Document

Master 2 – Dynamique des fluides
et énergétique
Cours 3 : Application des équations générales du mouvement
Théorème d'Hugoniot et formule de Bernoulli
Théorème de la dynalpie
Reynald Bur
[email protected]
Théorème d'Hugoniot et formule de Bernoulli
F22 Raptor
Les méthodes de prévision en aérodynamique classique
ESSAIS EN SOUFFLERIE
LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT
EQUATIONS DE NAVIER-STOKES
APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX
Cas général : Equations d'Euler
Ecoulement irrotationnel
Monodimensionnel
Equation du potentiel
complète
linéarisée
stationnaire
instationnaire
Bidimensionnel
Supersonique : Méthode des caractéristiques
Transsonique, Supersonique : Méthodes
numériques
Ecoulement incompressible
Equation de Laplace
théorie des profils
minces et de la ligne
portante
Solutions analytiques
Méthode des singularités
Tridimensionnel : Méthodes numériques
PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX
L'approximation de couche
limite
Equations d'Euler :
modèles non
visqueux
Simulation numérique directe (DNS)
frottement, flux de chaleur
Méthode de couplage :
fluide parfait - fluide
visqueux
Problème complet
Résolution numérique des
équations de Navier -Stokes
Simulation des grosses structures (LES)
Equations moyennées (RANS)
Equations d’Euler
écoulement monodimensionnel : ne dépend que d'une seule
variable d'espace : X
A(X) , V(X) , p(X) , ρ(X) , T(X) ...
écoulement stationnaire, non visqueux, non conducteur de
la chaleur, pas de force à distance (absence de gravité, de
forces électromagnétiques)
écoulement adiabatique : pas d'échanges de chaleur
Les trois équations fondamentales
1. conservation de la masse
2. équation du mouvement
3. énergie : premier principe
Écoulement monodimensionnel
Conservation de la masse ou équation de continuité
A(X)
V
X
qm = ρ V A = constan te
qm : débit massique (kg/s)
ou, sous forme différentielle :
dρ dV dA
=0
+
+
ρ
V
A
Écoulement monodimensionnel
Equation du mouvement
F = mγ
A(x)
application au volume MM'L'L
expression de l'accélération
dV
γ=
dt
dV ∂V dV dx ∂V
dV
= +
= +V
dt ∂t dx dt ∂t
dx
stationnaire
dV
dV
=V
dt
dx
A(x + dx)
M'
M
p
p + dp
p
ρ
V
L
x
p + dp
ρ + dρ
V + dV
L'
x + dx
masse contenue dans MM'LL'
x
ρAdx
Écoulement monodimensionnel
Equation du mouvement
F = mγ
A(x)
application au volume MM'L'L
dV
ρ A dx V
=
dx
p A − [p A + d(p A)] + pdA
dp
V dV +
=0
ρ
équation d'Euler
M
p
A(x + dx)
M'
p + dp
p
ρ
V
L
x
p + dp
ρ + dρ
V + dV
L'
x + dx
x
Théorème d'Hugoniot
continuité
dρ dV dA
=0
+
+
ρ
V
A
V dV +
mouvement
dp
=0
ρ
 ∂p 
dp
 =
a = 
 ∂ρ  s dρ
2
vitesse du son
dV  V2  dA
1−
+
=0
2


