Chapitre 4 : Les mouvements de rotation, les systèmes de particules

OS 4ème
1
Chapitre 4 : Les mouvements de rotation, les systèmes de particules et le centre de masse U
n corps peut être animé d’un mouvement de translation et d’un
mouvement de rotation. Il peut y avoir également une
superposition de ces 2 types de mouvements.
Pour calculer certaines grandeurs importantes, on emploie des notations
différentes selon le type de système. Ainsi, la masse totale s’écrit :
m = ∑mi pour une distribution discrète (i = 1,…..N)
m = ∫dm pour une distribution continue (N à ∞ et mi àdm)
Exemple
Calculer la masse totale d’une sphère de rayon R
dont la distribution de masse est donnée par sa
masse volumique ρ(r) :
ρ (r ) =
C
r2
Définition : mouvement de translation
Nous avons à faire à un mouvement de translation
lorsqu’une ligne joignant 2 points quelconques du corps
reste parallèle à elle-même.
Nous parlerons de mouvement de rotation dans le cas
contraire.
Ces mouvements s’appliquent à des solides. Mais, au fait,
qu’est-ce qu’un solide ?
Définition : corps solide
Un corps est dit solide lorsque les positions des points
matériels le constituant sont fixes les unes par rapport aux
autres.
On peut distinguer 2 types de systèmes de points
matériels :
1.- Un système dont la distribution des PM est discrète : on peut les
compter, les dénombrer. C’est le cas par exemple de l’étude de 2 corps en
interaction, chaque corps étant approximable par un PM.
2.- Un système dont la distribution des PM est continue : on ne peut plus
compter les PM, car il y en a une infinité. C’est le cas d’un solide non
approximable en tant que PM.
2012-2013
Rotations
Energie de rotation et moment d’inertie
Supposons qu’un corps solide soit en rotation autour d’un axe fixe. Toutes
les particules qui le composent ne vont pas à la même vitesse : plus une
particule se situe loin de l’axe, plus elle se déplace rapidement. En
revanche, par rapport à l’axe, toutes les particules tournent du même angle
pendant un intervalle de temps donné. On caractérise la rotation du solide
par sa vitesse angulaire ω : tous les points du solide ont la même vitesse
PG
OS 4ème
2
angulaire ω. Il est bien clair qu’un corps en rotation possède une énergie
cinétique liée à la rotation. L’énergie cinétique du corps est la somme de
l’énergie cinétique de chaque PM de masse mi :
Définition : moment d’inertie
Le moment d’inertie I d’un corps autour d’un axe est défini par :
I=
1
Ecin = ∑ mi vi2
2
(1)
où
∑m r
2
i i
[kg.m2]
(4)
ri = distance du PM de masse mi à l’axe
Puisque la vitesse angulaire caractérise
la rotation et est la même pour chaque
PM, il convient d’exprimer les vitesses
vi en fonction de cette vitesse angulaire.
v i = ω ri
Si on choisit l’axe Oz // à l’axe fixe de rotation (ce qu’on fait souvent par
convention), le moment d’inertie vaut :
I=
(2)
∑ m (x
i
2
i
+ yi
2
)
(5)
où
Le moment d’inertie tient compte de la distribution de masse autour de
ri = distance du PM de masse mi
à l’axe de rotation
l’axe : chaque masse est pondérée par le facteur ri , si bien que 2 corps
peuvent avoir la même masse, la même géométrie, mais les moments
d’inertie par rapport à l’axe peuvent être différents.
Notons qu’un corps, s’il ne possède qu’une masse, peut posséder une
infinité de moments d’inertie puisqu’on est libre de choisir autant d’axes
que l’on désire. On doit donc toujours préciser par rapport à quel axe
on calcule I.
Donc
2
1
1
1
2
Ecin = ∑ mi (ω ⋅ ri ) = (∑ mi ri ) ω 2 = Iω 2
2
2
2
Il apparaît un terme entre parenthèses (
∑m r
i i
2
)
(3)
qui est lié non
seulement à la masse du corps solide, mais plus précisément à une
distribution de sa masse. Ce terme est appelé moment d’inertie I du corps
relativement à l’axe de rotation.
L’inertie d’un corps est la résistance qu’il oppose au changement dans
l’état de son mouvement. Cette résistance est physiquement représentée par
la masse inertielle. Cette même propriété de la matière intervient comme
une résistance au changement dans le mouvement de rotation ; elle est
alors appelée inertie de rotation. Cette résistance rotationnelle dépend à la
fois de la quantité de masse et de sa répartition autour de l’axe de rotation.
2
Moments d’inertie des corps rigides
Dans le cas d’un corps rigide (distribution de masse continue), la somme
discrète I =
∑m r
2
∫ dI
∫ r dm
i i
est remplacée par une intégrale. Nous devons faire la
somme des contributions des éléments de masse infinitésimaux dm, donc
chacun apporte la contribution dI = r2 dm au moment d’inertie. L’élément
de masse dm doit être choisi de telle sorte que toutes les particules qui le
composent soient situées à la même distance perpendiculairement à l’axe.
Le moment d’inertie du corps solide devient :
I=
=
2
où
r = distance perpendiculaire à un axe
2012-2013
PG
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3
Exemple
Soit 2 cylindres, les 2 de masse m, de rayon R et de hauteur h. L’un est
creux et toute sa masse est distribuée à la périphérie, l’autre est plein et sa
masse est distribuée uniformément. Calcule leur moment d’inertie
relativement à leur axe de révolution.
2 masses m1 et m2 sont reliées par une tige de masse négligeable. Si l’on

