Enoncés et Solutions des exercices

Chapitre 21
CONVEXITÉ
Enoncé des exercices
1Les basiques
Exercice 21.1 Que dire d’une fonction convexe et concave sur un intervalle ?
Exercice 21.2 Que dire de la somme de deux fonctions convexes ? D’une combinaison linéaire ?
Exercice 21.3 Soit f:R−→ R, une fonction convexe et positive. On suppose que fa deux zéros aet bavec a < b.
Montrer que fest nulle sur le segment [a, b].
Exercice 21.4 Soient fet gconvexes sur I, que dire de sup (f, g)et de inf (f, g)?
Exercice 21.5 Montrer que pour x∈[0,1] ,on a 1 + x≤e
x
≤1 + x(e−1) .
Exercice 21.6 Justifier, à l’aide de la convexité d’une certaine fonction que x−→ e
x
−1
xest croissante sur R
∗
.
Exercice 21.7 Soient fet gconvexes sur Ravec gcroissante, montrer que g◦fest convexe. En déduire que si
h:R−→ R
+∗
est telle que ln hest convexe, alors hest convexe.
Exercice 21.8 Soit fconvexe sur Iet x < y < z dans I, montrer que 
1x f (x)
1y f (y)
1z f (z)≥0.
Exercice 21.9 Utiliser la fonction f, définie sur ]1,+∞[par f(x) = ln ln xpour montrer que :
∀x, y ∈]1,+∞[,ln x+y
2≥ln(x) ln(y)
Exercice 21.10 Soient n∈N
∗
et a
1
, .., a
n
∈R
∗
+
, on définit A(a
1
, .., a
n
) = 1
n
n
k=1
a
k
(moyenne arithmétique) et
G(a
1
, .., a
n
) =
n
n
k=1
a
k
(moyenne géométrique).Montrer que A(a
1
, .., a
n
)≥G(a
1
, .., a
n
).
Applications : Démontrer les inégalités
1. Montrer que ∀(a, b, c)∈R
+3
,
a
3
+b
3
+c
3
≥3abc
(a+b+c)
3
≥27abc

2. LES TECHNIQUES CHAPITRE 21. CONVEXITÉ
2.
∀n∈N
∗
,
n
√n!≤n+ 1
2
Exercice 21.11 Prouver la convexité de f(x) = ln (1 + e
x
). Montrer que pour tout ndans N
∗
,∀(x
1
, ..., x
n
)∈
]0,+∞[
n
,
1 + 
n
k=1
x
k
1
n
≤
n
k=1
(1 + x
k
)
1
n
En déduire que pour tout ndans N
∗
,(a
1
, ..., a
n
)∈R
∗n
+
,(b
1
, ..., b
n
)∈R
∗n
+
n
k=1
(a
k
+b
k
)
1
n
≥
n
k=1
a
k
1
n
+
n
k=1
b
k
1
n
Exercice 21.12 Montrer que pour tout ndans N
∗
,(a
1
, ..., a
n
)∈R
∗n
+
n
k=1
a
i
≥1
√n
n
k=1
√a
i
En déduire que ∀x > 1,
x
2n
−1≥x+ 1
x−1
x
n
−1
√n
Exercice 21.13
1. Soit fdéfinie par f(x) = e
2x−cos x
, montrer que fest convexe sur R.
2. Soit f:I−→ R
∗
+
,montrer que ln fconvexe =⇒fconvexe (Utilisez la concvité de ln). Que pensez-vous de la
réciproque ?
Application : prouver la convexité de gdéfinie par g(x) = (1 + x)
x
.
Exercice 21.14 Montrer que ∀a, b, x, y > 0, on a
xln x
a+yln y b≥(x+y) ln x+y a+b
2Les techniques
Exercice 21.15 Soit f: ]0,+∞[−→ Rconvexe. Montrer que f(x)
xa une limite dans R∪{+∞} lorsque xtend vers
+∞. (On pourra utiliser la croissance des cordes).
Exercice 21.16 Soit f:R
+
−→ Rpositive, bornée, de classe C
2
telle que f≤f
′′
.
1. Montrer que fest convexe et décroissante.
2. Montrer que fet f
′
tendent vers 0en +∞.
3. Soit get hdéfinies par g(x) = f(x)e
x
et h(x) = (f
′
(x) + f(x)) e
−x
pour x≥0. Etudier les variations de het
de g, ainsi que le signe de h.
4. En déduire que pour x≥,on a f(x)≤f(0) e
−x
.
—2/7— G´  H - E M -() 2009

