développement 11 décomposition de dunford et applications

D´ EVELOPPEMENT 11
D´ ECOMPOSITION DE DUNFORD ET APPLICATIONS
On note Eun K-espace vectoriel de dimension finie.
Lemme des noyaux. — Soit f∈ L(E)et Q1, . . . , Qs∈K[X]des polynˆomes premiers entre eux deux
`a deux, alors
(i)les sous-espaces Ei= ker Qi(f)sont en somme directe,
(ii)
s
M
i=1
ker Qi(f) = ker(Q1Q2···Qs)(f),
(iii)les projecteurs associ´es `a cette somme directe sont dans K[f]
D´emonstration. — Posons Pi=Y
j6=i
Qialors les Pisont premiers dans leur ensemble. En effet, consid´erons
un diviseur ∆ des Pialors ∆ divise P1=Q2···Qs, donc un Qi0pour i0≥2, et ∆ divise aussi
Pi0=Q1···Qi0−1Qi0+1 ···Qs, donc un Qipour i6=i0; comme les Qjsont premiers entre eux deux `a
deux, on obtient bien que ∆ est inversible.
L’identit´e de B´ezout donne alors A1P1+··· +AsPs= 1 pour A1, . . . , As∈K[X], d’o`u
A1(f)P1(f) + ··· +As(f)Ps(f) = id.
Soit x∈ker(Q1···Qs)(f) alors
A1(f)P1(f)(x) + ··· +As(f)Ps(f)(x) = x.
On pose xi=Ai(f)Pi(f)(x), on a
Qi(f)(xi) = Qi(f)Ai(f)Pi(f)(x) = Ai(f)Pi(f)Qi(f)(x) = Ai(f)(Q1···Qs)(f)(x) = 0
i.e. xi∈ker Qi(f). On a donc
ker(Q1···Qs)(f)⊆
s
X
i=1
ker Qi(f)
et la r´eciproque est ´evidente puisque ker Qi(f)⊆ker(Q1···Qs)(f) pour tout i, d’o`u
ker(Q1···Qs)(f) =
s
X
i=1
ker Qi(f).
Montrons que cette somme est directe : il suffit de montrer que si ω1+···+ωs= 0 avec ωj∈ker Qj(f)
alors tous les ωjsont nuls. Pour j6=i, on a Ej= ker Qj(f)⊆ker Pi(f) donc Ai(f)Pi(f)(ωj) = 0 et il
s’ensuit que
Ai(f)Pi(f)(ωj) = (A1(f)P1(f) + ··· +As(f)Ps(f))(ω1+··· +ωs) = 0
donc
ωj= (A1(f)P1(f) + ··· +As(f)Ps(f)) (ωj) = A1(f)P1(f)(ωj) + ··· +As(f)Ps(f)(ωj) = 0
Enfin, le projecteur sur Ejparall`element `a E1⊕ ··· ⊕ Ei−1⊕Ei+1 ··· ⊕ Esest πi=Ai(f)Pi(f) donc
πi∈K[f].

30 D´ ecomposition de Dunford et applications
Th´eor`eme. — Soit f∈ L(E)tel que χfsoit scind´e alors il existe d∈ L(E)diagonalisable et n∈ L(E)
nilpotent tels que u=d+net v´erifiant
–d◦n=n◦d
–d, n sont uniques avec cette propri´et´e
–det nsont des polynˆomes en f
D´emonstration. — On ´ecrit µf= (X−λ1)m1···(X−λs)mset on note Fi= ker(f−λiid)miles sous-
espaces caract´eristiques correspondants, alors E=F1⊕···⊕Fset les Fisont stables, on d´efinit donc d
et nsur les Fi. On pose d|Fi=λiidFiet n|Fi=f−λiidFi. Alors n|Fiest nilpotent d’indice midonc nest
nilpotent d’indice m= sup{m1, . . . , ms}. Sur chaque Fi,diest une homoth´etie donc d◦n=n◦d. Si on
note pile projecteur sur Fiparall`element `a F1⊕···⊕Fi−1⊕Fi+1 ⊕···⊕Fsalors d=λ1p1+···+λsps
or, d’apr`es le th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux, les projecteurs sont des polynˆomes en fdonc d
est un polynˆome en fet c’est aussi le cas de n=f−d.
Supposons maintenant que f=d0+n0soit une autre d´ecomposition. Puisque d0commute avec n0(et
avec d0), d0commute avec fdonc d0laisse stable les Fi= ker(f−λiid)mi. Or sur Fi,det d0sont des
homoth´eties donc commutent sur Fiet il en r´esulte que det d0commutent sur E. Par cons´equent, on
peut diagonaliser det d0dans une mˆeme base B, ce qui signifie que dans Bla matrice de d−d0est
diagonale. Mais comme det d0commutent, n=f−det n0=f−d0commutent aussi or net n0sont
nilpotents donc la formule de Newton donne
(n−n0)p+q=X
i+j=p+q
Ci
p+qni(−1)j(n0)j= 0
i.e. n−n0=d0−dest nilpotent et diagonalisable donc n−n0=d0−d= 0.
Application. — Si A∈GLn(C) alors il existe B∈ Mn(C) telle que A= exp B.
D´emonstration. — Soit A∈GLn(C) alors, quitte `a raisonner sur les blocs de Jordan de A, on peut
supposer que Aest de la forme A=λ(Im+N) o`u Nest nilpotente. On pose alors C= Im+Net
D= log C=N−N2
2+··· + (−1)mNm−1 m−1
et on va montrer que exp D=C. On consid`ere
D(t) = tN −t2
2N2+··· + (−1)mtm−1 m−1Nm−1
d’o`u en d´erivant
D0(t) = N−tN2+··· + (−1)mtm−2Nm−1
et comme Nm= 0 (puisque Nest nilpotente et que l’on consid`ere des matrices de Mm(K)) on a
(Im+tN)D0(t) = N.
Puisque D(t) et D0(t) commutent, en posant S(t) = exp D(t), il vient
S0(t) = D0(t) exp D(t)i.e. (Im+tN)S0(t) = NS(t)
et en d´erivant `a nouveau, on obtient finalement (Im+tN )S00(t) = 0 or Im+tN est inversible donc
S00(t) = 0 d’o`u S(t) = S(0) + tS0(0) = Im+tN et pour t= 1, on a bien exp D= Im+N=C.
Consid´erons maintenant µ∈Ctel que eµ=λalors
exp(µIm+D) = exp(µIm) exp D=λIm.C =λIm(Im+N) = A.
Application. — Si A∈ Mn(R) a un polynˆome caract´eristique χAscind´e alors
Adiagonalisable ⇐⇒ exp Adiagonalisable.
S´ebastien Pellerin

