Étude d’un système de particules avec interaction à longue portée Responsable du stage : Bruno Marcos Laboratoire J.-A. Dieudonné Université de Nice — Sophia Antipolis [email protected] Lorsque nous considérons un système de particules interagissant à travers le potentiel à deux corps V (r → ∞) ∼ 1/r γ , il est naturel de faire la distinction entre interactions à « courte portée » (γ > d, où d est la dimension spatiale) et à « longue portée » (γ ≤ d). Les interactions à longue portée présentent une thermodynamique atypique, comparée avec les systèmes à courte portée [1] : il apparaı̂t une inéquivalence des ensembles thermodynamiques, des chaleurs spécifiques négatives dans l’ensemble micro-canonique, entre autres. De plus, la dynamique qui les conduit vers l’équilibre thermodynamique a suscité ces dernières années beaucoup d’intérêt : dans une première phase, dont l’échelle de temps est d’ordre O(1), le système atteint génériquement un état « quasi-stationnaire » (QSS en anglais), puis, dans une seconde phase, relaxe vers l’équilibre thermodynamique en une échelle de temps d’ordre O(N), où N est le nombre de particules du système [1]. Dans la limite N → ∞, l’état quasistationnaire devient stable. Un exemple de QSS sont les galaxies, dont le temps de relaxation vers l’équilibre thermodynamique est largement supérieur à l’âge de l’univers. Un modèle populaire utilisé dans l’étude de systèmes à longue portée — car abordable analytiquement et numériquement — est le « Hamiltonian Mean Field model » (HMF) [1,2,3]. Il s’agit d’un modèle simplifié de l’interaction gravitationnelle en une dimension sur un cercle, qui présente cependant une phénoménologie similaire à celle-ci. Le potentiel gravitationnel est développé en série de Fourier v(θ) = ∞ X a(k) cos(kθ) θ ∈ [0, 2π], (1) k=1 et seul le terme k = 1 est conservé. Le stage consistera à étudier (analytiquement et/ou numériquement) une généralisation du modèle HMF en prenant plus d’un terme dans la série (1). Cette généralisation permet d’étudier, notamment, la dynamique et la thermodynamique pour différents potentiels V (r → ∞) ∼ 1/r γ et en particulier la portée des intéractions en fonction de l’exposant γ (voir [4]), ce qui n’est pas possible avec HMF. Le stagiaire pourra étudier l’état d’équilibre thermodynamique, sa stabilité, les états quasi-stationnaires, la relaxation vers l’équilibre thermodynamique, etc. 1 Page web : http ://math.unice.fr/∼marcos/ Pré-requis : physique statistique à l’équilibre, programmation (C ou Fortran). Éventuellement physique statistique hors équilibre. Références : [1] Statistical mechanics and dynamics of solvable models with long-range interactions, A. Campa, T. Dauxois and S. Ruffo, Phys. Rep. 480 57-159 (2009) arxiv :0907.0323. [2] Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics, M. Antoni and S. Ruffo, Phys. Rev. E 52 2361 (1995). [3] Stability criteria of the Vlasov equation and quasi stationary states of the HMF model, Y. Yamaguchi, J. Barré, F. Bouchet, T. Dauxois and S. Ruffo, Physica A 337, 36 (2004) cond-mat/0312480. [4] Quasistationary States and the Range of Pair Interactions, A. Gabrieli, M. Joyce and B. Marcos, Phys. Rev. Lett. 105, 210602 (2010) arXiv :1004.5119. 2