A13-1- a) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la

A13-1- a) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la tension redressée "simple alternance".
On donne : ve(t) = Vm sin(2πFt ) avec
V
m
= 240 2
V et F = 50 Hz
ve
vs
Vm
vs(t)
t
i
R
10Ω
b) En déduire la puissance Pu dissipée dans la charge R (on suppose la diode parfaite)
c) En réalité, il existe une chute de tension dans la diode telle que : vd = Vd + r.i, avec r = 0,05 Ω et
Vd = 0,7 V. Calculer la puissance perdue Pd dans la diode par effet Joule.
A13-2- Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la fonction en dents de scie suivante:
A13-3- Un circuit d'alimentation débite un courant formé de créneaux rectangulaires i(t) représenté
ci-dessous, sous une tension alternative U = Um.sinωt .
1°) Calculer: a) la valeur efficace de i(t) en fonction de Ic . b) la puissance apparente S fournie. c) la
puissance active P. d) le facteur de puissance F = P/S.
2°) Mêmes questions quand le courant i(t ) est déphasé d'un angle ϕ par rapport à la tension u(t)
(voir figure).
G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/1
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ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011

A13-4- On relève les oscillogrammes suivants. Remplir les tableaux ci-dessous par les valeurs
numériques (approchées) qui se rapportent à ces signaux en précisant les unités.
a)
paramètre symbole valeurs A valeurs B unité
période T
pulsation ω
fréquence F
amplitude V
tension crête à crête Vpp
valeur efficace Vac
décalage horaire ∆ t 0
phase (préciser pour B : retard ou avance ?) ϕ0 degré
b)
paramètre symbole valeurs A unité
période T
fréquence F
rapport cyclique α
tension mini Vmin 0 V
tension maxi Vmax
valeur moyenne Vdc
vleur efficace vraie Vac+dc
vleur efficace de la composante alternative Vac
G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/2
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REPONSES
A13-1- a) Soit :
ω = 2 π F =
2 π
T
. On remarque que vs(t ) est de période T et telle que pour
0 < t <
T
2
: v
s
( t ) = v
e(
t )
et pour
T
2
< t < T : v
s
( t ) = 0
.
d'où : valeur moyenne valeur efficace
V
s
=
1
T
V
m
sin ω t dt
0
T / 2
∫
V
s
eff
=
1
T
V
m
sin ω t
( )
2
dt
0
T / 2
∫
soit, après changement de variable t → x = ωt ; T → 2π (facultatif, mais simplifie les calculs !) :
V
s
=
1
2 π
V
m
sin x dx
0
π
∫
V
s
eff
=
1
2 π
V
m
sin x
( )
2
dx
0
π
∫
calcul des primitives : (NB :
sin
2
x =
1 − cos2 x
2
)
V
s
=
V
m
2 π−
cos x
[ ]
0
π
V
s
eff
= V
m
1
2 π
1
2
x −
1
2sin2
x
0
π
soit numériquement :
V
s
=
V
m
2 π−
(cos π − cos0)
( )
V
s
=
V
m
2 π−
( − 1 − 1)
( )
V
s
=
V
m
π=
108 V
V
s
eff
= V
m
1
2 π
1
2
π−
1
2sin2
π− 0 +
1
2sin0
V
s
eff
= V
m
1
2 π
1
2
π
V
s
eff
=
V
m
2
≈ 170 V
b) Par définition,
P
u
=
1
T
v
s
( t ). i ( t ) dt
0
T
∫
=
1
T
v
s
2
R
dt
0
T
∫
=
V
seff
2
R
= 2,88 kW
c)
P
d
=
1
T
v
d
( t ). i ( t ). dt
0
T
∫
=
1
T
V
d
+ ri( t )
( )
. i ( t ). dt
0
T
∫
= V
d
1
T
i ( t ). dt
0
T
∫
+ r
1
Ti
2
( t ). dt
0
T
∫
⇒ P
d
= V
d
.I + rI
eff
2
Or,
i ( t ) =
v
s
( t )
R
⇒
I =
V
s
R
Ieff =
V
seff
R
⇒ P
d
= V
d
.
