Thermodynamique des Gaz Parfaits

Universit´e Pierre & Marie Curie 2008/2009
MM123 dynamique des gaz
Feuille de TD No 1
Thermodynamique des Gaz Parfaits
L’´etat thermodynamique de tout corps pur peut ˆetre caract´eris´e par une couple de va-
riables d’´etat souvent choisies parmi le triplet T,pet vo`u vd´esigne le volume massique
1/ρ. On d´efinit les coefficients calorim´etriques comme les coefficients qui relient l’apport
de chaleur `a ce corps pur et la variation de ses propri´et´es thermodynamiques. On notera
donc, pour δQ un apport ´el´ementaire de chaleur par unit´e de masse du corps :
δQ =CvdT +lvdv ou δQ =CpdT +lpdp
1) En utilisant le premier et le second principe de la thermodynamique, montrez que l’on
peut exprimer lvet lpde mani`ere explicite `a partir de l’´equation d’´etat. Montrez de mˆeme
que la diff´erence Cp −Cvs’exprime elle aussi de mani`ere explicite `a l’aide de l’´equation
d’´etat.
2) Peut-on alors dire que l’´equation d’´etat caract´erise totalement le comportement ther-
modynamique du corps pur ?
Soit un gaz parfait ob´eissant `a la loi de Mariotte :
P v =rT =R
MT
o`u R= 8.3145J/K/mol est la constante des gaz parfaits et Mla masse molaire du gaz
consid´er´e.
3) Que valent lvet lppour un tel gaz ?
4) D´eduisez-en que pour un gaz parfait dont les capacit´es calorifiques sont constantes
(gaz caloriquement parfait), l’expression de e,het s(on utilisera l’indice adiabatique
γ=Cp/Cv).
On rappelle que la vitesse du son est une grandeur thermodynamique
c2= ∂p
∂ρ!s
Calculez la vitesse du son d’un gaz parfait.
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Propagation du son dans l’atmosph`ere.
On consid`ere que l’atmosph`ere est un gaz parfait caloriquement parfait, au repos, soumise
`a la pesanteur d’acc´el´eration uniforme g.
On fait l’hypoth`ese que l’entropie est constante. Exprimer pen fonction de ρ, de l’indice
adiabatique γet des pression et masse volumique au niveau du sol p0et ρ0.
Exprimer p(z) et T(z) en fonction de p0et de T0respectivement, de γet de gz/(rT0).
On cherche `a ´etudier la propagation du son dans l’atmosph`ere. On suppose que l’at-
mosph`ere peut ˆetre repr´esent´ee par un empilement de couches d’air de petite ´epaisseur
δz. Dans la couche de hauteur zla vitesse du son est c(z) et c(z+δz) dans la couche
suivante a la hauteur z+δz. On note θl’angle form´e par la direction de l’onde sonore
consid´er´ee avec la verticale.
z
z+δz
θ(z)
θ(z+δz)
5) En ´ecrivant la conservation de la phase et de la fr´equence du signal sonore au passage
de la couche z`a la cuche z+δz, obtenir la loi de Descartes :
c(z+δz)
sin(θ(z+δz)) =c(z) sin(θ(z))
Dans quel sens l’onde sonore s’incurve-t-elle ? Exprimer sin(θ(z)) en fonction de sin θ0, de
γet de gz/(rT0).
L’atmosph`ere est `a entropie constante pour des raisons de stabilit´e. On peut montrer que si
une masse de gaz est perturb´ee et effectue un peitit mouvement ascendant, ce mouvement
est amplifi´e ou amorti selon que l’entropie est d´ecroissante ou croissante.
La r´efraction caus´ee par les variations brusques d’indice dans l’atmosph`ere est `a l’origine
des mirages.
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