V  a  A
nombre de Mach
V
M=
a
(
)
dV
dA
2
1− M +
=0
V
A
Théorème d'Hugoniot
(
)
dV
dA
2
1− M +
=0
V
A
M<
<1
écoulement subsonique
dV
<0
dA
la vitesse augmente quand la section diminue
M>1
écoulement supersonique
dV
> 0
dA
la vitesse augmente quand la section augmente
M =1
écoulement sonique
dA = 0
la section est stationnaire : existence d'un col
Théorème d'Hugoniot
dA < 0
dM > 0
dA > 0
dM < 0
écoulement subsonique
dA < 0
dM<0
dM
<0
dA > 0
dM > 0
écoulement supersonique
dA = 0
dA < 0
M=1
dM > 0
dA > 0
dM > 0
écoulement subsonique-supersonique avec passage par un col
Théorème d'Hugoniot : tuyère d'une soufflerie supersonique
Tuyère Mach 2 de la soufflerie S5Ch de l'Onera-Meudon
Théorème d'Hugoniot : tuyère d'un lanceur spatial
Boeing (Rocketdyne) RS68
Détour vers l’incompressible : équation ou formule de Bernoulli
équation du mouvement :
dp
V dV +
=0
ρ
écoulement incompressible :
ρ = ρ0 = constante
pression dynamique
V2
V2
p + ρ0
= pi = cons tan te
2
pression statique
pression d’arrêt ou totale
V1
relation entre la pression et la vitesse
dans un écoulement incompressible non visqueux
valable le long d’une ligne de courant
Ligne de courant
Formule de Bernoulli : cas d’un écoulement irrotationnel
- dans le cas général, la constante de l’équation de
Bernoulli change d’une ligne de courant à l’autre
- dans le cas d’un écoulement irrotationnel, cette
constante reste la même pour toutes les lignes de
courant
V2
p+ρ
= cons tan te à travers tout l’écoulement
2
Formule de Bernoulli : interprétation physique
vitesse
pression
et inversement…
interprétation énergétique : le travail fournit
par les forces de pression est égal aux variations
d’énergie cinétique dans l’écoulement
Formule de Bernoulli : illustration
observation : dépression
effort de succion entre les plaques
qui se ferment alors
interprétation : si la vitesse augmente, alors la pression statique diminue
Formule de Bernoulli : cas avec force de gravité
La pression est modifiée avec l’altitude
par la loi d’hydrostatique :
p ' = p + ρ gz
La formule de Bernoulli devient :
1
p + ρ V 2 + ρ gz = const
2
pression de pesanteur
Applications de la formule de Bernoulli
Le théorème de Torricelli
z2
V1=0
Que vaut V2 ?
V2=?
z1
Applications de la formule de Bernoulli
Le théorème de Torricelli
z2
on considère la ligne de courant
dessinée en rouge pour laquelle
on écrit la formule de Bernoulli
avec force de gravité :
V1=0
1
1
2
p1 + ρV1 + ρ gz1 = p2 + ρV22 + ρ gz2
2
2
or :
z1
V2
jet parabolique
p1 = p2 = pa
donc :
V2 = 2 g ∆z
profil parabolique
Applications de la formule de Bernoulli
Le théorème de Torricelli : illustration
Applications de la formule de Bernoulli
Calcul de la vitesse autour d’un profil
Soit une aile dans un écoulement dans les conditions
standard au niveau de la mer avec une vitesse de 50m/s.
A un certain point de l’aile, la pression est de
0,9x105N/m2.
Calculer la vitesse de l’écoulement en ce point.
V=50m/s
Applications de la formule de Bernoulli
Calcul de la vitesse autour d’un profil : solution
Au niveau de la mer :
ρ=1,23kg/m3 et p=1atm=1,013x105N/m2
1
1
2
p ∞ + ρ V∞ = p + ρ V 2
2
2
V =
2 ( p∞ − p )
ρ
V = 142.8 m / s
+ V ∞2
Applications de la formule de Bernoulli
Le tube de Pitot
p
V
V2
pi = p + ρ 0
2
2
(pi − p)
V=
ρ0
pression à la paroi du canal
pi
pi
chaîne de mesure
∆p = pi - p
p
capteur de pression différentiel
Applications de la formule de Bernoulli
Sondes du type tube de Pitot utilisées en soufflerie
sonde Pitot ronde
sonde Pitot aplatie pour
sondage de couche limite
Applications de la formule de Bernoulli
Sondes lécheuses utilisées en soufflerie (proche paroi)
sonde pression statique
sonde pression d’arrêt
sonde température
Applications de la formule de Bernoulli
L'antenne de Prandtl : mesure de la vitesse sur un avion
V2
pi = p + ρ 0
2
2
(pi − p)
V=
ρ0
p
pi
chaîne de
mesure
mesure par l'antenne de ∆p = pi - p
pi
p
vitesse de l'écoulement
Applications de la formule de Bernoulli
Antenne de Prandtl ou sonde de Pitot
Localisation au voisinage du bord d’attaque de l’aile
La sonde de Mach
Mesure de la vitesse sur un avion en écoulement supersonique
L’orifice permettant de mesurer la pression statique p2
doit se trouver suffisamment en aval (au moins à 10 diamètres)
p2 ≈ p1
de l’origine du corps cylindrique de la sonde
M1 > 1
pi2
p2
pi1
p1
mesures de p1 et pi2 et inversion de la formule de Rayleigh (théorie du choc droit)
M1 et vitesse de l'écoulement
Applications de la formule de Bernoulli
Notion de point d’arrêt d’un écoulement
En un point d’arrêt de l’écoulement, la vitesse est nulle
Exemples au bord d’attaque
d’une aile d’avion
Applications de la formule de Bernoulli
Le tube de Venturi ou Venturi
p1
p2
conservation du débit
ρ1A1V1 = ρ2 V2 A2
(ρ1 = ρ2 = ρ0 )
équation de Bernoulli
ρ0 2
ρ0 2
p1 + V1 = p2 + V2
2
2
V1 =
(A1)
2 ( p2 − p1 )
(A2)
sections A1 et A2 connues
 A  2 
ρ0  1  − 1
 A 2 

