Physique Générale L`entropie et le deuxi`eme principe Table des mati`

Physique G´en´erale
L’entropie et le deuxi`eme principe
TRAN Minh Tˆam
Table des mati`eres
Retour sur la d´etente de Joule 236
Comparaison avec une d´etente isotherme d’un gaz parfait 236
Analyse microscopique de la d´etente de Joule . . . . . . 237
L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Le deuxi`eme principe de la Thermodynamique243
R´eversibilit´e et irr´eversibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 243
Le deuxi`eme principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
L’entropie et les machines thermiques . . . . . . . . . . 246

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Retour sur la d´etente de Joule
Comparaison avec une d´etente isotherme d’un gaz parfait
Rappel : la d´etente de Joule (voir figure ci-dessous) est la d´etente du
gaz initialement confin´e dans le compartiment de gauche. Le compartiment
de droite a ´et´e vid´e. L’enceinte entourant le gaz est isol´ee thermiquement :
aucun ´echange de chaleur avec l’ext´erieur n’a lieu (processus adiabatique)
Q= 0 .
Expérience de Joule (1843)
isolation
En ouvrant la vanne centrale, l’air se d´etend. Puisque le gaz se pr´ecipite
dans le vide, aucun travail ne peut ˆetre recueilli ni ne doit ˆetre fourni
W= 0 . Cette d´etente ne se fait ´evidemment pas `a l’´equilibre. ∆ U= 0 .
Dans la d´etente isotherme quasi-statique d’un gaz parfait, nous avons
vu que le travail d´evelopp´e par le gaz ´etait de
W=NkT ln V1
V2
Dans une telle d´etente, on prend soin que la d´etente soit quasi-statique :
le piston exerce sur le gaz une pression l´eg`erement inf´erieure `a celle que
le gaz exerce sur lui. Un ´echange de chaleur constant avec la source de
chaleur maintient par ailleurs le gaz `a la temp´erature T. On interrompt le
processus quand le volume final V2est atteint. Supposons que V2= 2 ·V1.
Comme nous avons un gaz parfait, l’´energie interne ne d´epend que de la
temp´erature. Comme cette derni`ere est maintenue constante, ∆U= 0.
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Retour sur la d´etente de Joule
La chaleur ´echang´ee dans une d´etente isotherme quasi-statique est donc
ici :
Q=−W=NkT ln V2
V1
=
|{z}
si V2= 2·V1
NkT ln 2
ou Q
T=Nk (ln V2−ln V1)
D´etente isotherme D´etente de Joule
quasi −statique
Etat initial : (T, V ) Etat initial : (T, V )
P1=Nk T
VP1=Nk T V
Etat final : (T, 2V) Etat final : (T, 2V)
P2=Nk T
2V=P1 2P2=Nk T 2V=P1 2
Etats interm´ediares : Etats interm´ediares :
`a l0´equilibre non `a l0´equilibre
Echange avec l0ext´erieur : Echange avec l0ext´erieur :
Q > 0Q= 0
W < 0W= 0
∃transformation inverse : La transformation ne
la compression isotherme poss`ede aucune inverse
quasi −statique
Voil`a deux transformations qui, partant du mˆeme ´etat initial et aboutissant
au mˆeme ´etat final, sont pourtant diff´erentes !
Analyse microscopique de la d´etente de Joule
Nous pouvons bien sˆur nous contenter de la description de la d´etente
de Joule telle que nous venons de l’exposer, mais il reste ces ´etats in-
term´ediaires dont l’´etude peut ˆetre riche d’enseignements.
C’est Boltzmann qui a eu l’id´ee d’associer une probabilit´e `a
l’´etat microscopique du gaz parfait (gaz de particules ind´ependantes, sans
interaction). Pour simplifier, nous allons consid´erer que les mol´ecules de
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Retour sur la d´etente de Joule
notre gaz parfait se trouve dans les deux ´etats correspondants aux compar-
timents o`u ils se trouvent. Nous supposons de plus que les Nmol´ecules du
gaz sont num´erot´ees de 1 `a N.
Compartiment
0
Compartiment 0 : état 0
Compartiment 1 : état 1
Compartiment
1
Num´ero des particules 1 2 3 4 5 6 · · · N−1N
Exemple d0´etat microscopique 0 0 1 0 1 1 · · · 1 0
L’´etat d´etaill´e microscopique consiste donc en une s´erie de Nbits ; cette
information est cependant trop d´etaill´ee. En effet, du point de vue ma-
croscopique, cela ne nous int´eresse pas de savoir si la mol´ecule num´ero
356732184 se trouve dans le compartiment 0 ou dans le compartiment 1.
Ce qui nous int´eresse est de savoir combien de particules il y a dans le
compartiment 0 sur les Nmol´ecules. Nous nous int´eressons donc `a l’´etat
r´eduit (N0, N) qui donne le nombre de 0, c.`a.d. le nombre de particules
dans le compartiment 0, sur le nombre total Nde mol´ecules.
Un ´etat (N0, N) a donc N0mol´ecules dans le compartiment 0 et N−N0
dans le compartiemnt 1. Initialement, nous avons l’´etat (N, N) : toutes les
Nmol´ecules ´etaient dans le compartiment 0. Quand la vanne s’ouvre, des
´etats interm´ediaires (N0, N) (o`u N0< N) sont atteints jusqu’`a l’´etat
final d’´equilibre o`u N0=N/2, ´evidemment.
Pour d´eterminer l’´etat d’´equilibre, associons `a chaque ´etat r´eduit un poids
WN
N0´egal au nombre d’´etats d´etaill´es qu’il repr´esente (Boltzmann).
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Retour sur la d´etente de Joule
N Etats d´etaill´es Etats r´eduits WN
N0
(0 0) (2,2) 1
2 (1 0) (0 1) (1,2) 2
(1 1) (0,2) 1
(0 0 0) (3,3) 1
3 (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (2,3) 3
(1 1 0) (0 1 1) (1 0 1) (1,3) 3
(1 1 1) (0,3) 1
(0 0 0 0) (4,4) 1
(0 0 0 1) (0 0 1 0) ... (3,4) 4
(0 0 1 1) (0 1 0 1) (0 1 1 0)
4 (1 0 0 1) (1 0 1 0) (1 1 0 0) (2,4) 6
(0 1 1 1) (1 0 1 1) ... (1,4) 4
(1 1 1 1) (0,4) 1
etc ,etc . . .
Le nombre WN
N0est bien connu en analyse combinatoire : c’est la combi-
naison de Nobjets N0`a N0:
WN
N0=N!
N0! (N−N0) !
Avec : n! = 1 ·2·3·4...(n−1) ·net 0 ! = 1
WN
N=WN 0= 1 WN N−1=WN 1=N
Le calcul de WN
N0se fait par la formule de Stirling d`es que N > N0>> 1 :
n!≈√2π n n
en
On v´erifie alors que, pour un nombre de particules Nfix´e, WN
N0atteint son
maximum pour N0=N/2 : l’´etat r´eduit correspondant `a l’´equilibre est
donc caract´eris´e par le poids
WN
N/2=N!
[(N/2) ! ]2≈2
π N 1/2
2N
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