V
s
R
+ r
V
seff
2
R
2
= 0,7.108
10
+ 0,05.170
2
10
2
≈ 7,56 + 14,45 ≈ 22 W
A13-2- On calcule tout d'abord l'équation de la rampe passant par zéro :
y ( t ) =
50
2
t = 25 t
. D'où :
Y =
1
225
t dt
0
2
∫
=
25
21 2
t
2
0
2
=
25
44
− 0
( )
= 25
G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/3
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Y
eff
=
1
225
t
( )
2
dt
0
2
∫
=
625
21 3
t
3
0
2
=
625
6(8
− 0) ≈ 28,9
A13-3- 1°)
a) Par calcul d'aire, on trouve :
Ieff
2
=
3 π
4
−
π
4
Ic
2
π=
Ic
2
2
⇒ Ieff =
Ic
2
b)
S = U
eff .Ieff
=
Um
2.Ic 2
=
U
m
.Ic
2
c)
P =
1
T
u( t ). i ( t ) dt
0
T
∫
par définition
P =
1
2 π
U
m
Icsin x . dx − U
m
Icsin x . dx
5 π / 4
7 π / 4
∫
π / 4
3 π / 4
∫
après changement de variable t → x = ωt
P =
U
m
Ic
2 π−
cos x
[ ]
π / 4
3 π / 4
− − cos x
[ ]
5 π / 4
7 π / 4
P =
U
m
Ic
π−
cos x
[ ]
π / 4
3 π / 4
car cos(x+π) = – cosx
P =
U
m
Ic
π−
cos3
π
4
+ cos
π
4
P =
U
m
Ic
π
2
2
+
2
2
= U
m
Ic2
π
d)
F =
P
S
=
U
m
Ic2
π
U
m
.Ic
2
=
2 2
π≈
0,9
2°)
a) Idem 1°) :
Ieff =
Ic
2
(aires identiques, bien que translatées de ϕ)
b) Idem 1°) :
S = U
eff .Ieff
=
Um
2.Ic 2
=
U
m
.Ic
2
c)
P =
1
2 π
U
m
Icsin x . dx − U
m
Icsin x . dx
5 π / 4 + ϕ
7 π / 4 + ϕ
∫
π / 4 + ϕ
3 π / 4 + ϕ
∫
P =
U
m
Ic
π−
cos x
[ ]
π / 4 + ϕ
3 π / 4 + ϕ
P =
U
m
Ic
π−
cos 3
π
4
+ ϕ + cos
π
4
+ ϕ
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
P =
U
m
Ic
π−
cos3
π
4cos
ϕ + sin3
π
4sin
ϕ + cos
π
4cos
ϕ − sin
π
4sin
ϕ
P =
U
m
Ic
π
2
2cos
ϕ +
2
2sin
ϕ +
2
2cos
ϕ −
2
2sin
ϕ
P = U
m
Ic2
π
cos ϕ
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d)
F =
P
S
=
U
m
Ic2
π
cos ϕ
Um .Ic
2
=
2 2
π
cos ϕ ≈ 0,9cos ϕ
A13-4-
a)
paramètre symbole valeurs A valeurs B unité
période T 500 500 µs
pulsation ω = 2π/Τ 12560 12560 rad/s
fréquence F = 1/T 2000 2000 Hz
amplitude V 2 1,6 V
tension crête à crête Vpp = 2xV 4 3,2 V
valeur efficace Vac = V/ √2 1,4 1,1 V
décalage horaire ∆τ 0 80 µs
phase (B : retard par rapport à A) ϕ = −360 ∆τ/Τ 0 -57,6 degré
b)
paramètre symbole valeurs A unité
période T 25 ms
fréquence F 40 Hz
rapport cyclique α80% %
tension mini Vmin 0 V
tension maxi Vmax 5 V
valeur moyenne Vdc 4 V
vleur efficace vraie Vac+dc 4,47 V
vleur efficace de la composante alternative Vac 2,24 V
G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/5
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