applique une force F sur la tige en un point quelconque, le système subit
une rotation. Mais, si l’on applique la force au CM, le seul mouvement
observé est une translation (figure c). En ce sens, le système se comporte
comme si toute sa masse était concentrée au CM. On observe que :
l2/ l1 = m1/m2
<=>
m 1l 1 = m 2l 2
(6)
On peut exprimer la position du CM dans le système de coordonnées
représenté à la figure ci-dessus :
l1 = xcm – x1 et l2 = x2 - xcm
(7)
En remplaçant ces valeurs dans l’équation précédente, on obtient
m1(xcm – x1) = m2( x2 - xcm)
(8)
ainsi
xcm =
Le centre de masse
Un système est un ensemble bien défini de particules qui peuvent ou non
interagir ou être reliées entre elles. Quelle que soit la complexité du
mouvement du système, il existe un seul point, le centre de masse, noté
CM, dont le mouvement de translation caractérise le système dans son
ensemble.
L’existence du CM peut être montrée de la manière suivante.
2012-2013
m1 ⋅ x1 + m2 ⋅ x2
m1 + m2
(9)
La position du centre de masse est une
moyenne pondérée dans laquelle chaque
coordonnée est multipliée par la masse
située en ce point. Le même
raisonnement s’applique à un nombre quelconque de particules ainsi qu’à
un système à 3 dimensions.
PG
OS 4ème
4
Pour N particules, nous avons :
N
Exemple :
Une tige mince de longueur 3L forme un coude à angle droit à une distance
L d’une de ses extrémités. Déterminer la position du CM par rapport au
coude (origine O du système d’axe Oxy) . On donne L= 1,2 m.

∑m r
i i

rcm =
i =1
N
(10)
∑m
i
i =1
où
N
m=
∑ m = masse totale du système
i
(11)
i =1
Le CM d’un corps symétrique homogène est toujours situé sur un axe ou
un plan de symétrie. Le CM d’une sphère homogène, d’un disque
homogène ou d’une tige homogène est situé en leur centre géométrique.
Dans le cas d’un corps solide composé de plusieurs morceaux symétriques,
on peut déterminer la position du CM du corps en considérant chaque
morceau comme une masse ponctuelle possédant la masse du morceau et
située au CM du morceau. Le problème revient à déterminer la position du
CM d’un ensemble de masses ponctuelles. Soit un système S de masse m
formé de 2 sous-systèmes S1 et S2 de masse m1 et m2 respectivement (m =


m1 + m2). Soit rG1 et rG 2 les positions respectives des centres de masse G1
et G2 des sous-systèmes S1 et S2. La position du CM de S est donnée par :


m1 rG1 + m 2 rG 2

rG =
m1 + m 2


Finalement, si l’origine du référentiel est choisie sur le CM, on a rG = 0
 
m
⋅
r
∑ i i =0
N
donc
i =1
Exemple : détection d’exoplanètes, exoplanète autour d’alpha du centaure
Le mouvement du CM
Quelle est la validité de la 2ème loi de Newton ? Nous avons déjà vu
précédemment qu’elle est valable pour des PM. L’est-elle également pour
un solide ?
Dérivons l’expression (10) 1 fois :

