Les statistiques à une variable - Hachette

OBJECTIFS
CHAPITRE 8
Les statistiques
à une variable
Prérequis
Lire et exploiter un tableau ou un graphique (TP1).
• les pourcentages
Calculer la moyenne et l’écart type (TP2-3).
• les repères du plan
Calculer la médiane et les quartiles (TP5).
Utiliser l’intervalle interquartile (TP5).
Calculer des fréquences conditionnelles (TP1).
Utiliser un tableur et les fonctions
statistiques d’une calculatrice (TP3).
c
ACTIVITÉ Lecture graphique
Objectif : Lire un graphique quelle que soit sa forme.
A. Lecture d’un diagramme circulaire
Le graphique ci-contre donne
8,9
la répartition en pourcentages
des 2 290 élèves du second
4,2
degré du lycée Corot pour
l’année scolaire 2003-2004.
5,9
41,0
10,0
1.Déterminer le nombre d’élèves
inscrits en Seconde au lycée
Corot.
2.Que représente le nombre
30 % par rapport à l’effectif
total ?
5,9
9,7
4,8
Secondes
Premières STG
Premières ES
Premières S
Premières L
Terminales STG
Terminales ES
Terminales S
Terminales L
9,6
3.Quel est le pourcentage des élèves inscrits en Terminale ? Quel est l’effectif des élèves inscrits
en Terminale ?
4.Quel est le pourcentage des élèves de Terminale inscrits en STG ?
5.Quelle est la part des élèves du second degré inscrits en STG ?
168
B. Lecture d’un diagramme en barres
Le graphique ci-dessous donne, en milliards de voyageurs/kilomètres, les trois principaux
modes de trafic dans sept pays européens.
1 000
68
75
800
45
70
95
44
45
39
600
400
723
700
664
Autocars
Transports ferroviaires
Voitures particulières
38
20
613
200
305
141
15
15
98
0
Allemagne
France
Italie
Royaume-Uni Espagne
Pays-Bas
5
8
Belgique
1.Dans quel pays le transport ferroviaire est-il le plus important :
a.en valeur absolue ?
b.en pourcentage ?
2.Construire le même type de graphique en donnant, pour chaque pays, les fréquences de chaque
type de transport.
C. Lecture sur une courbe
Les courbes ci-dessous donnent le taux de chômage chez les 15/25 ans de 1990 à 2003.
30
Femmes
Hommes
25
20
15
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
1.Quel était le taux de chômage des jeunes femmes en 1993 ? celui des hommes en 2000 ?
2.Sur quelles périodes le taux de chômage des hommes est-il passé sous la barre des 20 % ?
3.Peut-on dire que le taux de chômage des femmes a augmenté sur la période 1990-1997 ?
4.Déterminer pour chaque année l’écart entre le taux de chômage des femmes et celui des
hommes. Cet écart tend-il à se réduire ?
5.Si on fait l’hypothèse que chaque année le nombre de filles est égal au nombre de garçons,
construire sur le même graphique, la courbe donnant le taux de chômage des jeunes entre 15
et 25 ans sur la période 1990-2003.
169
ACTIVITÉ Les notations indicielles
Objectif : Se familiariser avec les notations.
A. Les notations indicielles
Les notes de mathématiques de Sébastien pour l’année 2004 sont données dans le tableau suivant.
Notes : Xi
4,5
7
9
11
14
15,5
18
1
2
3
2
2
1
1
Effectifs : ni
X i et n i sont ici définis pour i entier compris entre 1 et 7.
On a par exemple : X 1 = 4,5 ; X 2 = 7 ; … ; X 7 = 18, de même n 1 = 1, n 2 = 2, …, n 7 = 1.
1.Quels sont les nombres X 3 et X 5 ?
2.Quelle est la plus grande valeur de X i ?
3.Que valent n 4 et n 6 ?
4.Quelle est la plus grande valeur de n i ?
5.X i est-il toujours un nombre entier ? n i est-il toujours un nombre entier ?
B. Le symbole ∑
Définition
Le symbole ∑ est le symbole somme.
i=7
Le nombre total de contrôles est N = ∑ n i = n 1 + n 2 + … + n 7.
i=1
1.Déterminer N.
i=3
2.Que représente ∑ n i ?
i=1
3.À combien de contrôles Sébastien a-t-il obtenu plus de la moyenne ?
i=7
4.Que représente ∑ n i ?
i=4
paramètres statistiques
ACTIVITÉ Les
et la calculatrice
Objectif : Retrouver les paramètres statistiques appris les années précédentes.
A. Le calcul des fréquences et de la moyenne
Rappels
La fréquence d’une valeur X i est f i =
ni
.
n
∑ n i Xi
La note moyenne sur l’année est ⁄ X =
.
n
170
Reprenons les notes de Sébastien de l’activité 2.
1.Entrer les notes et leurs effectifs dans deux listes d’une calculatrice qu’on notera L1 et L2.
2.Si, sur la calculatrice, on tape : L3=L2 :Sum(L2), qu’obtient-on ?
Remarque : On pourra se reporter aux pages 185 et 186 pour l’emploi de la calculatrice en
mode statistique.
3.Compléter le tableau suivant :
Notes : Xi
4,5
7
9
11
14
15,5
18
Fréquences : fi
4.Calculer ∑ fi.
5.Calculer la moyenne ; vérifier en utilisant le mode statistique de votre calculatrice.
6.Montrer que l’on a aussi ⁄ X = ∑ f i Xi. Comment peut-on obtenir ce résultat avec les fonctions
de la calculatrice ?
B. Comparaison des notes de Sébastien et de celles d’Agnès
Les notes obtenues par Agnès pendant la même période sont données par le tableau ci-dessous.
Notes : Yi
7
8
9
10
12
14
Effectifs : ni
1
1
1
3
5
1
1.Calculer la moyenne ⁄ Y d’Agnès (on prendra une valeur approchée à 10 –1 près).
2.La différence des moyennes entre ces deux élèves est-elle significative ?
3.Quel élève estimez-vous le plus régulier ?
Pour « mesurer » cette régularité, on peut calculer l’écart moyen défini pour une variable notée
∑ n i 8Xi – ⁄ X 8
Xi par e (X ) =
.
n
4.Compléter le tableau ci-dessous et déterminer l’écart moyen e (X ) des notes de Sébastien.
