Les suites réelles et complexes Table des matières 1 L’ensemble des suites sur IK 1.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 Convergence, divergence 3 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes ou divergentes vers l’infini 5 3 Utilisation de la monotonie 3.1 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 4 Suites extraites 7 5 7 7 7 8 Relation de comparaison 5.1 Relation de domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Relation de négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Dans ce chapitre, IK désigne IR ou C I. L’ensemble des suites sur IK 1 1.1 Lois de composition Définition 1 : On appelle, suite d’éléments de IK indexée par I, (où I ∈ P(IN )), toute application de I dans IK : u : I −→ IK n 7−→ un On note u par (un )n∈I . un est le n ième terme de la suite. L’ensemble des suites d’éléments de IK indexée par I est noté IK I . On définit sur cet ensemble une addition et une multiplication internes, puis une multiplication externe qui font de IK I un anneau commutatif, puis un espace vectoriel. 1.2 Suites majorées, minorées, bornées Dans ce paragraphe, IK = IR. Définition 2 : On dit que la suite réelle (an )n∈I est majorée (resp : minorée, resp : bornée) si l’ensemble {an /n ∈ I} est une partie majorée (resp : minorée, resp : bornée) de IR. En d’autres termes, (an )n∈I est majorée ⇐⇒ ∃α ∈ IR, ∀n ∈ I, an ≤ α (an )n∈I est minorée ⇐⇒ ∃α ∈ IR, ∀n ∈ I, an ≥ α (an )n∈I est bornée ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ IR2 , ∀n ∈ I, β ≤ an ≤ α On démontre que : (an )n∈I est bornée ⇐⇒ ∃γ ∈ IR, ∀n ∈ I, | an |≤ γ 1.3 Suites monotones Dans ce paragraphe, IK = IR. Définition 3 : Soit une suite réelle (an )n∈I . On dit que (an )n∈I est croissante (resp : strictement croissante) si : ∀n ∈ I, an ≤ an+1 ( resp : ∀n ∈ I, an < an+1 ) On dit que (an )n∈I est décroissante (resp : strictement décroissante) si : ∀n ∈ I, an ≥ an+1 ( resp : ∀n ∈ I, an > an+1 ) On dit qu’une suite est monotone (resp : strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp : strictement croissante ou strictement décroissante). On dit qu’une suite est stationnaire si à partir d’un certain rang, elle est constante, c’est à dire : ∃p ∈ I, ∀n ∈ I, n ≥ p, an = ap 2 2 Convergence, divergence 2.1 Définitions Désormais, dans toute la suite de ce chapitre, les définitions et propriétés sont données pour des suites indexées par IN . Pour des suites indexées par des parties I 6= IN , il faut remplacer la condition n ∈ IN , par n ∈ I lorsqu’il est question du nième terme de la suite. Définition 4 : Soit une suite (un )n∈IN d’éléments de IK. 1) On dit que (un )n∈IN converge vers l ∈ IK si : ∀ε > 0, ∃Nε ∈ IN, ∀n ≥ Nε , | un − l |≤ ε On note alors lim un = l ou lim(un )n∈IN = l ou un −→ l. n→+∞ n→+∞ l est appelé limite de la suite. 