Les suites réelles et complexes Table des matières

Les suites réelles et complexes
Table des matières
1 L’ensemble des suites sur IK 2
1.1 Loisdecomposition .............................. 2
1.2 Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Suitesmonotones................................ 2
2 Convergence, divergence 3
2.1 Définitions ................................... 3
2.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes ou divergentes vers l’infini 5
3 Utilisation de la monotonie 6
3.1 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Suitesadjacentes................................ 6
4 Suites extraites 7
5 Relation de comparaison 7
5.1 Relation de domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 Relation de négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1

Dans ce chapitre, IK désigne IR ou CI.
1 L’ensemble des suites sur IK
1.1 Lois de composition
Définition 1 : On appelle, suite d’éléments de IK indexée par I, (où I∈ P(IN)), toute
application de Idans IK :
u:I−→ IK
n7−→ un
On note upar (un)n∈I.unest le nième terme de la suite.
L’ensemble des suites d’éléments de IK indexée par Iest noté IKI.
On définit sur cet ensemble une addition et une multiplication internes, puis une multi-
plication externe qui font de IKIun anneau commutatif, puis un espace vectoriel.
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
Dans ce paragraphe, IK =IR.
Définition 2 : On dit que la suite réelle (an)n∈Iest majorée (resp : minorée, resp : bornée)
si l’ensemble {an/n ∈I}est une partie majorée (resp : minorée, resp : bornée) de IR.
En d’autres termes,
(an)n∈Iest majorée ⇐⇒ ∃α∈IR, ∀n∈I, an≤α
(an)n∈Iest minorée ⇐⇒ ∃α∈IR, ∀n∈I, an≥α
(an)n∈Iest bornée ⇐⇒ ∃(α, β)∈IR2,∀n∈I, β ≤an≤α
On démontre que :
(an)n∈Iest bornée ⇐⇒ ∃γ∈IR, ∀n∈I, |an|≤ γ
1.3 Suites monotones
Dans ce paragraphe, IK =IR.
Définition 3 : Soit une suite réelle (an)n∈I.
On dit que (an)n∈Iest croissante (resp : strictement croissante) si :
∀n∈I, an≤an+1 (resp :∀n∈I, an< an+1)
On dit que (an)n∈Iest décroissante (resp : strictement décroissante) si :
∀n∈I, an≥an+1 (resp :∀n∈I, an> an+1)
On dit qu’une suite est monotone (resp : strictement monotone) si elle est croissante
ou décroissante
(resp : strictement croissante ou strictement décroissante).
On dit qu’une suite est stationnaire si à partir d’un certain rang, elle est constante,
c’est à dire : ∃p∈I, ∀n∈I, n ≥p, an=ap
2

2 Convergence, divergence
2.1 Définitions
Désormais, dans toute la suite de ce chapitre, les définitions et propriétés sont données
pour des suites indexées par IN. Pour des suites indexées par des parties I6=IN, il faut
remplacer la condition n∈IN, par n∈Ilorsqu’il est question du nième terme de la suite.
Définition 4 : Soit une suite (un)n∈IN d’éléments de IK.
1) On dit que (un)n∈IN converge vers l∈IK si :
∀ε > 0,∃Nε∈IN, ∀n≥Nε,|un−l|≤ ε
On note alors lim
n→+∞un=lou lim(un)n∈IN =lou un−→ n→+∞l.
lest appelé limite de la suite.
2) On dit que (un)n∈IN est convergente si il existe un élément l∈IK tel que (un)n∈IN
converge
vers l∈IK :
∃l∈IK, ∀ε > 0,∃Nε∈IN, ∀n≥Nε,|un−l|≤ ε
3) On dit que (un)n∈IN est divergente si elle ne converge pas, c’est à dire donc :
∀l∈IK, ∃ε > 0,∀N∈IN, ∃n≥N, |un−l|> ε
Propriété 1 :Unicité de la limite quand elle existe
Si (un)n∈IN est convergente, alors sa limite est unique.
Propriété 2 :
1) Modification d’un nombre fini de termes
Si (un)n∈IN converge vers l∈IK et si la suite (yn)n∈IN est telle que : ∃p∈IN, ∀n≥p, un=yn,
alors (yn)n∈IN converge vers l∈IK.
2) Décalage d’indice
Soient (un)n∈IN une suite et (yn)n∈IN telle que : ∃k∈ZZ, ∀n∈IN, yn=un+k.
Les deux suites sont de même nature et si elles convergent, elles convergent vers la
même limite.
Définition 5 : Soit une suite (un)n∈IN réelle.
1) On dit que (un)n∈IN diverge vers +∞si :
∀A > 0,∃NA∈IN, ∀n≥NA, un≥A
On note lim
n→+∞un= +∞ou lim(un)n∈IN = +∞ou un−→ n→+∞+∞.
2) On dit que (un)n∈IN diverge vers −∞ si :
∀B < 0,∃NB∈IN, ∀n≥NB, un≤B
On note lim
n→+∞un=−∞ ou lim(un)n∈IN =−∞ ou un−→ n→+∞−∞.
Remarques :
1) (un)n∈IN diverge vers +∞si et seulement si (−un)n∈IN diverge vers −∞.
2) Toute suite divergeant vers l’infini est une suite divergente.
3