mesure des pressions p1 et p2
V1
débit volumique qv = A1V1 (m3/s)
Applications de la formule de Bernoulli
Le ressaut hydraulique
L’eau qui coule du robinet… Autour de l’impact de l’eau au fond de
l’évier, on observe une brusque augmentation du niveau de l’eau
c’est le phénomène du ressaut hydraulique
instabilités et influence de la tension de surface
Applications de la formule de Bernoulli
Le mascaret
Quand la marée remonte un fleuve, si celle-ci est suffisamment forte,
alors on peut observer le phénomène du mascaret qui fait le bonheur
des surfeurs !
Le mascaret est un ressaut qui remonte le cours du fleuve avec la marée
en France : sur la Garonne et la Dordogne
Théorème de la dynalpie
Applications des équations de conservation
Le théorème de la dynalpie
équation fondamentale de la mécanique pour un système à masse variable
∂ 
 ∫∫∫ ρ V dυ  +

∂t  ( υ )
∫∫ (
( S)
)
ρ V . n V dS = − ∫∫
( S)
P dS + ∫∫∫
(υ)
ρ f dυ
hypothèses : écoulement stationnaire, pas de forces à distance
(
)
∂ 

 ∫∫∫ ρ V dυ  + ∫∫ ρ V . n V dS = − ∫∫ P dS +
(S)
(S)

∂t  ( υ )
∫∫ (
(S)
)
ρ V . n V dS = − ∫∫
(S)
P dS
∫∫∫
(υ)
ρ f dυ
Applications des équations de conservation
Le théorème de la dynalpie
∫∫ (
(S)
∫∫
(S)
vecteur dynalpie
)
ρ V . n V dS = − ∫∫
[
(S)
(
) ]
(
)
P dS
P + ρ V . n V dS = 0
D = P + ρ V .n V
∫∫
(S)
D dS = 0
en écoulement stationnaire, l'intégrale du vecteur dynalpie sur
une surface fermée ne contenant aucun obstacle est nulle
Applications des équations de conservation
Expression des efforts aérodynamiques sur un corps
D dynalpie
dS
R
(S1 )
(S 2 )
la surface (S2) se confond avec la surface du corps
le théorème de la dynalpie est appliqué au volume défini
par la réunion de (S1) et (S2)
Applications des équations de conservation
Expression des efforts aérodynamiques sur un corps
le flux de quantité de mouvement sur (S2) est nul :
surface imperméable
∫∫
( S2 )
P dS = R
résultante des efforts aérodynamiques
théorème de la dynalpie
∫∫
( S1 )
D dS +
R=−
∫∫
( S2 )
∫∫
( S1 )
P dS = 0
D dS
en écoulement stationnaire, sans forces à distance, la résultante
des forces aérodynamiques est égale à l'opposé de l'intégrale du
vecteur dynalpie sur une surface fermée entourant le corps
Applications des équations de conservation
Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : poussée
et traînée de captation
I (entrée d'air)
E (tuyère)
(S1 )
(S2 )
moteur
(S3 )
(S1) s'appuie sur les lèvres d'entrée de la prise d'air
(S2) s'appuie sur les lèvres de sortie de la tuyère
(S3) se confond avec toutes les surfaces internes imperméables
en contact avec le fluide
Applications des équations de conservation
Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : poussée
et traînée de captation
l'effort propulsif résulte des actions de contact internes
R=
∫∫
(S3 )
P dS
le flux de quantité de mouvement à travers (S3) est nul
théorème de la dynalpie
∫∫
( S1 )
[ (
) ]
∫∫
P + ρ V . n V dS +
R=−