Notes : Xi
Effectifs : ni
4,5
7
9
11
14
15,5
18
1
2
3
2
2
1
1
Total
8Xi – ⁄ X 8
ni8Xi – ⁄ X 8
5.Déterminer de même e (Y ).
6.La calculatrice donne l’écart type, noté sx ou xsn. Déterminer à l’aide de la calculatrice s(X)
et s(Y ).
7.Que constatez-vous ?
171
cours
■
1 Vocabulaire et organisation de données
Les statistiques descriptives étudient sur un ensemble, appelé population et constitué d’individus, un aspect (ou propriété) appelé caractère ou variable.
Le caractère étudié peut prendre différentes valeurs appelées modalités.
Un échantillon ou panel est une partie de la population.
Les différentes modalités sont notées x 1 , x 2 , x 3 , …, x p .
Définitions
L’effectif d’une modalité x i est égal au nombre d’individus qui prennent cette valeur :
on le note n i .
L’effectif total est l’effectif de la population, donc N = n 1 + n 2 + n 3 + … + n p .
Remarque : On peut aussi écrire N = ∑ n i (où le symbole ∑ (sigma) représente l’addition).
On organise les données dans un tableau d’effectifs :
Valeurs
x1
x2
x3
…
xp
Total
Effectifs
n1
n2
n3
…
np
N
Définition
La fréquence d’une valeur, notée fi, est le rapport de l’effectif de cette valeur par
n
l’effectif total. La fréquence de la modalité x i est donc : fi = —i .
N
On peut aussi présenter les données sous forme d’un tableau de fréquences. (On peut aussi compléter le tableau d’effectifs par une ligne supplémentaire comportant les fréquences.)
Valeurs
x1
x2
x3
…
xp
Total
Fréquences
f1
f2
f3
…
fp
1
Remarque : La somme des fréquences vaut toujours 1.
n
n
n
n + n2 + … + np
N
=
= 1.
En effet : f1 + f2 + … + fp = 1 + 2 + … + p = 1
N
N
N
N
N
Les variables
On distingue deux types de variables :
• les variables qualitatives prennent des valeurs non mesurables ;
Exemples : La couleur des yeux d’une population, le mode de résidence des habitants d’une
région…
• les variables quantitatives prennent des valeurs numériques.
On parle de variable discrète si elle prend des valeurs isolées ou de variable continue si elle
prend n’importe quelle valeur dans un intervalle.
Exemples :
– Le nombre de frères et sœurs, la note obtenue à un contrôle sont des variables discrètes.
– Le salaire des employés d’une entreprise, la durée des communications téléphoniques sont des
variables continues.
172 Les statistiques à une variable
CHAPITRE 8
Dans le cas d’une variable continue, on procède à un regroupement par classes.
Exemple 1 : Répartition des salaires dans l’entreprise Çavafort (les salaires sont exprimés en centaines d’euros).
Salaires
[0 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 25[
[25 ; 30[
Total
Effectifs
25
32
38
8
103
Dans le cas de variables quantitatives, on ordonne les valeurs de la variable dans l’ordre croissant : x 1 < x 2 < x 3 < … < x p .
Définition
L’effectif (ou la fréquence) cumulé croissant (ou cumulée croissante) d’une valeur x i est
la somme des effectifs (ou fréquences) des valeurs inférieures ou égales à x i.
L’effectif (ou la fréquence) cumulé décroissant (ou cumulée décroissante) d’une valeur x i est
la somme des effectifs (ou fréquences) des valeurs supérieures ou égales à x i.
Exemple 2 : Nombres de DVD achetés au cours des deux derniers mois par les élèves de la classe
de Première STG2.
Nombres de DVD
0
1
2
3
4
5
6
Effectifs
4
5
7
6
5
2
1
Effectifs cumulés croissants
4
9
16
22
27
29
30
Fréquences cumulées
décroissantes
30
26 13 21 7 14 7 8
4 3
1
=1
=
=
=
=
=
30
30 15 30 10 30 15 30 15 30 10
Exercices
1
30
n° 8 à 14
■
2 Représentations graphiques
On représente souvent ces variables par des diagrammes circulaires ; la mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) de la modalité.
Exemple : Le diagramme ci-dessous donne la répartition de la population française des 15 ans et
plus selon la catégorie socioprofessionnelle en 2003.
17,5
1,6 3,1
7,4
Agriculteurs
12,4
Artisans
Cadres
Professions intermédiaires
Employés
15,5
29
Ouvriers
Retraités
Sans activité professionnelle
13,8
COURS
Variables qualitatives
173
COURS
On peut aussi représenter les variables qualitatives par des diagrammes en barres.
Exemple : Le diagramme ci-dessous représente la population de huit zones urbaines françaises
(en milliers d’habitants).
12 000
11 174
10 000
8 000
6 000
4 000
1 648
2 000
0
Paris
Lyon
1 516
1 143
964
933
925
Marseille
Aixen-Provence
Lille
Toulouse
Nice
Bordeaux
711
Nantes
Variables quantitatives
Les variables discrètes sont souvent représentées par un diagramme en bâtons.
Exemple : En reprenant l’exemple 2 du ■
1 concernant le nombre de DVD achetés par les élèves
de la classe de Première STG2, on obtient le diagramme suivant :
;;;;;;;;
;;;;;;;;
;;;;;;;;
;;;;;;;;
;;;;;;;;
7
5
3
1
0
1
2
3
4
5
6
Les variables continues sont représentées par des histogrammes : la surface de chaque rectangle
est proportionnelle à l’effectif (ou la fréquence) de la modalité.
Exemple : En reprenant l’exemple 1 du ■
1 concernant les salaires de l’entreprise Çavafort, on
obtient l’histogramme suivant où le rectangle de base correspond à 5 individus.
;;;;;;;;;
;;;;;;;;;
;;;;;;;;;
;;;;;;;;;
5 salariés
0
10
15
25
30
Exercices
174 Les statistiques à une variable
n° 8 à 14
CHAPITRE 8
■
3 Paramètres statistiques
1 ■ Les paramètres de position
La moyenne
Définition
La moyenne d’une série quantitative discrète, notée ⁄ X, est égale à :
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + … + np xp ∑ ni xi
—
—
— = —.