2) On dit que (un )n∈IN est convergente si il existe un élément l ∈ IK tel que (un )n∈IN converge vers l ∈ IK : ∃ l ∈ IK, ∀ε > 0, ∃Nε ∈ IN, ∀n ≥ Nε , | un − l |≤ ε 3) On dit que (un )n∈IN est divergente si elle ne converge pas, c’est à dire donc : ∀l ∈ IK, ∃ε > 0, ∀N ∈ IN, ∃n ≥ N, | un − l |> ε Propriété 1 : Unicité de la limite quand elle existe Si (un )n∈IN est convergente, alors sa limite est unique. Propriété 2 : 1) Modification d’un nombre fini de termes Si (un )n∈IN converge vers l ∈ IK et si la suite (yn )n∈IN est telle que : ∃p ∈ IN, ∀n ≥ p, un = yn , alors (yn )n∈IN converge vers l ∈ IK. 2) Décalage d’indice Soient (un )n∈IN une suite et (yn )n∈IN telle que : ∃k ∈ Z, Z ∀n ∈ IN, yn = un+k . Les deux suites sont de même nature et si elles convergent, elles convergent vers la même limite. Définition 5 : Soit une suite (un )n∈IN réelle. 1) On dit que (un )n∈IN diverge vers +∞ si : ∀A > 0, ∃NA ∈ IN, ∀n ≥ NA , un ≥ A On note lim un = +∞ ou lim(un )n∈IN = +∞ ou un −→ +∞. n→+∞ n→+∞ 2) On dit que (un )n∈IN diverge vers −∞ si : ∀B < 0, ∃NB ∈ IN, ∀n ≥ NB , un ≤ B On note lim un = −∞ ou lim(un )n∈IN = −∞ ou un −→ −∞. n→+∞ n→+∞ Remarques : 1) (un )n∈IN diverge vers +∞ si et seulement si (−un )n∈IN diverge vers −∞. 2) Toute suite divergeant vers l’infini est une suite divergente. 3 Propriété 3 : 1) Toute suite convergente est bornée. 2) Toute suite réelle divergente vers +∞ est minorée et non majorée. 3) Toute suite réelle divergente vers −∞ est majorée et non minorée. Remarques : 1) Toute suite non bornée est divergente. 2) Il existe des suites bornées non convergentes : par exemple, un = (−1)n . 2.2 Propriétés algébriques Propriété 4 : Soient λ ∈ IK, (l, l0 ) ∈ IK 2 , (un )n∈IN , (vn )n∈IN deux suites d’éléments de IK (on dit auusi des suites numériques). On a : 1) (un )n∈IN converge vers l =⇒ (| un |)n∈IN converge vers | l |. 2) (un )n∈IN converge vers 0 ⇐⇒ (| un |)n∈IN converge vers 0. 3) (un )n∈IN converge vers l =⇒ (un + vn )n∈IN converge vers l + l0 (vn )n∈IN converge vers l0 4) (un )n∈IN converge vers l =⇒ (λun )n∈IN converge vers λl. 5) (un )n∈IN converge vers 0 =⇒ (un vn )n∈IN converge vers 0 (vn )n∈IN est bornée 6) (un )n∈IN converge vers l =⇒ (un vn )n∈IN converge vers l l0 (vn )n∈IN converge vers l0 7) (un )n∈IN 1 est défini à partir d’un certain rang a) converge vers l un n∈IN =⇒ 1 1 l 6= 0 converge vers b) un n∈IN l 8) un est défini à partir d’un certain rang (un )n∈IN converge vers l a) vn n∈IN 0 (vn )n∈IN converge vers l =⇒ un l l0 6= 0 converge vers 0 b) vn n∈IN l Propriété 5 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites réelles, (l, l0 ) ∈ IR2 et la suite complexe (zn )n∈IN définie par : ∀n ∈ IN, zn = xn + i yn et L = l + i l0 . Alors : (zn )n∈IN converge vers L ⇐⇒ (xn )n∈IN converge vers l et (yn )n∈IN converge vers l0 4 Propriété 6 : Soient (un )n∈IN et (vn )n∈IN deux suites réelles. 1) Si (un )n∈IN diverge vers +∞ et (vn )n∈IN est minorée alors (un + vn )n∈IN diverge vers +∞. Enparticulier : (un )n∈IN diverge vers + ∞ – =⇒ (un + vn )n∈IN diverge vers + ∞ (vn )n∈IN diverge vers + ∞ (un )n∈IN diverge vers + ∞ – =⇒ (un + vn )n∈IN diverge vers + ∞ (vn )n∈IN converge vers l ∈ IR 2) Si (un )n∈IN diverge vers +∞ et si ∃C > 0, ∃N ∈ IN, ∀n ≥ N, vn ≥ C alors (un vn )n∈IN diverge vers +∞. Enparticulier : (un )n∈IN diverge vers + ∞ – =⇒ (un vn )n∈IN diverge vers + ∞ (vn )n∈IN diverge vers + ∞ (un )n∈IN diverge vers + ∞ – =⇒ (un vn )n∈IN diverge vers + ∞ ∗ (vn )n∈IN converge vers l ∈IR+ 1 converge vers 0. 