(S2 )
∫∫
( S2 )
[ (
) ]
P + ρ V . n V dS = − ∫∫
D dS +
∫∫
( S1 )
D dS 

( S3 )
P dS
Applications des équations de conservation
Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : poussée
et traînée de captation
Poussée de la tuyère
F = 

Traînée de captation
T = − 

∫∫
( S2 )
∫∫

D dS  . x

( S 1)

D dS  . x

x est le vecteur unitaire
porté par la vitesse amont
dirigé selon V∞
Poussée interne de la nacelle propulsive
P =F − T
V∞
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
(S 3 )
(P1 )
(P2 )
(S 2 )
(S1 )
V∞
R
(C 2 )
(C 1 )
(S3) : surface ou tube de courant
écoulement uniforme dans (S1)
pression redevenue uniforme dans (S2)
p = p∞
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
bilan sur (S1) et (S2) :
∫∫
( S1 )∩ ( S 2 )
∫∫
( S1 )
(
D dS =
)
∫∫
p ∞ n dS +
( S1 ) ∩ ( S 2 )
ρ ∞ V∞ . n V∞ dS +
∫∫
( S2 )
(
)
ρ V . n V dS
conservation du débit dans le tube de courant (S3) :
∫∫ (
( S1 )
)
ρ ∞ V∞ . n dS = −
∫∫
( S2 )
(
)
ρ V . n dS
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
le vecteur
V∞ étant constant
∫∫ (
( S1 )
)
ρ ∞ V∞ . n V∞ dS = −
∫∫
(S2 )
(
)
ρ V . n V∞ dS
bilan sur (S3) :
(S3) : surface de courant
∫∫
( S3 )
aucun flux de masse ne la traverse
D dS =
∫∫
( S3 )
p n dS
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
(C1) devient très grand
à grande distance : p
(plan de Trefftz)
→
p∞
effort aérodynamique sur le véhicule :
R=−

∫∫
( S1 )∪ ( S 2 ) ∪ ( S 3 )
p ∞ n dS +
∫∫
( S2 )
(
ρ V .n
)(
)
V − V∞ dS 

Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
comme p = constante sur (S1) ∪ (S2) ∪ (S3) surface fermée
∫∫
( S1 )∪ ( S 2 )∪ ( S 3 )
R = −
∫∫
( S2 )
p ∞ n dS
(
ρ V .n
)(
→
0
)
V − V ∞ dS
traînée T : projection de R sur la vitesse amont
V∞
T = − .
V∞
∫∫
(S2 )
(
ρ V .n
)(
V − V∞
)dS
Applications des équations de conservation
Méthode de Betz pour la détermination de la traînée d'un profil
1
T=−
V∞
∫∫
( S2 )
(
ρ V .n
)(
)
V − V∞ . V∞ dS
V∞
u : composante de la vitesse selon
T=−
∫∫
( S2 )
Cx =
coefficient de traînée
Cx = 2
ρ u ( u − V∞
∫∫
(S2 )
ρu
ρ ∞ V∞
)
dS
T
1
ρ ∞ V∞2 A
2