⁄X = —
N
N
Cette formule est équivalente à ⁄ X = f1 x 1 + f2 x 2 + f3 x 3 + … + fp x p = ∑ fi x i .
Exemple : Calculons la moyenne de la série définie dans l’exemple 2 du ■
1:
4 ¥ 0 + 5 ¥ 1 + 7 ¥ 2 + 6 ¥ 3 + 5 ¥ 4 + 2 ¥ 5 + 1 ¥ 6 74
=
= 2,47 à 10 –2 près par excès.
30
30
Dans le cas d’une variable continue, on calcule de la même façon en prenant pour valeur de x i le
a + ai + 1
centre, noté ci , de la classe correspondante [ai , a i + 1[ : ci = i
.
2
⁄X =
La moyenne définie dans l’exemple 1 du ■
1 se calcule à l’aide du tableau ci-dessous.
Salaires
[0 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 25[
[25 ; 30[
Centres des classes
5
12,5
20
27,5
Effectifs
25
32
38
8
25 ¥ 5 + 32 ¥ 12,5 + 38 ¥ 20 + 8 ¥ 27,5
= 14,61 à 10 –2 près par défaut.
103
Le salaire moyen d’un employé de Çavafort est donc de 1 461 €.
On trouve ⁄ X =
n° 15 à 26
Propriété de la moyenne
Soit ⁄ X1 la moyenne sur une population E1 d’effectif N1 et ⁄ X2 la moyenne sur une population E2
d’effectif N2.
Si les populations E 1 et E 2 n’ont aucun élément commun, alors la population E = E 1 »E 2
est d’effectif N1 + N2 et la moyenne sur E est égale à :
Propriété
N1 ⁄ X1 + N2 ⁄ X2
—.
⁄X = —
N1 + N2
Exemple : Les classes de Premières STG1 et STG2 comptent respectivement 28 et 33 élèves. Les
élèves des deux classes ont fait le même contrôle de mathématiques.
La moyenne des notes en 1re STG1 est de 9,8 et en 1re STG2, elle est de 10,4. La moyenne des
notes de ce contrôle sur les deux classes est donc :
⁄X =
617,6
28 ¥ 9,8 + 33 ¥ 10,4
=
= 10,1 à 0,1 près
61
28 + 33
Exercices
n° 27 à 32
COURS
Exercices
175
COURS
La médiane
Définition
Soit une série quantitative ordonnée. La médiane, notée M, est une valeur qui sépare la
population en deux sous-ensembles de même effectif. Elle correspond à une fréquence cumulée
croissante de 50 %.
50 % de l’effectif
x≤M
50 % de l’effectif
x≥M
M
Exemples :
• Si les notes de Paul sont 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14, la note médiane est 10.
• Si les notes d’Alice sont 5 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 14, on prend pour note médiane 9,5 (toute note dans
]9 ;10[ est médiane ; on choisit plutôt le centre de l’intervalle).
Exercices
n° 32 à 42
2 ■ Les paramètres de dispersion
L’étendue
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la variable.
L’écart type
L’écart type d’une série de moyenne ⁄ X est le réel, noté s(X), tel que :
s(X) =
÷⁄n1 (x 1 –⁄ ⁄ X ) 2 + ⁄n2(x 2 ⁄– ⁄ X ) 2 ⁄+ n3(x 3 ⁄– ⁄ X ) 2 ⁄+ … + ⁄n p (x p⁄ – ⁄ X ) 2
N
.
Remarque :
Cette quantité est positive ou nulle ; elle n’est nulle que si x 1 = x 2 = x 3 = … = x p = ⁄ X.
• Plus s(X) est petit, plus la série est concentrée autour de sa moyenne ⁄ X.
• Plus s(X) est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne ⁄ X.
Exemple : Kathy a eu les notes suivantes au cours du trimestre : 7 ; 10 ; 8 ; 13 ; 10 ; 7 ; 11 ; 14.
Mathieu a eu comme notes au cours du même trimestre : 3 ; 17 ; 4 ; 9 ; 14 ; 14 ; 4 ; 15.
Les deux élèves ont la même moyenne ⁄ X1 = ⁄ X2 =10.
En revanche, les écarts types sont différents : s 1 = 2,44 et s 2 = 5,33.
Kathy est plus régulière dans ses résultats que Mathieu.
Remarque :
Le couple (⁄ X, s(X)) permet de caractériser la série par une valeur centrale et une valeur qui
mesure son étalement ; il prend en compte toutes les valeurs, mêmes les plus extrêmes.
Exercices
176 Les statistiques à une variable
n° 16 à 31
CHAPITRE 8
■
4 Quartiles et intervalle interquartile
Définition
Les quartiles, notés Q1, Q2 et Q3, sont des valeurs qui séparent une série ordonnée en
quatre sous-ensembles, tels que 25 % au moins des valeurs soient inférieures ou égales à Q1 et
25 % au moins des valeurs soient supérieures ou égales à Q3. De plus, Q2 = M.
25 % de l’effectif
x ≤ Q1
Définition
25 % de l’effectif
Q1
Q1 ≤ x ≤ Q 2
25 % de l’effectif
Q2 ≤ x ≤ Q 3
Q2
25 % de l’effectif
Q3
x ≥ Q3
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1, Q3 ], il contient 50 % des effectifs.
Remarque :
• Plus l’intervalle interquartile est grand, plus la série est dispersée autour de sa médiane.
• Plus il est petit, plus la série est concentrée autour de sa médiane.
Exemple : Dans la série des notes de Kathy : Q1 = 7,5 ; Q2 = M = 10 et Q3 = 12. L’intervalle
interquartile est donc : [Q1, Q3 ] = [7,5 ; 12].
En revanche, dans la série des notes de Mathieu : Q1 = 4 ; Q2 = M = 11,5 et Q3 =14,5. L’intervalle interquartile est donc : [Q1, Q3 ] = [4 ; 14,5].
L’intervalle interquartile des notes de Mathieu est plus étendu que celui des notes de Kathy.
Remarque :
Le couple (M ; [Q1, Q3 ]) permet aussi de caractériser la série par une valeur centrale M et un
intervalle qui donne une mesure de son étalement autour de M. Il ne prend pas en compte les
valeurs extrêmes ; il caractérise surtout les valeurs centrales.
