement. Si M et P coïncident à un instant t, ils n’ont plus de raison de coïncider après t.
G
JJJJG 
G
dωℜ '/ℜ JJJJG G
G
G
L’accélération de ce point coïncidant dans ℜ est donc : a ( P )ℜ = a ( O ')ℜ +
^ O ' P + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' P  .
dt


G
JJJJJG
JJJJJG
JJJJG JJJG
G
G
dω
G
G

Comme OM = OP , alors a ( P )ℜ = a ( O ')ℜ + ℜ '/ℜ ^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M 
dt


On définit la vitesse d’entraînement de M à l’instant t :
L’accélération d’entraînement de M à l’instant t = accélération absolue du point coïncidant avec M à l’instant t
G
JJJJJG 
G
dωℜ '/ℜ JJJJJG G
G
G
G
ae ( M ) = a ( P )ℜ = a ( O ')ℜ +
^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M 
dt


(
(
(
)
)
)
II.3 Loi de composition des accélérations
On a vu dans le paragraphe II.1 que :
G
JJJJJG G
JJJJJG 
dω
G
G
G
G
G
G
a ( M )ℜ = a ( M )ℜ ' + a ( O ')ℜ + ℜ '/ℜ ^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M  + {2ωℜ '/ℜ ^ vr ( M )}
dt


• Le premier terme est l’accélération relative de M
• Le deuxième terme est l’accélération d’entraînement de M
• Il reste un troisième terme ! Ce terme est appelé accélération complémentaire ou accélération de Coriolis.
{
}
(
)
Loi de composition des accélérations : accélération absolue de M = accélération relative de M + accélération
d’entraînement de M + accélération de Coriolis de M.
G
G
G
G
aa ( M ) = ar ( M ) + ae ( M ) + ac ( M )
G
G
G
L’accélération de Coriolis vaut : ac ( M ) = 2ωℜ '/ℜ ^ vr ( M )
On a deux méthodes pour calculer l’accélération d’entraînement de M :
G
JJJJJG G
JJJJJG
dω
G
G
G
•
Première méthode : ae ( M ) = a ( O ')ℜ + ℜ '/ℜ ^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M
dt
•
Deuxième méthode utilisée le plus souvent dans les exercices : définir et chercher la trajectoire du point
coïncidant avec M à l’instant t. L’accélération d’entraînement de M est alors l’accélération absolue du point
coïncidant avec M à l’instant t.
(
Q Loi de composition des vitesses et des accélérations (33-206)
)
Page 3 sur 4
JN Beury
II.4 Deux cas particuliers TRÈS IMPORTANTS rencontrés dans les exercices
a) Référentiel en translation
G G G
G G G
Soit ℜ ' = O ', i , j , k un référentiel en translation par rapport à ℜ = O, i , j , k .
G
G
On a vu que ωℜ '/ℜ = 0 .
(
)
(
)
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/entrainement_trans.html
G
G
G
G
Si ℜ ' est en translation par rapport à ℜ : ve ( M ) = v ( O ')ℜ et ae ( M ) = a ( O ')ℜ
b) Référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe
G G G
G G G
On considère ℜ ' = O, I , J , k un référentiel en rotation uniforme par rapport à ℜ = O, i , j , k
G
O, k .
(
( )
)
(
)
autour de l’axe
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/entrainement_rot.html
G G G
Exemple : ℜ = O, i , j , k référentiel géocentrique et
G G G
ℜ ' = O, I , J , k référentiel terrestre.
G
G
On note ωℜ '/ℜ = ω k avec ω = cte .
(
)
(
)
z
H
M
G
k
G
J
G
j
O
G
i
ωt
G
I
G
G
G
Il y a une seule façon de calculer l’accélération de Coriolis : ac ( M ) = 2ωℜ '/ℜ ^ vr ( M )
Deux méthodes pour calculer l’accélération d’entraînement :
• Première méthode : Application de la « grosse formule » :
G
JJJJJG
JJJJJG
G
G
G
dωℜ '/ℜ JJJJJG G
G
G
ae ( M ) = a ( O ')ℜ +
^ O ' M + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M = ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ O ' M avec O’ = O.
dt
On fait intervenir le point H projeté orthogonal de M sur l’axe Oz :
JJJJG
JJJJG
G
G
G
G
G
ae ( M ) = ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ OH + ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ HM . La formule du double produit vectoriel donne :
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
JJJJG
JJJJG
JJJJG
JJJJG G
G
G
G
G
ae ( M ) = ωℜ '/ℜ ^ ωℜ '/ℜ ^ HM = ωℜ '/ℜ ⋅ HM ωℜ '/ℜ − (ω 2 ) HM = − (ω 2 ) HM
•
Deuxième méthode : Elle est préférable dans les problèmes de concours et permet une interprétation
physique.
Le point coïncidant décrit un cercle de centre H, de rayon HM avec H le projeté orthogonal de M sur l’axe
Oz.
Dans l’exemple, le point coïncidant est un point collé au référentiel terrestre.
G G G
ℜ ' = O, I , J , k est un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à
JJJJG
G G G
G
ℜ = O, i , j , k . Le mouvement du point coïncidant est circulaire uniforme donc ae ( M ) = −ω 2 HM .
(
(
)
)
Interprétation physique : pour un mouvement circulaire, l’accélération est centripète dirigée vers le centre
de rotation.
z
H
M
O
ωt
Q Loi de composition des vitesses et des accélérations (33-206)
Page 4 sur 4
JN Beury