1
vCM =
M

∑m v
i
i
Nous pouvons réécrire cette équation en considérant la quantité de

mouvement totale P :




P = M . v CM = m1v 1 +m2v2 + ...
2012-2013
(12)
(13)
PG
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
La quantité de mouvement totale P d’un système de particules est
équivalente à celle d’une seule particule de masse M = ∑mi se déplaçant à

la vitesse du centre de masse vCM .
Nous pouvons donc traiter les mouvements de translation d’objets étendus
ou de systèmes de particules comme s’il s’agissait de particules
ponctuelles dont toute la masse serait concentrée au CM.
Dérivons une nouvelle fois (12) :

1
aCM =
M

∑m a
i
(14)
i


∑ mi a i =

F
∑ i
où

Fi = force résultante sur la ième particule.
or

F
∑ i=


+
F
F
∑ ext ∑ int

Exemple :
Si on lance un haltère en lui imprimant une rotation, on peut se rendre
compte qu’un seul point décrit rigoureusement une parabole : c’est le
centre de masse. Les autres points décrivent des trajectoires plus ou moins
compliquées.





Si Fext = 0 , alors aCM = 0 et vCM = constante (19)
(16)

F
∑ ext . Nous pouvons donc écrire que la
(17)
Energie cinétique d’un système
L’énergie cinétique d’un système de particules peut en général se diviser
en 2 termes : l’énergie cinétique du CM et l’énergie cinétique par rapport
au CM, dite relative.
Théorème :
L’énergie cinétique d’un système est égale à la somme de l’énergie
cinétique de translation qu’aurait le système si toute sa masse était
concentrée en son centre de masse et de l’énergie cinétique vue du
référentiel du CM :
Le centre de masse accélère comme le ferait une particule ponctuelle de
masse m = ∑mi qui serait soumise à la force extérieure résultante.
Ecin =
où
2012-2013
(18)
Si la force extérieure résultante sur un système de particules est nulle, la
vitesse du CM reste constante.
2ème loi de Newton pour un système de particules s’écrit :


Fext = m ⋅ aCM


Fext = m ⋅ aCM
(15)
et les forces intérieures qui s’exercent entre elles s’annulent 2 à 2 (par la
3ème loi de Newton ou loi de l’action et de la réaction), ne laissant que la
force extérieure résultante Fext =
généralisée à un système)
La somme des forces extérieures appliquées sur un système est égale à la
masse m de ce système multipliée par l’accélération du CM.
La 1ère loi de Newton devient alors :
Il s’agit de l’expression donnant l’accélération du CM
et
M aCM =
Théorème du centre de masse (2ème loi de Newton
2
1
1
2
mvG + ∑ m i vi*
2
2
(20)
*
vi = vitesse de la ième particule vue du CM.

vG = vitesse du CM
PG
OS 4ème
6
Développement :
Ecin =
1
1
2
mvG + I Gω 2
2
2
(22)
Précisons que dans ce cas, l’énergie de rotation est calculée par rapport à
l’axe passant par le CM.
Exemple :
Déterminer l’énergie cinétique d’un cylindre plein de masse m qui roule à