Représentation graphique
Xmin
Q1
M
Q3
Xmax
Exemple : Le diagramme ci-dessous représente la répartition des employés de l’entreprise Çavafort en fonction de leur âge.
Xmin
Q1
M
Q3
Xmax
18
23,2
34,5
51,4
65
Les déciles
Pour des analyses plus précises ou lorsque les valeurs sont très étalées, on utilise les déciles qui
séparent une série en dix sous-ensembles. La médiane est alors le cinquième décile.
Exercices
n° 32 à 42
COURS
Dans le cas d’une série ayant un effectif important, on représente la série par un diagramme mettant en valeur les valeurs centrales, un diagramme en boîte ou « diagramme à moustaches ».
177
COURS
■
5 Fréquences conditionnelles :
tableaux croisés
On a souvent à étudier conjointement deux variables X et Y sur une même population.
On construit alors un tableau d’effectifs croisés pour faire apparaître en même temps les deux
séries : l’une en colonnes, l’autre en lignes.
Exemple : Dans un lycée, la répartition des élèves en fonction de leur niveau et de leur régime
par rapport à la demi-pension est donnée dans le tableau ci-dessous.
Seconde
Première
Terminale
Total
Demi-pensionnaire
425
385
237
1 046
Externe
124
104
225
453
Total
549
489
462
1 500
453
151
=
.
1 500 500
489
163
La fréquence des Premières est f (P) =
=
.
1 500 500
La fréquence des externes est f (E ) =
La fréquence des externes parmi les Premières est f 1 =
notée f P (E ).
La fréquence des Premières parmi les externes est f 2 =
notée f E (P).
104
. C’est une fréquence conditionnelle
489
104
. C’est une fréquence conditionnelle
453
Plus généralement, si X prend les valeurs D et E et si Y prend les valeurs A, B et C :
X
D
E
Total
Y
A
B
C
Total
n1,1
n1,2
n1,3
d
n2,1
n2,2
n2,3
e
a
b
c
N
Le nombre ni,j qui est à l’intersection de la ligne i et de la colonne j représente l’effectif correspondant aux individus qui réalisent à la fois les modalités xi et yj.
Les nombres a, b et c correspondent au total de chaque colonne. Ils représentent les effectifs des
modalités A, B et C.
Les nombres d et e correspondent au total de chaque ligne. Ils représentent les effectifs des modalités D et E.
Le nombre N est l’effectif total ; il est égal à la somme de la dernière ligne et aussi à celle de la
dernière colonne : N = a + b + c = d + e.
Si l’on considère parmi les individus qui vérifient B, la fréquence de ceux qui vérifient en même
temps D, c’est-à-dire la fréquence de D « B parmi B, on définit la fréquence conditionnelle f B (D)
par :
n
Effectif de D « B
f B (D) = 1,2 =
.
Effectif de B
b
n
On définit de même f D (B) par : f D (B) = 1,2 .
d
On a ainsi défini la fréquence des individus qui vérifient B, parmi les individus qui vérifient D.
Exercices
178 Les statistiques à une variable
n° 43 à 46
TRA
V
A
UX PRA
TIQUES
TP1Des problèmes de fréquences et d’effectifs
■
1 ■ Le personnel de l’entreprise Frigor
Le tableau ci-dessous donne la répartition du personnel de l’entreprise Frigor.
Sexe
Hommes
Femmes
Ouvriers
Employés
Cadres
350
125
135
147
117
26
Total
Ensemble
1 Compléter le tableau.
2 Calculer les fréquences suivantes :
a. la fréquence des femmes ;
b. la fréquence des employés ;
c. la fréquence des hommes cadres ;
d. la fréquence des femmes ouvrières.
(On donnera les résultats sous une forme approchée à 10 – 3 près.)
3 On note :
H : l’ensemble des hommes ;
F : l’ensemble des femmes ;
O : l’ensemble des ouvriers ;
E : l’ensemble des employés ;
C : l’ensemble des cadres.
a. Que représentent les nombres f F (O) et f O (F) ?
b. Calculer f H (C) et f H (O).
c. Calculer f C (H) et f C (F).
d. Comparer f (F) et f C (F). Quel commentaire peut-on faire ?
2 ■ Les élèves d’un lycée
Un établissement scolaire comporte 350 élèves de Seconde : parmi eux, 20 % sont internes,
70 % demi-pensionnaires et les autres sont externes.
Les filles représentent 30 % des internes, 60 % des demi-pensionnaires et 60 % des externes.
1 Compléter l’arbre pondéré :
30 %
20 %
70 %
Internes
60 %
Demi-pensionnaires
Externes
Filles
Garçons
Filles
Garçons
Filles
Garçons
2 Reproduire et compléter le tableau d’effectifs.
Internes
Demi-pensionnaires
Externes
Filles
Garçons
Total
3 a. Déterminer la fréquence des demi-pensionnaires parmi les garçons.
b. Déterminer la fréquence des externes parmi les filles.
Total
350
TRA
V
A
UX PRA
TIQUES
Qualification
179
TRA
V
A
UX PRA
TIQUES
TP2 Moyenne, écart type et regroupement
■
en classes
La classe de Première STG2 est composée de 30 élèves dont 20 filles et 10 garçons.
Le relevé des tailles exprimées en centimètres de chaque élève a donné :
• pour les filles :
170 ; 162 ; 160 ; 169 ; 166 ; 160 ; 164 ; 163 ; 160 ; 165 ; 158 ; 164 ; 164 ; 165 ; 172 ;
• pour les garçons :
170 ; 174 ; 180 ; 185 ; 176 ; 180 ; 180 ; 171 ; 181 ; 172.
1 ■ Calcul de la moyenne
1
2
3
4
Calculer la taille moyenne des filles.
Calculer la taille moyenne des garçons.
En déduire la taille moyenne des élèves de 1re STG2.
Calculer, à l’aide de la calculatrice, l’écart type de la taille des élèves de cette classe.
2 ■ Regroupement par classes
On décide de faire des regroupements par classes et de voir comment évoluent ces deux paramètres.
