TD3

Maitrise Sciences-Physique 2003-04
TD de physique statistique
o
Feuille de TD n 3
Comptage de microétats quantiques
1
L'Oscillateur Harmonique
Une particule de masse
m, bougeant selon l'axe x, est soumise à la force F = −kx.Cela
peut par exemple modéliser les vibrations d'un atome dans une molécule diatomique comme
He2 , ou d'un atome appartenant à un cristal comme le cuivre.
1. Ecrire l'énergie totale
E
de la particule en fonction de
x(t), p(t)
fréquence ω ?
2. Montrer que les trajectoires de
Les dessiner. Quelle est la
x
et de son impulsion
p.
dans l'espace de phase, sont des ellipses.
3. A partir du théorème de comptage d'états quantiques (ou principe d'incertitude qui
dit qu'un état quantique occupe la surface
nombre d'états quantiques
n,
h
dans l'espace de phase), Calculer le
d'énergie inférieure à
E.
4. En déduire que le spectre d'énergie est discret, et une estimation du spectre En .
exact
Comparez au résultat exact En
= ~ω(n + 1/2) avec n = 0, 1, 2 . . . ? Tracer les
exact
niveaux En et En
.
5. En déduire une estimation de la densité d'énergie
2
ρ(E) = dn/dE .
Tracer
ρ(E).
Une particule dans une boite
1. On considère maintenant une particule libre dans une boite de longueur
L
à une
dimension. Quelle est l'expression du potentiel V (x)? Mêmes questions que ci-dessus.
exact
Pour comparaison, le spectre exact est En
= (n2 π 2 /L2 )(~2 /2m), pour n = 1, 2, . . .
2. Mêmes questions pour une particule dans une boite de volume
3. Donner une estimation de la densité d'énergie
ρ(E) =
V
à trois dimensions.
dn
dE
4. Quelles sont les modications si la particule a deux états de spin ?
3
N
particules dans une boite
On considère
V.
N
particules de masse
m
sans interactions, dans une boite de volume
N ' 1023 .
Cela modèlise un gaz parfait ; pour une boite de volume macroscopique,
C'est un système isolé. Ces particules sont supposées discernables. On cherche à calculer
1
la densité d'états, l'entropie, an d'obtenir l'équation d'état du gaz parfait, et l'énergie
moyenne par particule.
Référence : Diu phys. stat. p.83. Zitoun phys.stat. p.360.
1. Quelles sont les variables dynamiques qui caractérisent un micro-état (i.e. une
conguration microscopique des
N
particules) ? Ces variables dénissent l'espace de
phase total du problème. Quelle est sa dimension ?
2. Expression de l'énergie totale
E
en fonction de l'impulsion de chacune des parti-
cules ?
V ol (E) dans l'espace de phase total par tous les micro-états
E ?1
3. Calculer l'espace occupé
d'énergie inférieure à
4. En tenant compte de l'espace quantique élémentaire occupé par un micro-état
(d'après le principe d'incertitude), en déduire le nombre d'états quantiques
d'énergie inférieure à
5. Pour
N
ln n ' ln ρ ' ln dn. Donner l'expression de l'entropie
S(E) = k ln ρ(E) . Vérier que S croit linéairement avec N (extensivité).
grand, montrer que
dénit par
1. On utilisera pour cela la formule du volume de la sphère de rayon
x21
+
x22 ..
+
x2n
n(E)
E?
=r
2
r
dans
Rn
déni par l'équation
:
Vn (r) = αn rn
avec
αn =
π n/2
≈
Γ( n2 + 1)
2πe
n
n/2
1
√
πn
si
n1
Γ() est√la fonction Gamma prolongeant la factorielle sur les nombres réels, vériant : Γ(n) = (n − 1)!;
Γ(1/2) = π; Γ(x+1) = xΓ(x). Vérier au passage, que l'on retrouve les formules correctes pour la surface
où
du cercle (n=2), et le volume de la sphère (n=3).
2
Solutions du TD 3
1
N
particules dans une boite


1. Il y a
6N
variables


x1 , px1 , y1 , py1 , z1 , pz1 , . . . , xN , pxN , yN , pyN , zN , pzN .
{z
}
{z
}
|
|
particule 1
de phase est donc de dimension
2.
E=
p
~2i
i=1 2m
PN
=
1
2m
PN
i=1
L'espace
particule N
6N .
p2xi + p2yi + p2zi
.
3. Un point de l'espace de phase est caractérisé par les variables de positions et d'impulsion. Les variables d'impulsion vérient l'inégalité :
N
X
p2xi + p2yi + p2zi ≤ 2mE
i=1
cette dernière équation correspond à l'intérieure d'une sphère de dimension
2
rayon r = 2mE . Son volume est :
3N ,
de
VSphere = α3N r3N/2
Quant aux variables de position, chaque particule est dans le volume V . Pour les N
N
particules, cela donne un volume V . Le volume total de l'espace de phase concerné
est donc
V ol (E) = α3N r3N/2 V N = α3N (2mE)3N/2 V N
4. D'après le principe d'incertitude, un état quantique (à
N
particules) occupe le vo-
lume élémentaire
∆x1 ∆px1 , . . . , ∆zN ∆pzN = h3N
| {z }
| {z }
h
h
Donc on évalue :
V ol(E)
= h−3N α3N (2mE)3N/2 V N
h3N
3/2 !N
1
V 2πe2mE
√
'
3
h
3N
π3N
dn
3N 1
ρ (E) =
=n
dE
2
E
n (E) =
3
5. Donc
ln ρ = ln n + ln
3N
− ln E
2
or
ln n ∝ N ln N,
pour
N ' 1023
donc
ln ρ ' ln n
de même
ln dn = ln ρ − ln dE ' ln ρ ' ln n
Finalement,
S (E) = k ln n = kN ln
4
V
h3
2πe2m E
3 N
3/2 !