la vitesse v sur un plan.
Compte tenu de la définition du moment d’inertie, l’énergie cinétique du
corps en rotation ( vG = 0), devient :
Ecin =
1
1
(mi ri *2 )ω 2 = Iω 2
∑
2
2
(21)
Pour une même vitesse angulaire, l’énergie de rotation d’un corps est
d’autant plus grande que son moment d’inertie est grand. Il est intéressant
de comparer cette énergie cinétique de rotation avec l’énergie de
translation d’un PM de masse m.
Ecin
Rotation
Translation
1 2
Iω
2
1 2
mv
2
La formulation est la même : la vitesse angulaire ω est pour les rotations ce
que la vitesse v est pour les translations. De même, le moment d’inertie est
pour les rotations ce que la masse est pour les translations.
Si le corps solide possède, en plus du mouvement de rotation, un
mouvement de translation, nous savons que l’Ecin totale est égale à la
somme de l’énergie cinétique de translation du CM auquel on attribue la
masse du corps et d’énergie cinétique de rotation autour du CM :
2012-2013
Equation fondamentale de la dynamique des
systèmes en rotation
Accélération angulaire
Dans un mouvement en rotation uniforme, la vitesse d’un PM à une
distance R de l’axe de rotation s’exprime par :
v=ωR
(23)
où
v = vitesse linéaire [m/s]
ω = vitesse angulaire [rad/s]
PG
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7
En dérivant (23), nous obtenons :
soit
avec
dv
dω
=R
dt
dt
(24)
at = Rα
(25)
at = accélération tangentielle
L’accélération centripète ac vaut quant à elle :
v2
ac =
R
(26)
Le moment de force, noté MF, est défini par le produit de la distance r entre
le point d’application de la force et le point pivot P:
MF = r · F
Elle est différente de zéro même si la vitesse en norme est constante.

En résumé, si la direction et le module de v varient tous les deux, les 2
accélérations at et ac existent et sont perpendiculaires.
Moment de force
Lorsqu’on applique la 2ème loi de Newton à la rotation d’un corps, on
simplifie considérablement l’étude du mouvement si l’on fait intervenir
une grandeur appelée moment de force. Nous allons voir que le moment de
force est l’analogue d’une force dans le cas de la rotation : la force produit
l’accélération linéaire, le moment de force produit une accélération
angulaire.
Archimède est certainement l’un des scientifiques les plus célèbres de la
Grèce antique. Il va utiliser le « bras de levier » pour soulever des masses
importantes. Pour prouver au roi de Syracuse que l’effet d’un bras de levier
pouvait être considérable, Archimède lui propose de déplacer, seul, une
galère remplie. La légende dit qu’il a réalisé cet exploit d’une main et
assis !
2012-2013
⊥
Son unité est le [m.N] (qui se lit « mètre newton ») et elle mesure l’effet de
rotation que la force provoque sur la barre. La distance dont il est question
est appelée « bras de levier » ; elle se mesure depuis l’axe sur une
perpendiculaire à la droite d’action de la force.
Le moment de force est en fait un produit vectoriel :

Le vecteur moment de force M s’écrit :
  
M =r×F
où

 

r × F = produit vectoriel du vecteur position r et de la force F
Par propriété du produit vectoriel, nous pouvons noter :
M = r . F . sinθ
où


θ = angle entre les vecteurs F et r
PG
OS 4ème
8
Soit un corps rigide tournant autour d’un axe fixe. Soit mi, la masse de la
ième particule.

Le moment de force M pour une masse
ponctuelle mi de ce corps, forcée de se
déplacer sur un cercle de rayon ri, sous
l’influence d’une force Fi, s’écrit :
  
M i = ri × Fi
où
(27)

 
r × F = produit vectoriel du vecteur position et de la force F
Par propriété du produit vectoriel, nous pouvons noter :
où
Mi = Fi . ri . sinθ
(28)



L’équation (31) a la même forme que ∑ F = ma . Ainsi, le moment de
force est à la rotation ce que la force est à la translation : il crée une
accélération angulaire et elle engendre une accélération linéaire sur les
particules du corps.
Exemple :
Une poulie en forme de disque a une
masse M = 4 kg et un rayon r = 0,5
m. Elle tourne librement sur un axe
horizontal. Un bloc de masse m = 2
kg est suspendu par une ficelle qui
passe sur la poulie sans glisser.
Quelle est la vitesse angulaire de la
poulie 3s après que l’on ait lâché le
bloc ?
Déterminer le module de la vitesse du bloc lorsqu’il est tombé de 1,6 m.
On suppose que le système est initialement au repos.

