Chapitre 4 : Les mouvements de rotation, les systèmes de particules

OS 4ème 1
2012-2013 PG
n corps peut être animé d’un mouvement de translation et d’un
mouvement de rotation. Il peut y avoir également une
superposition de ces 2 types de mouvements.
Définition : mouvement de translation
Nous avons à faire à un mouvement de translation
lorsqu’une ligne joignant 2 points quelconques du corps
reste parallèle à elle-même.
Nous parlerons de mouvement de rotation dans le cas
contraire.
Ces mouvements s’appliquent à des solides. Mais, au fait,
qu’est-ce qu’un solide ?
Définition : corps solide
Un corps est dit solide lorsque les positions des points
matériels le constituant sont fixes les unes par rapport aux
autres.
On peut distinguer 2 types de systèmes de points
matériels :
1.- Un système dont la distribution des PM est discrète : on peut les
compter, les dénombrer. C’est le cas par exemple de l’étude de 2 corps en
interaction, chaque corps étant approximable par un PM.
2.- Un système dont la distribution des PM est continue : on ne peut plus
compter les PM, car il y en a une infinité. C’est le cas d’un solide non
approximable en tant que PM.
Pour calculer certaines grandeurs importantes, on emploie des notations
différentes selon le type de système. Ainsi, la masse totale s’écrit :
m = ∑mi pour une distribution discrète (i = 1,…..N)
m = ∫dm pour une distribution continue (N ! ∞ et mi !dm)
Exemple
Calculer la masse totale d’une sphère de rayon R
dont la distribution de masse est donnée par sa
masse volumique ρ(r) :
2
)( r
C
r= ρ
Rotations
Energie de rotation et moment d’inertie
Supposons qu’un corps solide soit en rotation autour d’un axe fixe. Toutes
les particules qui le composent ne vont pas à la même vitesse : plus une
particule se situe loin de l’axe, plus elle se déplace rapidement. En
revanche, par rapport à l’axe, toutes les particules tournent du même angle
pendant un intervalle de temps donné. On caractérise la rotation du solide
par sa vitesse angulaire ω : tous les points du solide ont la même vitesse
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U

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angulaire ω. Il est bien clair qu’un corps en rotation possède une énergie
cinétique liée à la rotation. L’énergie cinétique du corps est la somme de
l’énergie cinétique de chaque PM de masse mi :
Ecin = ∑
1
2
mi vi
2 (1)
Puisque la vitesse angulaire caractérise
la rotation et est la même pour chaque
PM, il convient d’exprimer les vitesses
vi en fonction de cette vitesse angulaire.
vi = ω ri (2)
où
ri = distance du PM de masse mi
à l’axe de rotation
Donc
Ecin =
( )
22
2
2
2
1
)(
2
1
2
1
ωωω Irmrm iiii ==⋅∑∑
(3)
Il apparaît un terme entre parenthèses
2
()
ii
mr
∑
qui est lié non
seulement à la masse du corps solide, mais plus précisément à une
distribution de sa masse. Ce terme est appelé moment d’inertie I du corps
relativement à l’axe de rotation.
L’inertie d’un corps est la résistance qu’il oppose au changement dans
l’état de son mouvement. Cette résistance est physiquement représentée par
la masse inertielle. Cette même propriété de la matière intervient comme
une résistance au changement dans le mouvement de rotation ; elle est
alors appelée inertie de rotation. Cette résistance rotationnelle dépend à la
fois de la quantité de masse et de sa répartition autour de l’axe de rotation.
Définition : moment d’inertie
Le moment d’inertie I d’un corps autour d’un axe est défini par :
I =
2
∑ii rm
[kg.m2] (4)
où
ri = distance du PM de masse mi à l’axe
Si on choisit l’axe Oz // à l’axe fixe de rotation (ce qu’on fait souvent par
convention), le moment d’inertie vaut :
I =
( )
∑+22
i
ii yxm
(5)
Le moment d’inertie tient compte de la distribution de masse autour de
l’axe : chaque masse est pondérée par le facteur
2
i
r
, si bien que 2 corps
peuvent avoir la même masse, la même géométrie, mais les moments
d’inertie par rapport à l’axe peuvent être différents.
Notons qu’un corps, s’il ne possède qu’une masse, peut posséder une
infinité de moments d’inertie puisqu’on est libre de choisir autant d’axes
que l’on désire. On doit donc toujours préciser par rapport à quel axe
on calcule I.
Moments d’inertie des corps rigides
Dans le cas d’un corps rigide (distribution de masse continue), la somme
discrète I =
2
∑ii rm
est remplacée par une intégrale. Nous devons faire la
somme des contributions des éléments de masse infinitésimaux dm, donc
chacun apporte la contribution dI = r2 dm au moment d’inertie. L’élément
de masse dm doit être choisi de telle sorte que toutes les particules qui le
composent soient situées à la même distance perpendiculairement à l’axe.
Le moment d’inertie du corps solide devient :
I =
dI
∫
=
r2
∫dm
où
r = distance perpendiculaire à un axe