1 Compléter le tableau suivant :
Tailles
[150 ; 160 [
[ 160 ; 170 [
[ 170 ; 180 [
[180 ; 190 [
Effectifs
Déterminer à l’aide de ce regroupement la taille moyenne et l’écart type de cette série.
2 Effectuer le même travail à partir du regroupement ci-dessous.
Tailles
[158 ; 162 [ [ 162 ; 166 [ [ 166 ; 170 [ [170 ; 174 [ [ 174 ; 178 [ [ 178 ; 182 [ [182 ; 186 [
Effectifs
3 Des résultats des deux questions précédentes, quels sont ceux qui sont les plus proches de ceux
de la partie 1 ?
À retenir
On effectue un regroupement par classes quand la variable prend un grand nombre de
valeurs, les informations perdent alors en précision. De plus, les moyens informatiques permettent d’effectuer facilement des calculs même sur un effectif important.
3 ■ Exemple d’une variable continue
On a effectué avec les mêmes élèves un sondage sur le temps de trajet, exprimé en minutes,
pour se rendre au lycée. Les résultats sont donnés ci-dessous.
1
2
3
4
Temps de trajet
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 15[
Nombre d’élèves
2
5
4
[15 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 60[
10
6
3
Pourquoi a-t-on choisi un regroupement par classes ?
Déterminer le temps de trajet moyen ⁄ X.
Calculer l’écart type s(X).
On estime qu’un élève a de réels problèmes de transport quand son temps de trajet est supérieur à ⁄ X + s(X). Combien d’élèves de 1re STG2 ont de réels problèmes de transport ?
180 Les statistiques à une variable
CHAPITRE 8
TP3 Pour organiser et calculer avec un tableur
■
(ou une calculatrice)
1 ■ Les notes du baccalauréat
Avec un tableur
1 Entrer les valeurs dans un classeur sur une même colonne.
2 Utiliser la fonction NB SI (cette fonction compte dans une plage donnée le nombre de cellules
dont le contenu vérifie une condition donnée : NB.SI(plage ;condition)) pour remplir le tableau
d’effectifs :
3 Calculer la moyenne M1 et l’écart type s 1 de cette série de notes.
Avec une calculatrice
1
2
3
4
Entrer toutes les notes dans la liste L1.
Classer les notes dans l’ordre croissant (utiliser la fonction Sort A).
En déduire les effectifs de chaque valeur.
Calculer la moyenne M1 et l’écart type s 1 de cette série de notes.
2 ■ Modification de la moyenne
La moyenne de cette correctrice est inférieure aux moyennes des autres correcteurs. On lui suggère
de remonter ses notes.
1 Première méthode
Elle relève toutes ses notes d’un point :
a. Créer la liste des nouvelles notes.
b. Calculer la moyenne M2 et l’écart type s 2 de cette série et les comparer avec M1 et s 1.
(On expliquera la méthode utilisée sur le tableur ou sur la calculatrice.)
2
Deuxième méthode avec un tableur
Elle multiplie toutes ses notes par 1,11 et elle arrondit à l’entier le plus proche.
TRA
V
A
UX PRA
TIQUES
Un professeur a corrigé des copies pour l’épreuve de baccalauréat. Elle doit rendre avec ses copies
une feuille de statistiques sur ses notes. Elle a rentré ses notes dans un tableur.
181
TRA
V
A
UX PRA
TIQUES
a. Calculer les nouvelles notes.
b. Calculer la moyenne M3 et l’écart type s 3 de cette série et les comparer avec M1 et s 1.
3
Deuxième méthode avec une calculatrice
a. Les notes sont dans la liste L1. Aller dans L2 et taper : L2=L1*1,11.
b. Aller dans L3 et utiliser la fonction :Round pour donner une valeur arrondie.
c. En déduire les effectifs de chaque valeur.
d. Calculer la moyenne M3 et l’écart type s 3 de cette série et les comparer avec M1 et s 1.
TP4 Le prix psychologique
■
Une méthode pour déterminer le prix de vente d’un nouvel article est de faire un sondage en
demandant aux personnes interrogées :
• à partir de quel montant le prix de vente du produit est considéré comme excessif ;
• en dessous de quel prix elles considèrent la qualité du produit insuffisante.
Une enquête pour déterminer le prix d’un téléviseur écran LCD a donné les résultats suivants :
Tranche
de
prix
Pourcentage
de personnes
trouvant les
prix excessifs (1)
Pourcentage
de personnes
trouvant
la qualité
insuffisante (2)
[1 300 ; 1 500[
0%
12 %
[1 500 ; 1 700[
4%
15 %
[1 700 ; 2 000[
26 %
32 %
[2 000 ; 2 500[
23 %
30 %
[2 500 ; 3 000[
16 %
11 %
Plus de 3 000
31 %
0%
Total
100 %
100 %
Pourcentage
cumulé
croissant
sur les prix
excessifs (3)
Pourcentage
cumulé
décroissant
sur la qualité
insuffisante (4)
Pourcentage
de
non-acheteurs
(3) + (4)
1 Si possible, entrer ses données dans un tableur et compléter le tableau.
2 On estime qu’une personne n’est pas un acheteur éventuel si elle trouve la qualité insuffisante
ou le prix excessif. Pour un prix donné, le pourcentage de non-acheteurs correspond donc à la
somme des colonnes (3) et (4).
À quelle tranche de prix correspond le plus grand pourcentage d’acheteurs éventuels ?
Le prix ainsi déterminé est appelé prix psychologique.
182 Les statistiques à une variable
CHAPITRE 8
TP5 Médiane et quartiles
■
La répartition des salaires mensuels donnés en euros de l’entreprise Édic est donnée dans la tableau
ci-dessous.
1 Reproduire et compléter le tableau.
Salaires
[ 700 ; 900 [
[ 900 ; 1 500 [ [1 500 ; 2 000[ [2 000 ; 2 800[ [2 800 ; 3 500[
Effectifs
18
34
18
52
17
11
5
16
5
Effectifs cumulés
croissants
Effectifs cumulés
décroissants
Fréquences
cumulées croissantes
2
3
4
5
6
Combien de salariés ont un salaire : inférieur à 2 000 € ? supérieur à 1 500 € ?
Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes.
En déduire graphiquement la médiane et les quartiles associés à cette série.
À quel salaire correspond le quartile Q3 ?