θ = angle entre les vecteurs F et r
Seule la composante Fit de la force, tangentielle à la trajectoire circulaire,
va accélérer la particule.
Par la 2ème loi de Newton et (25), nous pouvons écrire :
Fit = mi ait = mi . ri . α
(29)
Et le moment de force Mi sur la particule par rapport à l’axe vaut :
Mi = ri . Fit = mi . ri2 . α
(30)
En additionnant les moments de force de toutes les particules :
M=Iα
(31)
où
M = ∑Mi = moment de force extérieur résultant sur le corps
I = moment d’inertie par rapport à l’axe donné
2012-2013
PG
de rotation quelconque à partir de l’inertie I CM du corps par rapport à un axe parallèle
passant par le centre de masse CM du corps et de la distance h entre les deux axes :
mh 2
I
OS 4ème
où
Roulement sans glissement
Un exemple courant de rotation est celui d’une balle ou d’une roue qui
roule sur une surface.
Soit une roue de rayon R en train de rouler sans glisser. Lorsqu’elle
effectue un tour, elle couvre une distance égale à sa circonférence pendant
un temps égal à une période T. Le module de la vitesse de son centre est
donc
vc = (2πR/T) = ωR, et ac = R ω = Rα
(condition de roulement sans glissement)
Question :
Quelle est la vitesse au point le plus haut de la roue ?
Quelle est la vitesse au point le plus bas de la roue ?
2012-2013
9
h
I : Inertie de l’objet en rotation ( kg m )
Théorème
de en
Huygens-Steiner
CM
m
: Masse de l’objet
rotation (kg)
m *
h : Distance entre l’axe de rotation et un axe parallèle
par lede
centre
de masse
CM (m) un moment d’inertie noté ICM
Soitpassant
un corps
masse
m possédant
axe I, par
relativement
à un axe
passantautour
par son
CM.
I CM
: Inertie de l’objet
en rotation
d’un
axe Le moment d’inertie
axe
centre
passant
parautre
le centre
de masse au
CMpremier
et parallèle
à à une distance d de cet
rapport
à un
axe parallèle
et situé
masse
rotation
2
de rotation
axe,l’axe
est donné
par : ( kg m )
2
En d’autres mots,I on
peut
visualiser
le théorème des axes parallèles
= ICM
+ mh
(34)grâce au schéma cidessous :
I
(32)
où ω est à la vitesse angulaire de la roue.
Or, la vitesse tangentielle vt d’un point de la circonférence par rapport
au centre vaut également ωR par propriété.
Le roulement est la combinaison d’une translation du centre et d’une
rotation autour du centre. La vitesse d’un point quelconque de la
circonférence est égale à la somme vectorielle :
  
v = vc + vt
I CM
2
(33)
h
=
CM
m *
axe
centre
masse
mh2
CM
*
I CM
+
h
m
axe
rotation
CM
m *
axe
rotation
axe
centre
masse
Preuve : (deux dimensions)
Développement :
Considérons un corps dans le plan xy de
densité surfacique
quelconque et de
masse m. Situons l’origine du système
d’axe xy à l’endroit où le centre de masse
CM est situé. Faisons tourner le corps
autour d’un axe A parallèle à l’axe z situé
à la coordonnée x A et y A par rapport à
notre système d’axe xy. Définissons la
distance h entre l’axe de rotation et l’axe
passant par le centre de masse CM :
h
ym
yA
*
CM
xA
2
yA
A
h
xA
xm
2
(par Pythagore)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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PG
OS 4ème
10
Série d’exercices
Exemple
Calculer le moment d’inertie I d’un cadre rectangulaire de masse m, de
largeur b et de longueur L par rapport à l’axe passant par la bordure de
largeur b.
Moment d’inertie
1.- Détermine le moment d’inertie d’une tige mince homogène de masse M
et de longueur L par rapport à un axe perpendiculaire à elle et passant par
l’une des extrémités.
2.- Détermine le moment d’inertie d’une sphère pleine homogène de masse
M et de rayon R par rapport à un axe passant par son centre.
Equilibre statique
Quelles sont les conditions d’un équilibre statique ?
Il faut que :
 
F
∑ i =0
et
 
M
∑ i =0
(35)
ère
En effet, la 1 condition ne suffit pas, car lorsque 2 forces de même
module et de directions opposées agissent sur un objet, celui-ci va tourner
à moins que les lignes d’action des forces ne soient confondues.