Chapitre 21
CONVEXITÉ
Solution des exercices
1Les basiques
Exercice 21.1 Elle est au dessus et en dessous de ses cordes, donc coïncide avec chaque corde. Elle est donc affine
sur l’intervalle.
Exercice 21.2 Si fet gsont convexes, alors pour (x, y)∈I
2
et λ∈[0,1] ,on a
f(λx + (1 −λ)y)≤λf (x) + (1 −λ)f(y)
et g(λx + (1 −λ)y)≤λg (x) + (1 −λ)g(y)
d’où
(f+g) (λx + (1 −λ)y)≤λ(f+g) (x) + (1 −λ) (f+g) (y)
Pour une combinaison linéaire, cela ne marche plus.... Prendre f(x) = e
x
et g(x) = e
−x
, la différence n’est pas
convexe.
Exercice 21.3 La courbe est sous la corde [A, B]est est au dessus de l’axe Ox car fest positive !
Exercice 21.4 Soient (x, y)∈I
2
et λ∈[0,1] ,on a
f(λx + (1 −λ)y)≤λf (x) + (1 −λ)f(y)
et g(λx + (1 −λ)y)≤λg (x) + (1 −λ)g(y)
Or si on pose h= sup (f, g)
f(x)≤h(x)et f(y)≤h(y)donc λf (x) + (1 −λ)f(y)≤λh (x) + (1 −λ)h(y)car λ≥0et (1 −λ)≥0
de même
λg (x) + (1 −λ)g(y)≤λh (x) + (1 −λ)h(y)
donc
sup (f(λx + (1 −λ)y), g (λx + (1 −λ)y)) = h(λx + (1 −λ)y)≤λh (x) + (1 −λ)h(y)
et hest bien convexe.
En revanche pour inf (f, g),cela ne marche pas. Il suffit de prendre f(x) = xet g(x) = 0 qui sont convexes.
Exercice 21.5 La fonction f= exp est convexe donc au dessus de sa tangente en 0et en dessous de la corde. La
tangente en 0a pour équation
y=f(0) + f
′
(0) (x−0) = 1 + x
La corde a pour équation
x−0 1 −0
y−f(0) f(1) −f(0) =
x−0 1 −0
y−1e−1= (e−1) x−y+ 1 = 0 ⇐⇒ y= 1 + (e−1) x

1. LES BASIQUES CHAPITRE 21. CONVEXITÉ
Exercice 21.6 La fonction exp est convexe, on sait que l’on a donc croissance des cordes issues d’un point. En
particulier du point Ad’abscisse 0,la pente des cordes vaut alors e
x
−1
x−0qui est une fonction croissante sur R
∗
.
Exercice 21.7 Soient (x, y)∈R
2
et λ∈[0,1] ,on a
f(λx + (1 −λ)y)≤λf (x) + (1 −λ)f(y)
On a donc, par croissance de g
g(f(λx + (1 −λ)y)) ≤g(λf (x) + (1 −λ)f(y))
Or ∀(u, v)∈R
2
et λ∈[0,1]
g(λu + (1 −λ)u)≤λg (u) + (1 −λ)g(v)
Avec u=f(x)et v=f(y),on en déduit que
g(f(λx + (1 −λ)y)) ≤λg (f(x)) + (1 −λ)g(f(y))
Pour la suite, on pose f= ln h:R−→ Ret g= exp qui sont convexe avec gcroissante. On en déduit que h=g◦f
est convexe.
Exercice 21.8 On a y∈]x, y[,il existe donc λ∈]0,1[ tel que y=λx + (1 −λ)z. On a alors
z−y=z−λx −(1 −λ)z=λ(z−x)
y−x=λx + (1 −λ)z−x= (1 −λ) (z−x)
f(y)≤λf (x) + (1 −λ)f(z)
et 
1x f (x)
1y f (y)
1z f (z)
=f(x) (z−y)−f(y) (z−x) + f(z) (y−x)
=λ(z−x)f(x)−f(y) (z−x) + (1 −λ) (z−x)f(z)
≥λ(z−x)f(x) + (1 −λ) (z−x)f(z)−λ(z−x)f(x)−(1 −λ) (z−x)f(z) = 0
Exercice 21.9 La fonction fest de classe C
1
sur ]1,+∞[et f
′
(x) = 1
xln x,est décroissant (produit de fonctions
positives décroissantes) ainsi fest bien concave. On en déduit que
ln ln x+y
2≥ln (ln x) + ln (ln y) 2= ln ln (x) ln (y)
il suffit de passer à l’exponentielle qui, elle, est croissante.
Exercice 21.10 La fonction ln : 
]0,+∞]→R
x→ ln(x)est concave (car sa dérivée seconde est négative).Donc −ln est convexe
et d’après l’inégalité de Jensen on a avec λ
k
=
1
n
−ln 
n
k=1
a
k
n≤
n
k=1
1
n(−ln(a
k
)), en multipliant par −1puis en prenant l’exponentielle (qui est croissante) de chaque
membre on a
n
k=1
a
k
n≥
n
k=1
a
k
1
n
soit A(a
1
, .., a
n
)≥G(a
1
, .., a
n
)
1. On applique à a
3
, b
3
, c
3
d’où
a
3
+b
3
+c
3
3≥
3
√a
3
b
3
c
3
=abc
puis à (a, bc)d’où
a+b+c
3≥
3
√abc et on élève au cube
—4/7—
G´  H - E M -() 2009

