Calcul différentiel - Licence d`Ingénierie Mathématiques

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Universit´e Paul Sabatier
Calcul Diff´erentiel
r´esum´e de cours
Jean-Pierre RAYMOND
Ce texte est un r´esum´e du cours de Calcul Diff´erentiel-´ Equations diff´erentielles (LIM2) de
la Licence de Math´ematiques, option Ing´enierie Math´ematique (24 h de cours).

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Chapitre 1
Applications Diff´erentiables
1.1 Introduction
Un des objectifs du Calcul Diff´erentiel est l’´etude locale des applications. Il fournit aussi des
outils pour l’´etude des probl`emes d’optimisation, des ´equations diff´erentielles, des ´equations
aux d´eriv´ees partielles. Donnons quelques exemples ´el´ementaires dans lesquels intervient le
Calcul Diff´erentiel.
Exemple 1.1.1 Consid´erons l’application fde R2dans R, d´efinie par f(x, y) = x2+ 4y2.
Calculer l’´equation du plan tangent au graphe de fau point (1,1,5).
Exemple 1.1.2 Consid´erons la courbe de R3d´efinie par (cos3t, sin3t, cos 2t)t∈R. Calculer
l’´equation de la tangente, et du plan normal en un point de la courbe.
Exemple 1.1.3 Soit fla fonction d´efinie dans R3par f(x, y, z) = x2+y2+z2+xy+yz +zx−
3x−4y−z. Soit C={(x, y, z)|x≥0, y ≥0, z ≥0}. Montrer que le probl`eme d’optimisation
inf{f(x, y, z)|(x, y, z)∈C}admet une solution unique, et la calculer.
Exemple 1.1.4 Soit fla fonction d´efinie dans R2par f(x, y) = e−2x[5x2−4xy +y2−2x+ 1].
D´eterminer les points stationnaires de f, ainsi que leur nature (minimum local, maximum
local, point selle).
1.2 Diff´erentes notions de d´eriv´ees
Dans cette section Xet Yd´esignent des espaces vectoriels r´eels norm´es, fd´esigne une
application d’un ouvert O ⊂ X`a valeurs dans Y.
D´efinition 1.2.1 D´eriv´ee en un point suivant une direction. Soient a∈ O,d∈X. La limite
limλ→0
f(a+λd)−f(a)
λ
lorsqu’elle existe, est appel´ee d´eriv´ee de fau point asuivant la direction d. Elle est not´ee
f0(a;d).
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4CHAPITRE 1. APPLICATIONS DIFF ´ ERENTIABLES
Remarque. Soit φla fonction d´efinie au voisinage de 0 ∈Rpar φ(t) = f(a+td). D’apr`es la
d´efinition pr´ec´edente, fadmet une d´eriv´ee au point adans la direction dsi, et seulement si, φ
est d´erivable en z´ero. De plus, φ0(0) = f0(a;d). (cf section 1.4 pour la notion de d´eriv´ee d’une
fonction d´efinie sur un intervalle de R, `a valeurs dans un e.v.n.).
D´efinition 1.2.2 D´eriv´ee de Gˆateaux. Soit a∈ O. Supposons que f0(a;d)existe pour tout
d∈X. S’il existe un op´erateur lin´eaire et continu L∈ L(X;Y)tel que Ld =f0(a;d)pour tout
d∈X, alors l’op´erateur Lest appel´e Gˆateaux-diff´erentielle (ou G-diff´erentielle) de fau point
a. Il est souvent not´e f0(a), et fest dite Gˆateaux-diff´erentiable (ou diff´erentiable au sens de
Gˆateaux) au point a.
Remarque. L’application fest G-diff´erentiable en asi, et seulement si, il existe un op´erateur
lin´eaire et continu L∈ L(X;Y) tel que
f(a+λd) = f(a) + λLd +|λ|ε(λ),avec lim|λ|→0ε(λ) = 0,
o`u εest une application de Rdans Yd´ependant de d.
Remarque. L’application fpeut ˆetre G-diff´erentiable en asans ˆetre continue en ce point.
Par exemple, l’application fde R2dans Rd´efinie par f(x1, x2) = 1 si x2>0 et si x1=x2
2, et
f(x1, x2) = 0 sinon, est G-diff´erentiable en (0,0) sans ˆetre continue en ce point.
D´efinition 1.2.3 D´eriv´ee de Fr´echet. Soit a∈ O. Supposons qu’il existe un op´erateur lin´eaire
et continu L∈ L(X;Y)et une application εde Xdans Y, tels que
f(a+d) = f(a) + Ld +kdkε(d),avec limkdk→0ε(d) = 0.
L’op´erateur Lest appel´e diff´erentielle de Fr´echet (ou F-diff´erentielle, ou Fr´echet-diff´erentielle)
de fau point a, et fest dite Fr´echet-diff´erentiable (ou diff´erentiable, ou diff´erentiable au sens
de Fr´echet) au point a. La diff´erentielle de fau point aest souvent not´ee Df(a), la notation
f0(a)est aussi utilis´ee.
Remarque. Si l’application fest F-diff´erentiable en aalors l’op´erateur Lintervenant dans
la d´efinition pr´ec´edente est unique (raisonner par l’absurde pour le v´erifier). Par cons´equent,
l’application εest aussi unique.
Remarque. Si l’application fest F-diff´erentiable en aalors elle est continue en ce point.
Remarque. (D´efinition ´equivalente de la F-diff´erentiabilit´e) L’application fest F-diff´erentiable
en asi, et seulement si, il existe un op´erateur lin´eaire et continu L∈ L(X;Y) tel que
limkdkX→0kf(a+d)−f(a)−LdkY
kdkX
= 0.
Proposition 1.2.1 Si fest Fr´echet-diff´erentiable au point a, alors elle est Gˆateaux-diff´erentiable
en ce point, et la F-diff´erentielle et la G-diff´erentielle co¨ıncident. La r´eciproque est fausse.
On peut d´emontrer que, si l’application fest G-diff´erentiable dans un voisinage Vade a∈ O,
et si l’application de Vadans L(X, Y ) d´efinie par x→f0(x) est continue de (Va,k·kX) dans
(L(X;Y),k·kL(X;Y)), alors fest F-diff´erentiable dans Va.
Contre-exemple. L’application fde R2dans Rd´efinie par f(x1, x2) = x2(x2
1+x2 2)3/2
(x2
1+x2 2)2+x2 2si (x1, x2)6=
(0,0), et f(0,0) = 0, est G-diff´erentiable en (0,0) mais n’est pas F-diff´erentiable en ce point.
Avertissement. En l’absence de pr´ecision, ’fest une application diff´erentiable’ est utilis´e
pour ’fest une application F-diff´erentiable’.

