Groupes et Applications

Licence de Math´ematiques
Module MA5.04
ALGEBRE : Groupes et Applications
Jean-Fran¸cois Havet
Universit´e d’Orl´eans, D´epartement de Math´ematiques
B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France
Septembre 2003

Table des mati`eres
Chapitre I: Rappels et Compl´ements ensemblistes 1
1 Th´eorie axiomatique des ensembles 1
2 Relations et applications 3
2.1. G´en´eralit´es ................................... 3
2.2. Applications injectives et surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Loi de composition interne ........................... 6
3 Relation d’´equivalence 7
3.1. Ensemble quotient ............................... 7
3.2. Th´eor`eme de factorisation ........................... 7
3.3. Compatibilit´e avec une op´eration interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Relation d’ordre 9
4.1. Ensemble ordonn´e ................................ 9
4.2. Ensemble inductif ................................ 10
5 Axiome du choix et Axiome de Zorn 10
5.1. Axiome du choix ................................ 10
5.2. Axiome de Zorn ................................. 11
6 L’ensemble des entiers naturels 12
6.1. Construction de N............................... 12
6.2. Op´erations dans N............................... 13
6.3. Relation d’ordre sur N............................. 13
7 Cardinaux 14
7.1. Ensembles ´equipotents ............................. 14
7.2. Comparaison de deux cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.3. Ensembles d´enombrables ............................ 16
Chapitre II: Groupes et sous-groupes 21
1 G´en´eralit´es 21
1.1. Structure de groupe ............................... 21
1.2. Homomorphismes de groupes ......................... 22
1.3. Isomorphismes de groupes ........................... 23
1.4. Automorphismes de groupes .......................... 24
1.5. Th´eor`eme de sym´etrisation ........................... 25
i

2 Sous-groupes 27
2.1. La notion de sous-groupe ........................... 27
2.2. Sous-groupes et homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Sous-groupe engendr´e par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Ordre d’un ´el´ement ............................... 30
Chapitre III: Groupes de permutations 33
1 Actions de groupe 33
1.1. Groupe op´erant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2. Classes d’´equivalence d´efinies par un sous-groupe .............. 35
1.3. “Equations aux classes” ............................ 36
1.4. p-groupes .................................... 37
2 Groupes Quotients 38
2.1. Sous-groupes distingu´es ............................. 38
2.2. Th´eor`eme de factorisation pour les homomorphismes de groupes ...... 40
2.3. Th´eor`eme d’isomorphisme d’Emmy Nœther ................. 41
3 Groupe sym´etrique Sn42
3.1. Cycles ...................................... 42
3.2. G´en´erateurs du groupe Sn........................... 44
3.3. Signature d’une permutation .......................... 45
Chapitre IV: Th´eor`emes de structures 47
1 Groupes cycliques 47
1.1. Structure des groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2. Th´eor`eme chinois ................................ 48
1.3. Indicateur d’Euler ............................... 49
2 Produits direct et semi-direct 51
2.1. Produit direct .................................. 51
2.2. Produit semi-direct ............................... 52
3 Th´eor`emes de Sylow 54
3.1. Sous-groupes de Sylow ............................. 54
3.2. Premier th´eor`eme de Sylow .......................... 55
3.3. Autres th´eor`emes de Sylow ........................... 56
4 Groupes ab´eliens finis 58
4.1. D´ecomposition cyclique canonique d’un groupe ab´elien ........... 58
4.2. Composantes primaires ............................. 60
ii

Index 63
iii

iv