CHAPITRE 21. CONVEXITÉ 1. LES BASIQUES
2. Idem, on applique avec x
i
=id’où
1
n
n
k=1
k=n+ 1
2≥
n
√n!
Exercice 21.11 On commence par passer au ln, on doit ainsi montrer que
ln 1 + (
n
k=1
x
k
)
1
n
= ln 1 + exp 
1
n
n
k=1
y
k
≤
1
n
n
k=1
ln (1 + exp (y
k
)) où l’on a posé y
k
= ln (x
k
).
Posons f(x) = ln (1 + e
x
), l’inégalité demandée va découler de la convexité de f. En effet f
′′
(x) =
e
x
1+e
x
>0.Pour
finir on prend x
k
=
a
k
b
k
.
Exercice 21.12 La fonction f(x) = x
2
est concave donc, 
1
n
n
k=1
√a
i
2
≤
n
k=1 1
n
√a
i
2
=
1
n
n
k=1
a
i
, on passe
ensuite à la racine carrée pour conclure.
Ensuite, on pose a
k
=x
2k
. Alors 
n
k=1
x
2i
=
x
2
(x
2n
−1)
x
2
−1
≥
1
√n
n
k=1
x
i
=
1
√n
x(x
n
−1)
x−1
ce qui donne le résultat.
Exercice 21.13
1. Un calcul simple, fest C
∞
donne
f
′′
(x) = cos x+ 4 + 4 sin x+ sin
2
xe
2x−cos x
Or
cos x+ 4 + 4 sin x+ sin
2
x= (1 + cos x)
≥0
+3 + 4 sin x+ sin
2
x
≥0
car X
2
+ 4X+ 3 = (X+ 3) (X+ 1) est positif sur [−1,+∞[
On en déduit que
fest convexe sur R
Remarque : On peut aussi écrire que cos x+ 4 + 4 sin x+ sin
2
x= cos x+ (2 + sin x)
2
,or (2 + sin x)≥2−1 = 1
donc cos x+ (2 + sin x)
2
≥1 + cos x≥0.
Exercice 21.14 Soient λ∈R,(x, y)∈R
2
alors
ln (f((1 −λ)x+λy)) ≤(1 −λ) ln f(x) + λln f(y)
Mais par concavité du logarithme, on a
(1 −λ) ln f(x) + λln f(y)≤ln ((1 −λ)f(x) + λf (y))
d’où
ln (f((1 −λ)x+λy)) ≤ln ((1 −λ)f(x) + λf (y))
par croissance de l’exponentielle, il vient
f((1 −λ)x+λy)≤(1 −λ)f(x) + λf (y)
ce qui est exactement la convexité de f.
La réciproque est fausse comme le prouve l’exemple de f(x) = e
2x−cos x
qui est convexe alors que ln (f(x)) = 2x−cos x
a pour dérivée seconde la fonction cos donc n’est pas convexe.
Remarque : Attention, on ne sait rien sur la dérivabilité de f. On ne peut donc pas tenir le raisonnement suivant
(très rapide !)
(ln f)
′′
=f
′
f
′
=f
′′
f−f
′
2
f
2
≥0 =⇒f
′′
≥f
′2
f(fest positive car ln fest définie)
—5/7—
G´  H - E M -() 2009