3) (un )n∈IN diverge vers ±∞ =⇒ un n∈IN 1 diverge 4) Si (un )n∈IN converge vers 0 et si ∃N ∈ IN, ∀n ≥ N, un > 0 alors un n∈IN vers +∞. 2.3 Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes ou divergentes vers l’infini Ce paragraphe ne concerne que des suites réelles car on fait intervenir ≤. Propriété 7 : Soient (un )n∈IN une suite réelle convergente vers l, (a, b) ∈ IR2 . 1) Si a < l, alors : ∃ N1 ∈ IN, ∀n ≥ N1 , a < un 2) Si l < b, alors : ∃ N2 ∈ IN, ∀n ≥ N2 , un < b 3) Si a < l < b, alors : ∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, a < un < b 4) Si l 6= 0, alors, à partir d’un certain rang, un 6= 0 et un est du signe de l. Propriété 8 : Passage à la limite dans les inégalités Soient (un )n∈IN et (vn )n∈IN deux suites réelles convergentes respectivement vers l et 0 l , (a, b) ∈ IR2 . 1) Si ∃ N1 ∈ IN tel que ∀n ≥ N1 , a ≤ un , alors a ≤ l. 2) Si ∃ N2 ∈ IN tel que ∀n ≥ N2 , un ≤ b, alors l ≤ b. 3) Si ∃ N ∈ IN tel que ∀n ≥ N, un ≤ vn , alors l ≤ l0 . 5 Propriété 9 :Théorème des gendarmes Soient (un )n∈IN , (vn )n∈IN , (wn )n∈IN trois suites réelles telles que : ∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, un ≤ vn ≤ wn (un )n∈IN converge vers l1 (wn )n∈IN converge vers l2 l1 = l2 Alors (un )n∈IN est convergente et sa limite est l1 = l2 Propriété 10 : Soient (un )n∈IN , (vn )n∈IN deux suites réelles. 1) Si ∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, un ≤ vn et (un )n∈IN diverge vers +∞, alors (vn )n∈IN diverge vers +∞. 2) Si ∃ N ∈ IN, ∀n ≥ N, un ≤ vn et (vn )n∈IN diverge vers −∞, alors (un )n∈IN diverge vers −∞. 3 Utilisation de la monotonie La monotonie ne concernant que les suites réelles, ce paragraphe ne concerne encore que les suites réelles. 3.1 Suites réelles monotones Théorème : 1) a) Une suite réelle (un )n∈IN croissante et majorée dans IR est convergente et sa limite l est la borne supérieure de {un /n ∈ IN } et donc on a : ∀n ∈ IN, un ≤ l. b) Une suite croissante et non majorée diverge vers +∞. 2) a) Une suite réelle (un )n∈IN décroissante et minorée dans IR est convergente et sa limite l est la borne inférieure de {un /n ∈ IN } et donc on a : ∀n ∈ IN, un ≥ l. b) Une suite décroissante et non minorée diverge vers −∞. 3.2 Suites adjacentes Définition 6 : Deux suites réelles (un )n∈IN et (vn )n∈IN sont dites adjacentes si : 1) 2) 3) l’une est croissante l’autre est décroissante (un − vn )n∈IN converge vers 0 Propriété 11 : Si deux suites réelles (un )n∈IN et (vn )n∈IN sont adjacentes alors elles convergent et elles ont même limite. De plus, si l est cette limite commune et dans le cas où (un )n∈IN est croissante et (vn )n∈IN décroissante, on a : ∀n ∈ IN, un ≤ l ≤ vn Corollaire : Théorème des segments emboîtés Soit (In )n∈IN une suite de segments de IR (c’est à dire In ⊂ IR et In est un segment) On suppose que : ∀n ∈ IN, In+1 ⊂ In et que les longueurs des segments In forment une suite réelle convergente vers 0. Alors ∩ In 6= ∅ n∈IN et ∩ In est un singleton n∈IN 6 4 Suites extraites Ce paragraphe concerne des