´Etude d`un syst`eme de particules avec interaction `a longue portée

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Etude d’un syst`eme de particules avec interaction `a
longue port´ee
Responsable du stage : Bruno Marcos
Laboratoire J.-A. Dieudonn´e
Universit´e de Nice — Sophia Antipolis
[e-mail]
Lorsque nous consid´erons un syst`eme de particules interagissant `a travers le potentiel `a
deux corps V(r→ ∞)∼1/rγ, il est naturel de faire la distinction entre interactions `a «courte
port´ee »(γ > d, o`u dest la dimension spatiale) et `a «longue port´ee »(γ≤d).
Les interactions `a longue port´ee pr´esentent une thermodynamique atypique, compar´ee avec
les syst`emes `a courte port´ee [1] : il apparaˆıt une in´equivalence des ensembles thermodyna-
miques, des chaleurs sp´ecifiques n´egatives dans l’ensemble micro-canonique, entre autres. De
plus, la dynamique qui les conduit vers l’´equilibre thermodynamique a suscit´e ces derni`eres
ann´ees beaucoup d’int´erˆet : dans une premi`ere phase, dont l’´echelle de temps est d’ordre O(1),
le syst`eme atteint g´en´eriquement un ´etat «quasi-stationnaire »(QSS en anglais), puis, dans
une seconde phase, relaxe vers l’´equilibre thermodynamique en une ´echelle de temps d’ordre
O(N), o`u Nest le nombre de particules du syst`eme [1]. Dans la limite N→ ∞, l’´etat quasi-
stationnaire devient stable. Un exemple de QSS sont les galaxies, dont le temps de relaxation
vers l’´equilibre thermodynamique est largement sup´erieur `a l’ˆage de l’univers.
Un mod`ele populaire utilis´e dans l’´etude de syst`emes `a longue port´ee — car abordable
analytiquement et num´eriquement — est le «Hamiltonian Mean Field model »(HMF) [1,2,3].
Il s’agit d’un mod`ele simplifi´e de l’interaction gravitationnelle en une dimension sur un cercle,
qui pr´esente cependant une ph´enom´enologie similaire `a celle-ci. Le potentiel gravitationnel est
d´evelopp´e en s´erie de Fourier
v(θ) =
∞
X
k=1
a(k) cos(kθ)θ∈[0,2π],(1)
et seul le terme k= 1 est conserv´e.
Le stage consistera `a ´etudier (analytiquement et/ou num´eriquement) une g´en´eralisation du
mod`ele HMF en prenant plus d’un terme dans la s´erie (1). Cette g´en´eralisation permet d’´etudier,
notamment, la dynamique et la thermodynamique pour diff´erents potentiels V(r→ ∞)∼1/rγ
et en particulier la port´ee des int´eractions en fonction de l’exposant γ(voir [4]), ce qui n’est pas
possible avec HMF. Le stagiaire pourra ´etudier l’´etat d’´equilibre thermodynamique, sa stabilit´e,
les ´etats quasi-stationnaires, la relaxation vers l’´equilibre thermodynamique, etc.
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Page web :http ://math.unice.fr/∼marcos/
Pr´e-requis : physique statistique `a l’´equilibre, programmation (C ou Fortran). ´ Eventuellement
physique statistique hors ´equilibre.
R´ef´erences :
[1] Statistical mechanics and dynamics of solvable models with long-range interactions, A. Campa,
T. Dauxois and S. Ruffo, Phys. Rep. 480 57-159 (2009) arxiv :0907.0323.
[2] Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics, M. Antoni and S. Ruffo,
Phys. Rev. E 52 2361 (1995).
[3] Stability criteria of the Vlasov equation and quasi stationary states of the HMF model,
Y. Yamaguchi, J. Barr´e, F. Bouchet, T. Dauxois and S. Ruffo, Physica A 337, 36 (2004)
cond-mat/0312480.
[4] Quasistationary States and the Range of Pair Interactions, A. Gabrieli, M. Joyce and
B. Marcos, Phys. Rev. Lett. 105, 210602 (2010) arXiv :1004.5119.
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