F
Puisque le corps est en équilibre statique, son
accélération angulaire est nulle autour de
n’importe
quel point. Pour cette
raison, on peut calculer le moment de
force
par rapport à n’importe quel point.
Ainsi,
suivant le nombre d’inconnues, il faudra
utiliser le
nombre d’équations adéquat. Finalement,
pour
déterminer les signes des différents
moments
de
force, il est commode d’employer une
convention qui consiste à
désigner comme positif le sens horaire ou le

sens antihoraire.
−F
2012-2013
3.- Dans une molécule d’eau, la distance entre les atomes
d’hydrogène et d’oxygène est 9 . 10-11 m et les masses sont
mo = 16 mH et mH = 1,67 . 10-27 kg. L’angle entre les 2
liaisons est de 105°.
Trouve le moment d’inertie de la molécule
par rapport à :
a.- un axe orienté selon l’une des 2 liaisons H-O
b.- un axe passant par l’atome d’oxygène et
parallèle à la droite joignant les 2 atomes d’H.
4.- Aux extrémités d’une tige homogène de 6 kg, dont la longueur est de
1 m, on colle 2 sphères homogènes pleines de 10 cm de rayon ayant
chacune une masse de 9 kg. On désire calculer le moment d’inertie de
l’haltère ainsi formé par rapport à un axe perpendiculaire à la tige passant
par son centre.
Centre de masse
5.- Les masses et positions de 3 particules dans le plan xy sont les
suivantes : 2 kg en (-2m, 3m) ; 3 kg en (-3m, 4m) et 5 kg en (3m, -1m).
Quelle est la position du CM ?
6.- Où est situé le CM du système Terre-Lune par rapport au centre de la
Terre ?
7.- Un homme de masse m1 = 60 kg se tient à l’arrière d’une barque
immobile de masse m2 = 40 kg et de longueur 3 m. La barque, dont l’avant
PG
OS 4ème
est à 2 m du quai, peut se déplacer librement sur l’eau. Qu’arrive-t-il si
l’homme marche vers l’avant de la barque ?
(traiter la barque comme un objet homogène).
Energie cinétique
8.- Calcule l’énergie cinétique instantanée d’une baguette mince de
longueur L et de masse m en rotation autour d’une extrémité fixe.
L
9.- Un cylindre de rayon r et de masse m tourne autour de son axe à 1200
tours/min.
Calcule la force de freinage (tangentielle) nécessaire pour l’arrêter en
1800 tours (m = 20 kg, r = 0,25 m).
Vitesse et accélération angulaire
10.- Une tige homogène de longueur L et de masse M pivote librement
autour de l’une de ses extrémités
a.- Quelle est l’accélération angulaire de la tige lorsqu’elle fait un angle θ
avec la verticale ?
b.- Quel est le module de l’accélération tangentielle de l’extrémité libre
lorsque la tige est horizontale ?
Indication : Le moment d’inertie d’une tige par rapport à une de ses
extrémités est I = 1/3 M L2
11.- La roue du pédalier d’une bicyclette
possède 20 dents. Elle est reliée par une chaîne à
un engrenage arrière de 12 dents, lui-même
solidaire de la roue arrière de 40 cm de rayon.
a) Sachant que la roue du pédalier a un rayon de
14 cm, calculez le rayon de l’engrenage arrière.
b) Sachant que les pédales sont à 25 cm de l’axe de rotation du pédalier,
déterminez la vitesse linéaire qu’elles doivent avoir pour que la bicyclette
roule sans glisser à 10 m/s.
2012-2013
11
12.- Un cylindre homogène de rayon R = 20 cm et d’une masse de 12 kg
roule sans glisser vers le bas d’un plan incliné à 50° par rapport à
Situation 3 : Un cylindre qui roule. Un cylindre
l’horizontale.
Situation 3 : Un cylindre qui roule. Un cylindre
Vue en
(R = 20
cm, m angulaire
= 12 du
kg,cylindre ainsi que le
a) homogène
On désire déterminer
l’accélération
axe
Vue en
homogène
(R
=
20
cm,
m
=
12
kg,
2
2
perspective
I ½2 mRde frottement
0,24 kg2 mstatique
) rouleminimal
sans glisser
versexister
le
coefficient
qui doit
entre le cylindre
axe perspective
I et ½
mR
0
,
24
kg
m
)
roule
o sans glisser vers le
le
basplan.
d’un plan incliné oà 50 par rapport à l’horizontale
basb)d’un
plan
incliné
à 50l’énergie
par On
rapport
à l’horizontale
On désire
calculer
cinétique
acquise par
(voir
schéma
ci-contre).
désire
déterminer
(a) le cylindre lorsqu’il
(voir
schéma
ci-contre).
On
désire
déterminer
(a)
roule
à
partir
du
repos
sur
une
distance
de
1,6
m
mesurée
le long du plan
l’accélération angulaire du cylindre ainsi que (b) le
l’accélération
angulaire
du
cylindre
ainsi
que
(b)
le
Rotation liée avec axe de rotation en mouvement
incliné.
coefficient de frottement statique minimal s qui doitRotation liée avec axe desitué
au CM
rotation
en mouvement
coefficient
frottement
statique
minimal
c) L’énergie
mécanique
est-elle
conservées ?qui doit
situé au CM
existerde
entre
le cylindre
et le plan.
exister entre le cylindre et le plan.
Schéma vue de côté :
Schéma des forces :
Décomposition des forces :
Schéma vue de côté :
Schéma des forces :
Décomposition
des forces :
z rad
y
z rad
f
z
axe
y
f
n
z
axe
axe
n
ym
n
axe
n
ym
M g cos
f
M g sin
cos
a
M
g
f
x
m
sin
M
g
mag
xm
x
mg
Mg
50
x
Mg
50
50
50
Appliquons la 2ième loi de Newton sur le cylindre de masse m afin d’obtenir deux équations
13.-sachant
Calculez
le
module
de l’accélération
linéaire
du m
centre
de massedeux
des équations
Appliquons
laque
2ième
sur le cylindre
de masse
afin d’obtenir
a y loi
0de: Newton
corps
suivants
lorsqu’ils
roulent
sans
glisser
sur
un
plan
incliné
d’un
angle
sachant que a y 0 :
θ par rapport
F ma à l’horizontale. Toutes
mg nles corps
f maont une masse m et un rayon
mg n f ma
R.F ma
a) un
cylindre
mg sin
f ma x
Selon
l’axe xplein
:
(1)
b)
un
cylindre
mg sin
f ma x
Selon l’axe x : creux
(1)
c) une sphère pleine
n mg cos
0
Selonsphère
l’axe ycreuse
:
(2)
d) une
(coquille sphérique)
n mg cos
0
Selon l’axe y :
(2)
Appliquons la 2ième loi de Newton version rotation sur le cylindre de moment d’inertie I :
Appliquons la 2ième loi de Newton version rotation sur le cylindre de moment d’inertie I :
I z
I z
z
mg
n
f
I
I
z
z
mg
n
f
z
Selon l’axe z :
Selon l’axe z :
0
rmg mg sin
0 mg sin
mg
mg
mg
0
r
mg
sin
0
mg
sin
mg
mg
mg
mg
0
rn n sin
R n sin 180
n
n
n
PG
0
rn n sin
R n sin 180
n
n
n
Rf
r
f
sin
R
f
sin
90
f
f
f
f
Rf
r f f sin
R f sin 90
f
f
f
ième
OS 4ème
Equilibre statique
12

