Arithmétique

Dans le chapitre ARITHMETIQUE, je dois :
4. SAVOIR DETERMINER LE PGCD DE 2 NOMBRES PAR SOUSTRACTIONS
SUCCESSIVES
Exemple : PGCD(112 ; 152) = ?
1. CONNAITRE LE VOCABULAIRE « DIVISEUR », « MULTIPLE », « DIVISIBLE
PAR »
Exemple : 35 est dans la table de 7 (35 = 5 × 7). On dit que :
Le plus grand
35 est un multiple de 7.
35 est divisible par 7.
Le plus petit
7 est un diviseur de 35.
2. SAVOIR ETABLIR LA LISTE DES DIVISEURS D’UN NOMBRE
Exemple : Liste des diviseurs de 42
Dans cette méthode, on effectue des soustractions successives, jusqu’à ce que
les deux nombres à soustraire soient égaux. On commence par soustraire 152 et
112 (le plus grand nombre moins le plus petit).
152 – 112 = 40
112 – 40 = 72
72 – 40 = 32
40 – 32 = 8
32 – 8 = 24
24 – 8 = 16
16 – 8 = 8
PGCD(152 ; 112) = 8
On cherche toutes les façons d’écrire 42 comme produit de deux entiers
42 = 1 × 42
42 = 2 × 21
On essaie, dans l’ordre, 1 puis 2, puis 3, etc… On
42 = 3 × 14
s’arrête à 6 × 7 car on a déjà trouvé les diviseurs
plus grands que 7.
42 = 4 × …
42 = 5 × …
42 = 6 × 7
Au final, les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 et 42.
Remarque : Un nombre qui a exactement deux diviseurs (1 et lui-même) est un
nombre premier.
3. SAVOIR DETERMINER LE PGCD DE 2 NOMBRES PAR LISTE DES
DIVISEURS
Exemple : PGCD(18 ; 45) = ?
On établit, selon la méthode ci-dessus, la liste des diviseurs de 18, puis la liste
des diviseurs de 45.
Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6 = 4 × … = 5 × …
Diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
45 = 1 × 45 = 2 × … = 3 × 15 = 4 × … = = 5 × 9
45 = 6 × … = 7 × … = 8 × …
Diviseurs communs de 18 et 45 : 1 ; 3 ; 9
On cherche ensuite les nombres qui
figurent dans les deux listes. Ce sont
les diviseurs communs de 18 et 45.
5. SAVOIR DETERMINER LE PGCD DE 2 NOMBRES PAR ALGORITHME
D’EUCLIDE
Méthode :
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit. On
obtient une égalité de la forme : Dividende = Quotient × Diviseur + Reste
Si le reste est 0, le diviseur est le PGCD recherché.
Sinon on prend le diviseur et le reste de la division précédente et on effectue une
nouvelle division euclidienne.
On continue ainsi jusqu’à ce qu’on trouve un reste égal à 0 : le PGCD cherché est
le dernier reste différent de zéro.
Exemple 1 : PGCD(126 ; 21) = ?
On effectue la division euclidienne de 126 par 21. (Le quotient est 6, le reste 0).
On obtient l’égalité 126 = 6 × 21 + 0.
er
Le 1 reste est 0 donc le diviseur 21 est le PGCD cherché :
PGCD(126 ; 21) = 21
Exemple 2 : PGCD(1 128 ; 540) = ?
On effectue la division euclidienne de 1 128 par 540. (Le quotient est 2, le reste 48).
On obtient l’égalité
1 128 = 2 × 540 + 48.
540 = 11 × 48 + 12
PGCD(18 ; 45) = 9
Les deux plus petits sont 112 et 40. On les soustrait.
Les deux plus petits sont 72 et 40. On les soustrait.
Les deux plus petits sont 40 et 32. On les soustrait.
Les deux plus petits sont 32 et 8. On les soustrait.
Les deux plus petits sont 24 et 8. On les soustrait.
Les deux plus petits sont 16 et 8. On les soustrait.