1.3. OP ´ ERATIONS SUR LES APPLICATIONS DIFF ´ ERENTIABLES 5
1.3 Op´erations sur les applications diff´erentiables
Th´eor`eme 1.3.1 (Diff´erentielle d’une combinaison lin´eaire) Soient X,Ydes espaces vecto-
riels norm´es. Soient Uun ouvert de X,fet gdeux applications de Udans Y, soient a∈U
et λ∈R.
Si fet gsont F-diff´erentiables (respectivement G-diff´erentiables) en a, alors λf +gest
F-diff´erentiable (respectivement G-diff´erentiable) en a, et D(λf +g)(a) = λDf(a) + Dg(a).
Th´eor`eme 1.3.2 (Diff´erentielle d’une application `a valeurs dans un produit) Soient X, et
Yi, pour i= 1, ..., n, des espaces vectoriels norm´es. Soit U⊂Xun ouvert de X, et soit
f= (f1, ..., fn)une application de Udans Y=Y1×... ×Yn(pour i= 1, ..., n,fiest une
application de Udans Yi).
L’application fest F-diff´erentiable (respectivement G-diff´erentiable) en a∈Usi, et seule-
ment si, pour i= 1, ..., n, les applications fisont F-diff´erentiables (respectivement G-diff´eren-
tiables) en a. De plus, Df(a) = (Df1(a), ..., Dfn(a)).
Th´eor`eme 1.3.3 (Diff´erentielle de la compos´ee de deux applications F-diff´erentiables) Soient
X,Y,Zdes espaces vectoriels norm´es. Soient U⊂Xun ouvert de X, et V⊂Yun ouvert
de Y. Soient fune application de Udans V, et gune application de Vdans Z.
Si fest F-diff´erentiable en a∈U, et si gest F-diff´erentiable en b=f(a), alors g◦fest
F-diff´erentiable en a, et D(g◦f)(a) = Dg(f(a)) ◦Df(a).
Preuve. L’application f´etant diff´erentiable en a∈U, il existe une application ε1d´efinie sur
U−a`a valeurs dans Ytelle que
f(x) = f(a) + Df(a)(x−a) + kx−akε1(x−a) avec limx→0ε1(x) = 0.
De mˆeme, il existe une application ε2d´efinie sur V−b`a valeurs dans Ztelle que
g(y) = g(b) + Dg(b)(y−b) + ky−bkε2(y−b) avec limy→0ε2(y) = 0.
Pour tout x∈U, on a donc
g(f(x)) = g(f(a)) + Dg(b)[Df(a)(x−a) + kx−akε1(x−a)]
+kDf(a)(x−a) + kx−akε1(x−a)kε2(f(x)−b)
= (Dg(b)◦Df(a))(x−a) + kx−akε(x−a)
avec
ε(x−a) = Dg(b)ε1(x−a) + kDf(a)(x−a)
kx−ak+ε1(x−a)kε2(f(x)−b).
On v´erifie ais´ement que limkxkX→0kε(x)kZ= 0.
Th´eor`eme 1.3.4 (Diff´erentielle de la compos´ee d’une application G-diff´erentiable par une
application F-diff´erentiable) Soient X,Y,Zdes espaces vectoriels norm´es. Soient U⊂Xun
ouvert de X, et V⊂Yun ouvert de Y. Soient fune application de Udans V, et gune
application de Vdans Z.
Si fest G-diff´erentiable en a∈U, et si gest F-diff´erentiable en b=f(a), alors g◦fest
G-diff´erentiable en a, et D(g◦f)(a)d=Dg(f(a))[Df(a)d]pour tout d∈X.