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Exemple
Soit 2 cylindres, les 2 de masse m, de rayon R et de hauteur h. L’un est
creux et toute sa masse est distribuée à la périphérie, l’autre est plein et sa
masse est distribuée uniformément. Calcule leur moment d’inertie
relativement à leur axe de révolution.
Le centre de masse
Un système est un ensemble bien défini de particules qui peuvent ou non
interagir ou être reliées entre elles. Quelle que soit la complexité du
mouvement du système, il existe un seul point, le centre de masse, noté
CM, dont le mouvement de translation caractérise le système dans son
ensemble.
L’existence du CM peut être montrée de la manière suivante.
2 masses m1 et m2 sont reliées par une tige de masse négligeable. Si l’on
applique une force
F
sur la tige en un point quelconque, le système subit
une rotation. Mais, si l’on applique la force au CM, le seul mouvement
observé est une translation (figure c). En ce sens, le système se comporte
comme si toute sa masse était concentrée au CM. On observe que :
l2/ l1 = m1/m2 <=> m1l1 = m2l2 (6)
On peut exprimer la position du CM dans le système de coordonnées
représenté à la figure ci-dessus :
l1 = xcm – x1 et l2 = x2 - xcm (7)
En remplaçant ces valeurs dans l’équation précédente, on obtient
m1(xcm – x1) = m2( x2 - xcm) (8)
ainsi
xcm =
21
2211
mm
xmxm
+
⋅+⋅
(9)
La position du centre de masse est une
moyenne pondérée dans laquelle chaque
coordonnée est multipliée par la masse
située en ce point. Le même
raisonnement s’applique à un nombre quelconque de particules ainsi qu’à
un système à 3 dimensions.

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Pour N particules, nous avons :
cm
r
=
∑
∑
=
=
N
i
i
N
i
ii
m
rm
1
1
(10)
où
m =
∑
=
N
i
i
m
1
= masse totale du système (11)
Le CM d’un corps symétrique homogène est toujours situé sur un axe ou
un plan de symétrie. Le CM d’une sphère homogène, d’un disque
homogène ou d’une tige homogène est situé en leur centre géométrique.
Dans le cas d’un corps solide composé de plusieurs morceaux symétriques,
on peut déterminer la position du CM du corps en considérant chaque
morceau comme une masse ponctuelle possédant la masse du morceau et
située au CM du morceau. Le problème revient à déterminer la position du
CM d’un ensemble de masses ponctuelles. Soit un système S de masse m
formé de 2 sous-systèmes S1 et S2 de masse m1 et m2 respectivement (m =
m1 + m2). Soit
1G
r
et
2G
r
les positions respectives des centres de masse G1
et G2 des sous-systèmes S1 et S2. La position du CM de S est donnée par :
21
2211
mm
rmrm
rGG
G+
+
=
Finalement, si l’origine du référentiel est choisie sur le CM, on a
r
G=
0
donc
0
1
=⋅
∑
=
i
N
i
irm
Exemple : détection d’exoplanètes, exoplanète autour d’alpha du centaure
Exemple :
Une tige mince de longueur 3L forme un coude à angle droit à une distance
L d’une de ses extrémités. Déterminer la position du CM par rapport au
coude (origine O du système d’axe Oxy) . On donne L= 1,2 m.
Le mouvement du CM
Quelle est la validité de la 2ème loi de Newton ? Nous avons déjà vu
précédemment qu’elle est valable pour des PM. L’est-elle également pour
un solide ?
Dérivons l’expression (10) 1 fois :
i
iCM vm
M
v∑ = 1
(12)
Nous pouvons réécrire cette équation en considérant la quantité de
mouvement totale
P
:
P
= M .
CM
v
=
...
2211 ++ vmvm 
(13)

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La quantité de mouvement totale
P
d’un système de particules est
équivalente à celle d’une seule particule de masse M = ∑mi se déplaçant à
la vitesse du centre de masse
CM
v
.
Nous pouvons donc traiter les mouvements de translation d’objets étendus
ou de systèmes de particules comme s’il s’agissait de particules
ponctuelles dont toute la masse serait concentrée au CM.
Dérivons une nouvelle fois (12) :
i
iCM am
M
a∑ = 1
(14)
Il s’agit de l’expression donnant l’accélération du CM
et
M
i
iCM ama ∑
=
=
i
F
∑
(15)
où
i
F
= force résultante sur la ième particule.
or
i
F
∑
=
ex t
F
∑
+
int
∑F
(16)
et les forces intérieures qui s’exercent entre elles s’annulent 2 à 2 (par la
3ème loi de Newton ou loi de l’action et de la réaction), ne laissant que la
force extérieure résultante
∑
=ex tex t FF
. Nous pouvons donc écrire que la
2ème loi de Newton pour un système de particules s’écrit :
CMex t amF 
⋅=
(17)
Le centre de masse accélère comme le ferait une particule ponctuelle de
masse m = ∑mi qui serait soumise à la force extérieure résultante.
Théorème du centre de masse (2ème loi de Newton
généralisée à un système)
La somme des forces extérieures appliquées sur un système est égale à la
masse m de ce système multipliée par l’accélération du CM.
CMex t amF 
⋅=
(18)
Exemple :
Si on lance un haltère en lui imprimant une rotation, on peut se rendre
compte qu’un seul point décrit rigoureusement une parabole : c’est le
centre de masse. Les autres points décrivent des trajectoires plus ou moins
compliquées.
La 1ère loi de Newton devient alors :
Si
0 =
ex t
F
, alors
0
=
CM
a
et
=
CM
v
constante (19)
Si la force extérieure résultante sur un système de particules est nulle, la
vitesse du CM reste constante.
Energie cinétique d’un système
L’énergie cinétique d’un système de particules peut en général se diviser
en 2 termes : l’énergie cinétique du CM et l’énergie cinétique par rapport
au CM, dite relative.
Théorème :
L’énergie cinétique d’un système est égale à la somme de l’énergie
cinétique de translation qu’aurait le système si toute sa masse était
concentrée en son centre de masse et de l’énergie cinétique vue du
référentiel du CM :
Ecin =
∑
+
2
*
2
2
1
2
1
iiG vmmv
(20)
où
=
*
i
v
vitesse de la ième particule vue du CM.
G
v
= vitesse du CM