Les deux plus petits sont 8 et 8. On arrête. On a trouvé le PGCD.
Le plus grand nombre de la liste ci-dessus est le
PGCD recherché.
48 = 4 × 12 + 0
Le reste est différent de 0. On effectue la division euclidienne
de 540 par 48. Le quotient est 11, le reste est 12.
Le reste est différent de 0. On effectue la division euclidienne
de 48 par 12. Le quotient est 4, le reste est 0.
Le reste est 0. On arrête.
Le dernier reste différent de zéro est 12. C’est le PGCD de 1 128 et 540.
PGCD(1 128 ; 540) = 12
6. SAVOIR DETERMINER SI DEUX NOMBRES SONT PREMIERS ENTRE EUX
8. SAVOIR RESOUDRE UN PROBLEME CONDUISANT A UN CALCUL DE PGCD
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD est 1.
Exemple : Une fleuriste a reçu un lot de 411 roses blanches et 685 roses rouges.
Elle souhaite faire des bouquets identiques, c’est-à-dire avec la même répartition
roses rouges/roses blanches, en utilisant toutes les fleurs.
Quel nombre maximal de bouquets peut-elle réaliser ? Préciser leur composition.
En pratique, on regarde si les deux nombres ont un diviseur évident (autre
que 1), par exemple s’ils sont pairs, ou dans la table de 3, de 5, etc… ce qui
rend impossible un PGCD égal à 1.
Sinon, on est obligé de calculer leur PGCD avec l’une des méthodes
précédentes.
Exemple 1 : 324 et 702 sont-ils premiers entre eux ?
Réponse non, car les deux nombres sont pairs, donc leur PGCD est au moins
égal à 2.
On établit d’abord la nécessité d’avoir un diviseur commun des deux nombres.
La fleuriste souhaite réaliser des bouquets identiques, sans qu’il ne reste de
fleur, donc le nombre de bouquets est un diviseur commun de 411 et 685.
Exemple 2 : 121 et 214 sont-ils premiers entre eux ?
On justifie ensuite que l’on cherche le plus grand diviseur commun des deux
nombre, soit le PGCD.
Ici, on calcule leur PGCD, par exemple avec l’algorithme d’Euclide :
Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 411 et 685.
214 = 1 × 121 + 93
121 = 1 × 93 + 28
93 = 3 × 28 + 9
28 = 3 × 9 + 1
9=9×1+0
On calcule ce PGCD, par exemple avec les soustractions successives :
685 – 411 = 274
411 – 274 = 137
274 – 137 = 137
Le dernier reste différent de zéro est 1 donc PGCD(121 ; 214) = 1 donc 121 et
214 sont premiers entre eux.
7. SAVOIR RENDRE UNE FRACTION IRREDUCTIBLE
Pour rendre une fraction irréductible, on simplifie cette fraction par le PGCD du
numérateur et du dénominateur. Si le numérateur et le dénominateur sont
premiers entre eux (c’est-à-dire si leur PGCD est 1), la fraction est irréductible.
Exemple : Simplifier la fraction 2210
12597
On calcule le PGCD de 2 210 et 12 597, par exemple avec l’algorithme d’Euclide :
12 597 = 5 × 2 210 + 1 547
2 210 = 1 × 1 547 + 663
1 547 = 2 × 663 + 221
663 = 3 × 221 + 0
Le dernier reste différent de zéro est 221 donc PGCD(12 597 ; 2 210) = 221.
Pour rendre cette fraction irréductible, il suffit donc de la simplifier par 221.
2210
12597
10 221
57 221
10
57
PGCD(685 ; 411) = 137
On conclut :
Elle pourra réaliser au maximum 137 bouquets.
411
137 = 3
Les 411 roses blanches sont réparties dans les 137 bouquets.
685
137 = 5
Les 685 roses rouges sont réparties dans les 137 bouquets.
Chaque bouquet sera composé de 3 roses blanches et de 5 roses rouges.