31
D´emonstration. — Si Aest diagonalisable alors exp Aest clairement diagonalisable. R´eciproquement,
notons A=D+Nla d´ecomposition de Dunford de Aalors exp A= exp Dexp N, puisque DN =N D.
D’autre part Aet Dcommutent donc il en est de mˆeme de exp(A) et exp(−D) or ces deux matrices
sont diagonalisables donc on peut les diagonaliser dans une mˆeme base et exp N= exp(−D) exp Aest
donc aussi diagonalisable. Comme la matrice
exp N= In+N+N2
2+··· +Nn−1 (n−1)!.
est unipotente, on a exp N= Ind’o`u
N+N2
2+··· +Nn−1 (n−1)! = 0
et le polynˆome
Q(X) = X+X2
2+··· +Xn−1 (n−1)!
est annulateur pour N. Donc Qest divisible par le polynˆome minimal de Nqui est de la forme Xkavec
1≤k≤ndonc µN=Xi.e. N= 0.
Application. — Si B∈ Mn(C) v´erifie ρ(B)<1 alors Bk−−−−→
k→+∞0.
D´emonstration. — On se place dans une base de sous-espaces caract´eristiques alors
B=P−1CP o`u C=
λ1I + N1
...
λsI + Ns
o`u les λisont les valeurs propres de Bet les Nisont nilpotents. Alors Bktend vers 0 si et seulement si
Cktend vers 0 et on se ram`ene donc `a montrer que chaque (λid + N)ktend vers 0. On note rl’ordre
de nilpotence de Nalors, puisque id et Ncommutent, pour tout k≥r, on a
(λid + N)k=λkid + C1
kλk−1N+ C2 kλk−2N2+··· + Cr−1
kλk−r+1Nr−1.
Or |λ| ≤ ρ(B)<1 et les Cj
ksont des polynˆomes en kde degr´e au plus rdonc (λid + N)ktend vers 0
quand ktend vers l’infini.
Application. — Soit A∈GLn(C) alors la suite (Ak)k∈Zest born´ee si et seulement si Aest diagona-
lisable et Sp(A)⊂S1.
D´emonstration. — On regarde la suite (λid + N)kpour k≥0, on a (avec rindice de nilpotence de N)
(λid + N)k=λkid + C1
kλk−1N+ C2 kλk−2N2+··· + Cr−1
kλk−r+1Nr−1
et la famille {id, N, . . . , N r−1}est libre donc le comportement de la suite (λid + N)kest le mˆeme que
celui des monˆomes. La fait que (λid + N)ksoit born´e implique donc que |λ|<1, ou que |λ|= 1 et
N= 0. Pour k=−`n´egatif, on a
(λid + N)−`=λ−`(id + N0)`
et, d’apr`es le cas pr´ec´edent, le fait que (λid + N)−`soit born´e implique que λ−1<1, ou que λ−1= 1
et N0= 0. Finalement, on obtient |λ|= 1 et N= 0 i.e. Aest diagonalisable et ses valeurs propres sont
de module 1. La r´eciproque est claire.
S´ebastien Pellerin

32 D´ ecomposition de Dunford et applications
Le¸cons concern´ees
23 R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications
24 Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications
37 Endomorphismes diagonalisables
39 Endomorphismes nilpotents
40 Polynˆomes d’endomorphismes. Applications
R´ef´erence
X. Gourdon, Alg`ebre, Ellipses, 1994.
S´ebastien Pellerin