Déterminer l’intervalle interquartile et construire le diagramme en boîte de cette série.
TP6 Les lissages
■
Lorsqu’une série numérique qui dépend du temps (série chronologique) a des variations importantes, on peut procéder à un lissage afin de dégager une tendance.
On construit une nouvelle série en remplaçant les valeurs par la moyenne sur une période donnée.
La courbe ainsi obtenue est la courbe « lissée ». On parle aussi de « moyennes mobiles ».
L’entreprise Toubois construit et distribue des jouets en bois : son chiffre d’affaires sur les quatre
dernières années est donné en k€ dans le tableau ci-dessous.
1 a. Construire la courbe donnant le chiffre d’affaires en fonction du temps.
b. Peut-on dire que cette fonction est croissante sur la période 2001-2004 ?
2 On décide, à partir du 4e trimestre 2001, de remplacer le chiffre d’affaires d’un trimestre par
la moyenne de ce dernier et des trois précédents.
a. Quelle valeur obtient-on pour le 4e trimestre 2001 ? pour le premier trimestre 2002 ?
b. Copier les données sur une feuille de calcul d’un tableur comme Excel.
c. Quelle formule mettre en cellule E4 ? Étendre cette formule jusqu’à la cellule Q4.
d. Compléter le tableau précédent.
e. Construire la courbe relative à cette nouvelle série sur le même graphique.
f. Est-elle plus régulière que celle de la série initiale ? Peut-on parler d’une tendance à la hausse
pour le chiffre d’affaires de l’entreprise Toubois pour la période 2001-2004 ?
TRA
V
A
UX PRA
TIQUES
Fréquences
183
l’essentiel
1> Vocabulaire et organisation de données
On étudie sur une population, constituée d’individus, un aspect (ou propriété) appelé caractère
ou variable qui peut prendre différentes valeurs appelées modalités, notées x 1 , x 2 , x 3 , …, x p .
L’effectif, noté n i , d’une modalité x i est le nombre d’individus qui prennent cette valeur.
L’effectif total est l’effectif de la population N = n 1 + n 2 + n 3 + … + n p .
n
La fréquence d’une valeur est le rapport de l’effectif de cette valeur par l’effectif total : fi = i .
N
On distingue deux types de variables : les variables qualitatives et les variables quantitatives.
Une variable quantitative est discrète si elle prend des valeurs isolées et continue si elle prend
n’importe quelle valeur dans un intervalle.
L’effectif (ou la fréquence) cumulé croissant (ou cumulée croissante) d’une valeur x i est la
somme des effectifs (ou fréquences) des valeurs inférieures ou égales à x i .
2> Représentations graphiques
Les variables qualitatives sont représentées par des diagrammes circulaires ou par des diagrammes en barres
Les variables quantitatives sont souvent représentées par un diagramme en bâtons, quand elles
sont discrètes et par des histogrammes quand elles sont continues.
3> Paramètres statistiques
Les paramètres de position
• La moyenne
n1x1 + n2x2 + n3 x3 + … + np xp ∑ ni xi
⁄X = —
—
—
— = — = ∑ fi x i .
N
N
Propriété : Si les populations E 1 et E 2 n’ont aucun élément commun, alors la population
E = E 1 » E 2 est d’effectif N1 + N2 et la moyenne sur E est égale à :
N1 ⁄ X1 + N2⁄ X2
⁄X = —
—.
N1 + N2
• La médiane, notée M, est une valeur qui sépare la population en deux sous-ensembles de même
effectif. Elle correspond à une fréquence cumulée croissante de 50 %.
Les paramètres de dispersion
• L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la variable.
• L’écart type : s(X) =
÷⁄n1 (x 1 –⁄ ⁄ X ) 2 + ⁄n2(x 2 ⁄– ⁄ X ) 2 ⁄+ n3(x 3 ⁄– ⁄ X ) 2 ⁄+ … + ⁄n p (x p⁄ – ⁄ X ) 2
N
.
4> Quartiles et intervalle interquartile
Les quartiles, notés Q1, Q2 et Q3, sont des valeurs qui séparent une série ordonnée en quatre sousensembles, tels que 25 % au moins des valeurs soient inférieures ou égales à Q1 et 25 % au moins
des valeurs soient supérieures ou égales à Q3. De plus, Q2 = M.
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1, Q3 ], il contient 50 % des effectifs.
5> Fréquences conditionnelles : tableaux croisés
On définit la fréquence conditionnelle f B (D) comme la fréquence des individus prenant la valeur
Nombre d’individus vérifiant D et B
.
D parmi les individus prenant la valeur B : f B (D) =
Nombre d’individus vérifiant B
184 Les statistiques à une variable
Le mode Stat
Aller dans Stat.
Choisir : Clrlist.
Taper les listes à effacer, puis Enter .
Effacer
les données
précédentes
Revenir dans Stat et choisir : EDIT.
Entrée
des données
Exemple :
xi 2 7 11
ni 1 4 2
Entrer par exemple les valeurs dans
L1, en tapant sur Enter après chaque
valeur, et les effectifs dans L2.
Pour obtenir les valeurs des
fonctions classiques de statistique :
aller dans Stat CALC et choisir : 1-VarStats.
calculatrice
TI 82-82Stat-83-83plus
Taper : Enter .
Calcul
des paramètres
statistiques
Quelques
fonctions
particulières
Représentation
graphique
Taper : L1 , L2 Enter .
Les résultats s’affichent.
• Pour classer les éléments d’une liste dans
l’ordre croissant :
aller dans : Stat EDIT et choisir : Sort A
Taper la liste à trier puis Enter .
• Pour calculer la somme des éléments d’une liste :
aller dans List ( 2de Stat ), choisir Math .
Sélectionner la fonction Sum.
Taper la liste dont on veut la somme.
Aller dans StatPlot.
Choisir 1 puis taper : Enter
Sélectionner : ON
Choisir le type de représentation.
185
calculatrice
Casio Graph 25-35-65
Choisir le menu Stat.
Le mode Stat
Se positionner par exemple sur List1.
DEL.A YES
Effacer
les données
précédentes
Entrée
des données
Exemple :
xi 2 7 11
ni 1 4 2
Entrer par exemple les valeurs dans
List1, en tapant sur EXE après chaque
valeur, et les effectifs dans List2.