14.- Une échelle de longueur L et de poids P est
posée sur un plancher rugueux et contre un mur
sans frottement. Le coefficient de frottement
statique du plancher est µ s = 0.6
a.- Détermine l’angle maximal θ entre le mur et
l’échelle pour que l’échelle ne glisse pas
b.- Détermine le module de la force exercée par
le mur pour cette valeur de θ.
17.- Une personne tient une rame à 0,4 m de son point de fixation sur la
barque. Si la rame touche l’eau à une distance moyenne de 1,40 m de
l’attache, que vaut l’avantage mécanique?
15.- Une noix est serrée entre les mâchoires d’un cassenoix. Les distances de la noix à l’axe et de l’axe aux
poignées sont égales à 3 cm et 15 cm. La noix se brise si
l’intensité des forces qui la compriment dépasse 400 N.
Avec quelle intensité faut-il presser l’une contre l’autre
les poignées du casse-noix pour casser la noix?
16.- La figure représente un avant-bras, sous la forme d’un modèle
constitué d’une barre articulée autour d’un pivot (articulation du coude) et
soutenue par un câble (biceps). Le poids de l’avant-bras (w sur la figure)
est de 12 N et on peut considérer que ce poids est concentré au point
indiqué. Trouver la tension T exercée par le biceps et la force E exercée
par l’articulation du coude.
2012-2013
PG