Propriété 3 :
1) Toute suite convergente est bornée.
2) Toute suite réelle divergente vers +∞est minorée et non majorée.
3) Toute suite réelle divergente vers −∞ est majorée et non minorée.
Remarques :
1) Toute suite non bornée est divergente.
2) Il existe des suites bornées non convergentes : par exemple, un= (−1)n.
2.2 Propriétés algébriques
Propriété 4 : Soient λ∈IK, (l, l0)∈IK2,(un)n∈IN ,(vn)n∈IN deux suites d’éléments de IK
(on dit auusi des suites numériques).
On a :
1) (un)n∈IN converge vers l=⇒(|un|)n∈IN converge vers |l|.
2) (un)n∈IN converge vers 0 ⇐⇒ (|un|)n∈IN converge vers 0.
3)
(un)n∈IN converge vers l
(vn)n∈IN converge vers l0=⇒(un+vn)n∈IN converge vers l+l0
4) (un)n∈IN converge vers l=⇒(λun)n∈IN converge vers λl.
5)
(un)n∈IN converge vers 0
(vn)n∈IN est bornée =⇒(unvn)n∈IN converge vers 0
6)
(un)n∈IN converge vers l
(vn)n∈IN converge vers l0=⇒(unvn)n∈IN converge vers l l0
7)
(un)n∈IN converge vers l
l6= 0 =⇒
a)1
unn∈IN
est défini à partir d’un certain rang
b)1
unn∈IN
converge vers 1
l
8)
(un)n∈IN converge vers l
(vn)n∈IN converge vers l0
l06= 0
=⇒
a)un
vnn∈IN
est défini à partir d’un certain rang
b)un
vnn∈IN
converge vers l
l0
Propriété 5 : Soient (xn)n∈IN et (yn)n∈IN deux suites réelles, (l, l0)∈IR2et la suite
complexe (zn)n∈IN définie par : ∀n∈IN, zn=xn+i ynet L=l+i l0.
Alors :
(zn)n∈IN converge vers L⇐⇒ (xn)n∈IN converge vers let (yn)n∈IN converge vers l0
4

Propriété 6 : Soient (un)n∈IN et (vn)n∈IN deux suites réelles.
1) Si (un)n∈IN diverge vers +∞et (vn)n∈IN est minorée alors (un+vn)n∈IN diverge vers
+∞.
En particulier :
–(un)n∈IN diverge vers +∞
(vn)n∈IN diverge vers +∞=⇒(un+vn)n∈IN diverge vers +∞
–(un)n∈IN diverge vers +∞
(vn)n∈IN converge vers l∈IR =⇒(un+vn)n∈IN diverge vers +∞
2) Si (un)n∈IN diverge vers +∞et si ∃C > 0,∃N∈IN, ∀n≥N, vn≥Calors (unvn)n∈IN
diverge vers +∞.
En particulier :
–(un)n∈IN diverge vers +∞
(vn)n∈IN diverge vers +∞=⇒(unvn)n∈IN diverge vers +∞
–(un)n∈IN diverge vers +∞
(vn)n∈IN converge vers l∈IR∗
+
=⇒(unvn)n∈IN diverge vers +∞
3) (un)n∈IN diverge vers ±∞ =⇒1
unn∈IN
converge vers 0.
4) Si (un)n∈IN converge vers 0 et si ∃N∈IN, ∀n≥N, un>0alors 1
unn∈IN
diverge
vers +∞.
2.3 Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes ou diver-
gentes vers l’infini
Ce paragraphe ne concerne que des suites réelles car on fait intervenir ≤.
Propriété 7 : Soient (un)n∈IN une suite réelle convergente vers l,(a, b)∈IR2.
1) Si a < l, alors :
∃N1∈IN, ∀n≥N1, a < un
2) Si l < b, alors :
∃N2∈IN, ∀n≥N2, un< b
3) Si a < l < b, alors :
∃N∈IN, ∀n≥N, a < un< b
4) Si l6= 0, alors, à partir d’un certain rang, un6= 0 et unest du signe de l.
Propriété 8 :Passage à la limite dans les inégalités
Soient (un)n∈IN et (vn)n∈IN deux suites réelles convergentes respectivement vers let
l0,(a, b)∈IR2.
1) Si ∃N1∈IN tel que ∀n≥N1, a ≤un, alors a≤l.
2) Si ∃N2∈IN tel que ∀n≥N2, un≤b, alors l≤b.
3) Si ∃N∈IN tel que ∀n≥N, un≤vn, alors l≤l0.
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