u  dS
 1 −

V∞  A

Applications des équations de conservation
Méthode de Betz pour la détermination de la traînée d'un profil
traînée d'onde
u
onde de choc
y2
M<1
M>1
M < 1 zone rotationnelle
V∞
sillage visqueux
y1
u
traînée de frottement
la traînée se déduit d'un sondage du sillage suffisamment loin
en aval du profil
Applications des équations de conservation
Exemple d’écoulement autour d’un profil transsonique
onde de choc
décollement de
la couche limite
déclenchement
transition
couche limite
interaction choc couche limite
sillage
onde de choc
Pearcey, 1962
Applications des équations de conservation
Ecoulement autour d’un profil supercritique
document Onera
M<1
M<1
M>1
Applications des équations de conservation
Ecoulement autour d’un projectile en vol supersonique
M 0 = 1,24
M>1
M<1
M<1
M>1
document ISL
Applications des équations de conservation
Relation d'Oswatitsch pour la traînée généralisée
V
T = − ∞ .
V∞
∫∫
( S2 )
(
ρ V .n
)(
)
V − V∞ dS
V − V∞
à grande distance
posons
δ V = V − V∞
<< 1
V∞
enthalpie totale
δh T = δh + V . δV
δh T − δh = V∞ . δ V = V∞ . V − V∞
(
thermodynamique
δh = T∞ δs
δp
δh = T δs +
ρ
)
car δp = 0 entre (S2) et (S1)
Applications des équations de conservation
Relation d'Oswatitsch pour la traînée généralisée
(
)
(
dq m = ρ V . n dS débit massique traversant l'élément de surface dS
on a :
V∞ . V − V∞ = δhT − δh = δhT − T∞ δs
)
1
T=
V∞
( T∞ δ s − δ h T ) dq m
∫∫
( S2 )
δh T = 0
écoulement adiabatique
T=
1
V∞
∫∫
( S2 )
( T∞ δ s ) dq m
la traînée d'un véhicule est directement liée au flux de l'entropie
qu'il produit au travers d'une surface l'entourant
Applications des équations de conservation
Source de la traînée
1
T=
V∞
∫∫
( S2 )
( T∞ δ s ) dq m
la traînée est une conséquence de la production d'entropie
équation de l'énergie
(pas de réactions chimiques)
∂u j ∂ qi
ds 1 
T
=  τ ij
−
dt
ρ
∂x i ∂x i
en absence de flux de chaleur, la seule source d'entropie est
la viscosité du fluide
fluide non visqueux
absence de traînée
Paradoxe de d'Alembert



Applications des équations de conservation
Traînée visqueuse et traînée induite
tourbillon d'extrémité
nappe de sillage
traînée induite
traînée visqueuse
Applications des équations de conservation
Source de la traînée
couches limites sur l'aile donnant la nappe de sillage ou sillage
traînée visqueuse
ondes de choc
traînée d'onde (ou de choc)
tourbillons issus des extrémités de l'aile résultant du contournement
traînée induite par la portance
dans tous les cas, c'est la viscosité qui est à l'origine de la traînée
Applications des équations de conservation
Détermination de la traînée d'une aile
méthode de Betz
traînée déduite d'une exploration de
l'écoulement dans un plan situé loin en aval de la maquette
exploration par sonde de Pitot ou sonde de pression multi-trous
pression statique p et pression d’arrêt pi
mesures optiques non intrusives PIV - LDV
champ de vitesse u
cette méthode s'applique aussi à partir d’un champ calculé par
résolution des équations de Navier-Stokes
Applications des équations de conservation
Détermination de la traînée par sondage du sillage de l’aile
soufflerie transsonique Onera - S1MA
dispositif de sondage
péniche
demi maquette
montée à la paroi
maquette Airbus munie de nacelles TFN (Through Flow Nacelle)
Applications des équations de conservation
Détermination de la traînée par sondage du sillage de l’aile
DSGM
sonde 5 trous
lame porte sonde
tête de roulis du DSGM
mât vertical
dispositif de sondage en aval de la maquette dans la
soufflerie S1MA du Centre Onera de Modane-Avrieux
Applications des équations de conservation
Distributions de pression d'arrêt dans le sillage de l’aile
sillage du choc
sillage visqueux
Applications des équations de conservation
Répartition de pression d'arrêt dans le sillage de l'aile
M∞ = 0,70 , Cz = 0,45
traînée induite
traînée visqueuse
© Airbus France 2001
sillage visqueux et tourbillon de bout d'aile
Applications des équations de conservation
Densité locale de traînée visqueuse et de traînée induite
M ∞ = 0,70
,
© Airbus France 2001
C z = 0,45
Applications des équations de conservation
Densité locale de traînée de choc
M ∞ = 0,85
© Airbus France 2001
,
C z = 0,55
Fin du cours
Airbus A380