Calcul
des paramètres
statistiques
Pour obtenir les valeurs des fonctions classiques de statistique :
choisir CALC puis 1VAR.
Ne pas oublier de vérifier SET.
• Pour classer les éléments d’une liste dans l’ordre croissant :
choisir le menu List.
Choisir Sort A.
Taper 1 (si on veut trier une liste)
puis 1(si on veut trier la liste1).
Quelques
fonctions
particulières
• Pour calculer la somme des éléments d’une liste :
OPTN List
Sum
List .
Puis taper le numéro de la liste dont on veut la somme.
Représentation
graphique
Choisir : GRPH.
186 Les statistiques à une variable
exercices résolus
Comment calculer une
médiane ?
1 1. a. Dans une PMI, la puéricultrice a relevé le poids
des bébés que les mamans ont amenés à la consultation ce
jour-là :
3,8 ; 4,5 ; 3,6 ; 5,3 ; 6,1 ; 5,9 ; 7,8 ; 4,9 ; 6,5 ; 5,2 ; 3,9.
Déterminer le poids médian.
b. Le lendemain, elle relève les tailles, exprimées en centimètres, des bébés :
54 ; 52 ; 60 ; 58 ; 74 ; 68 ; 59 ; 62 ; 71 ; 67 ; 59 ; 66 ; 70 ; 64.
Déterminer la taille médiane.
2. La série statistique est définie par la courbe des fréquences cumulées croissantes suivantes :
100 %
50 %
10 %
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
40
20
60
80
100
120
a. Lire graphiquement les différentes classes.
b. Donner le tableau des fréquences cumulées croissantes.
c. En déduire les fréquences de chaque classe.
d. Que représentent les cinq valeurs affichées en pointillés
sur l’axe des abscisses ?
3. Le professeur a effectué un sondage sur le temps de
connexion, exprimé en heures, sur Internet pendant un
week-end des élèves de Première STG2.
Classes
[0 ; 1[
[1 ; 3[
[3 ; 6[
Effectifs
6
5
11
[6 ; 10[ [10 ; 15]
5
3
a. Déterminer les fréquences, puis les fréquences cumulées
croissantes.
b. Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes et lire graphiquement la valeur de la médiane.
c. Retrouver par le calcul la valeur de la médiane.
4. La série statistique est représentée par le diagramme en
boîte donné ci-dessous.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
a. Lire la valeur de la médiane.
b. Lire de même Q1 et Q3 et les valeurs extrêmes.
187
exercices résolus
Réponses
Lorsque la variable est discrète,
1) on commence par ranger les
valeurs dans l’ordre croissant,
2) puis :
• si N est un nombre impair,
N = 2 n + 1, la médiane est la
(n + 1)-ième valeur ;
1. a. On classe les valeurs dans l’ordre croissant :
• si N est pair, la médiane est
une valeur prise entre la n-ième
et la (n + 1)-ième valeur. En
général, on prend le centre.
b. On procède comme dans l’exemple précédent en clas-
On regarde sur l’axe des
abscisses à quelles valeurs
correspondent les différents
segments de la courbe.
On lit les fréquences sur l’axe
des ordonnées.
On calcule la fréquence d’une
modalité en soustrayant de la
fréquence cumulée la fréquence
cumulée de la valeur
précédente.
Les résultats lus graphiquement
sont des valeurs approchées.
2. a. Les différentes classes sont : [10 ; 20[, [20 ; 30[,
188 Les statistiques à une variable
3,6 ; 3,8 ; 3,9 ; 4,5 ; 4,9 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,9 ; 6,1 ; 6,5 ; 7,8.
Cette série a 11 individus, la valeur médiane est donc le
poids du 6e bébé, soit 5,2.
Si on a entré les valeurs dans la calculatrice ou un tableur :
• en utilisant la fonction SortA, on peut classer les éléments ;
• on peut aussi utiliser les valeurs statistiques pour obtenir
la médiane.
sant les éléments dans l’ordre croissant :
52 ; 54 ; 58 ; 59 ; 59 ; 60 ; 62 ; 64 ; 66 ; 67 ; 68 ; 70 ; 71 ; 74.
La série comporte 14 éléments, on va donc prendre comme
valeur médiane le centre entre la 7e et la 8e valeur, soit le
centre de [62 ; 64]. La valeur médiane est donc 63.
À l’aide d’une calculatrice, on trouve :
[30 ; 40[, [40 ; 60[, [60 ; 80[ et [80 ; 120[.
b. et c. Par lecture graphique, on trouve les valeurs des
fréquences :
Classes
[10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 120[
Fréquences
cumulées
10
30
60
85
95
100
Fréquences
10
20
30
25
10
5
d. La valeur qui correspond à 10 % des fréquences cumulées croissantes est le premier décile D1, donc D1 = 20.
La valeur qui correspond à 25 % des fréquences cumulées
croissantes est le premier quartile Q1, soit Q1 = 27.
La valeur qui correspond à 50 % des fréquences cumulées
croissantes est la médiane, d’où M = 37.
La valeur qui correspond à 75 % des fréquences cumulées
croissantes est le troisième quartile Q3, soit Q3 = 52.
La valeur qui correspond à 90 % des fréquences cumulées
croissantes est le neuvième décile D9, soit D9 = 70.
exercices résolus
Lorsque la variable est
continue :
• on calcule les effectifs (ou les
fréquences) cumulé(e)s
croissant(e)s ;
3. La variable est continue : on complète le tableau
d’effectifs par les fréquences et les fréquences cumulées
croissantes :
Classes
[0 ; 1[
[1 ; 3[
[3 ; 6[
Effectifs
6
5
11
5
3
6
5
11
5
3
= 0,2
= 0,167
= 0,366
= 0,167
= 0,1
30
30
30
30
30
Fréquences
Fréquences
cumulées
croissantes
• on détermine graphiquement
la médiane en regardant à
quelle valeur correspond
la fréquence cumulée
croissante de 50 % ;
[6 ; 10[ [10 ; 15]
0,2
0,367
0,733
0,9
1
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
On construit la courbe des fréquences cumulées croissantes :
1
0,5
0,2
0,1
0 1
Me 5
10
15
On constate graphiquement que la valeur correspondant à
une fréquence cumulée croissante de 0,5 est légèrement
supérieure à 4.