suites d’éléments de IK. Définition 7 : Soit (un )n∈IN une suite d’éléments de IK. On appelle suite extraite de (un )n∈IN , toute suite (vn )n∈IN pour laquelle il existe une application ϕ : IN → IN strictement croissante telle que : ∀n ∈ IN, vn = uϕ(n) . On note alors la suite extraite associée à ϕ par (uϕ(n) )n∈IN Propriété 12 : Toute suite extraite d’une suite (un )n∈IN convergente vers l ∈ IK (resp : divergente vers +∞, resp : divergente vers −∞), est convergente vers l ∈ IK (resp : divergente vers +∞, resp : divergente vers −∞). Corollaire : Si il existe deux suites extraites de (un )n∈IN qui convergent vers des limites différentes, alors (un )n∈IN est divergente. Exemple : un = (−1)n Propriété 13 : Si les deux suites extraites (u2n )n∈IN et (u2n+1 )n∈IN convergent vers la même limite l, alors (un )n∈IN converge vers l. Démonstration à revoir car elle peut être demandée en exercice. 5 Relation de comparaison Ce paragraphe concerne les suites à valeurs dans IK 5.1 Relation de domination Définition 8 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites. On dit que (xn )n∈IN est dominée par (yn )n∈IN si : ∗ ∃λ ∈ IR+ , ∃p ∈ IN, ∀n ≥ p, | xn |≤ λ | yn | On note xn = O(yn ) et on dit xn est un grand O de yn . Propriété 14 : Caractérisation du O. Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0 Alors xn xn = O(yn ) ⇐⇒ est une suite bornée yn n≥n0 5.2 Relation de négligeabilité Définition 9 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites. On dit que (xn )n∈IN est négligeable devant (yn )n∈IN si : ∗ ∀ε ∈ IR+ , ∃p ∈ IN, ∀n ≥ p, | xn |≤ ε | yn | On note xn = o(yn ) et on dit xn est un petit o de yn . 7 Propriété 15 : Caractérisation du o. Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0 Alors xn xn = o(yn ) ⇐⇒ converge vers 0 yn n≥n0 5.3 Relation d’équivalence Définition 10 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites. On dit que (xn )n∈IN est équivalente à (yn )n∈IN si : xn − yn = o(yn ) On note xn ∼ yn et on dit xn est équivalente à yn . Propriété 16 : Caractérisation du ∼. Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites. Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0 Alors xn ∼ yn ⇐⇒ xn yn converge vers 1 n≥n0 Cas particuliers : 1) Si l 6= 0, xn ∼ l ⇐⇒ (xn )n∈IN converge vers l. 2) xn ∼ 0 ⇐⇒ xn = o(0) ⇐⇒ (xn )n∈IN est une suite presque nulle. Propriété 17 : Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites. Si ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , yn 6= 0, Alors xn ∼ yn ⇐⇒ yn ∼ xn C’est à dire ∼ est une relation symétrique dans l’ensemble des suites. Propriété 18 : Opérations sur les équivalents 1) Si un ∼ vn et xn ∼ yn , alors un xn ∼ vn yn . 2) Si un ∼ vn et ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , vn 6= 0, Alors – ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0 , un 6= 0 1 1 – ∼ un vn Propriété 19 : Application de la relation d’équivalence pour le calcul de limites. Soient (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites équivalentes. Alors les deux suites ont même nature et dans le cas d’une convergence, les limites sont identiques. 8