• on peut aussi la déterminer de
façon plus précise en appliquant
la méthode d’interpolation
linéaire ainsi que le montre le
calcul fait ci-contre.
Un calcul nous donnera une valeur plus précise.
3
0,376
Me
0,5
6
0,733
Les trois points de coordonnées (3 ; 0,376), (Me ; 0,5) et
(6 ; 0,733) sont alignés. Les coefficients directeurs des
segments définis par ces points sont égaux.
0,733 – 0,376
0,5 – 0,376
On en déduit :
=
.
6–3
Me – 3
Soit :
0,357
0,124
=
3
Me – 3
0,124 ¥ 3
= 1,042.
0,357
On en conclut : Me = 4,042.
ce qui donne : Me – 3 =
Lorsque la série est déterminée
par un diagramme en boîte,
la valeur qui est représentée
par un trait central dans la boîte
est la médiane.
4.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
a. Ici la médiane est représentée par un trait rouge. On lit :
M = 32.
189
exercices résolus
Les extrémités de la boîte
correspondent aux quartiles.
Comment calculer une
moyenne et un écart type ?
b. Q1 = 20 et Q3 = 46.
La valeur minimale est 10 et la valeur maximale est 100.
2 1. Charlène a noté pendant un mois le nombre de
textos qu’elle a reçus par jour sur son téléphone portable :
Nombre
de textos
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre
de jours
3
2
5
8
5
4
2
1
a. Quel est le nombre moyen de textos que Charlène reçoit
par jour ?
b. Déterminer l’écart type de cette série.
2. La documentaliste a fait un relevé du nombre de livres
empruntés par les élèves qui viennent au CDI dans un trimestre :
Nombre de livres
Fréquences
1
2
3
4
5
15 %
21 %
34 %
18 %
12 %
a. Sachant que 221 élèves ont emprunté 3 livres au CDI,
quel est le nombre total d’élèves ayant emprunté au moins
1 livre au CDI au cours de ce trimestre ?
b. Quel est le nombre moyen de livres empruntés par un
élève s’étant rendu au CDI au cours de ce trimestre ?
c. Préciser l’écart type.
3. Déborah fait du baby-sitting. Elle a noté la durée, exprimée en heures, des gardes qu’elle a effectuées ces derniers
mois :
Durée
[0 ; 2[
[2 ; 3[
[3 ; 4[
[4 ; 7]
Effectif
5
11
15
9
a. Quelle est la durée moyenne d’une garde ?
b. Déterminer l’écart type.
4. Corentin a constaté que sur 900 km la consommation
moyenne de sa voiture a été de 9,61 L par 100 km. Après
avoir fait effectuer des réglages sur son moteur, il constate
que sur les 1 100 km suivants, sa voiture n’a consommé en
moyenne que 7,43 L par 100 km. Quelle a été sa consommation moyenne par 100 km sur les 2 000 km parcourus ?
Réponses
Quand la variable est discrète,
on applique la formule :
∑ ni xi
⁄X = —
.
N
190 Les statistiques à une variable
1. a. L’effectif total est :
N = 3 + 2 + 5 + 8 + 5 + 4 + 2 + 1 = 30.
3¥0+2¥1+5¥2+8¥3+5¥4+4¥5+2¥6+1¥7
⁄X =
30
95
⁄X =
= 3,2 à 0,1 près par excès.
30
exercices résolus
Attention :
sur un tableur, la fonction
moyenne ne donne la moyenne
que si tous les effectifs sont
égaux à 1. Dans tous les autres
cas, il faut calculer les produits
ni x i et ensuite calculer la
moyenne en divisant la somme
des nombres obtenus par la
somme des ni .
La calculatrice permet d’obtenir
directement la valeur de la
moyenne et de l’écart type.
À l’aide d’un tableur comme Excel :
Sur une calculatrice :
La calculatrice donne s(X) = 1,77.
2. a. On sait que 221 représente les 34 % de l’effectif total.
221
D’où N =
= 650.
0,34
Si on ne connaît que les
fréquences, on applique la
formule :
⁄ X = ∑ fi x i .
b. ⁄ X = 0,15 ¥ 1 + 0,21 ¥ 2 + 0,34 ¥ 3 + 0,18 ¥ 4 + 0,12 ¥ 5
⁄ X = 2,91.
Un élève a emprunté en moyenne 2,9 livres.
On peut vérifier les calculs sur une calculatrice :
On trouve ainsi que s(X) = 1,21.
Si la variable est continue, on
calcule les centres des classes
puis on procède comme dans les
exemples précédents.
Le centre ci de la classe [ai , ai + 1 [
a + ai + 1
est le nombre ci = i
.
2
3.
Durée
[0 ; 2[
[2 ; 3[
[3 ; 4[
[4 ; 7]
Centre
1
2,5
3,5
5,5
Effectif
5
11
15
9
5 ¥ 1 + 11 ¥ 2,5 + 15 ¥ 3,5 + 9 ¥ 5,5 134,5
=
= 3,36.
40
5 + 11 + 15 + 9
La durée moyenne d’une garde est donc de 3,36 h (soit 3h
22 min).
Sur la calculatrice, on trouve :
⁄X =
On trouve l’écart type sur la calculatrice : s(X) = 1,39.
191
exercices résolus
Quand les populations sont
disjointes, on utilise la formule :
N1⁄ X1 + N2 ⁄ X2
⁄X = —
—.
N1 + N2
4. Les données correspondent à une moyenne de 9,61 pour
une population d’effectif 9 et à une moyenne de 7,43 pour
une population d’effectif 11. Les kilomètres parcourus
équivalent à deux populations n’ayant aucun élément en
commun :
9 ¥ 9,61 + 11 ¥ 7,43
= 8,41 à 0,01 près par défaut.
9 + 11
La consommation moyenne de la voiture de Corentin sur
les 2 000 km parcourus a donc été de 8,41 L par 100 km.
⁄X =
Comment calculer une
fréquence conditionnelle ?
3 Le chef du personnel de l’entreprise Altus a fait un
relevé statistique sur les membres du personnel en fonction
de leur âge :
Inférieur
à 30 ans
Hommes
Entre 30
et 50 ans
42
Total
42
Femmes
Total
Plus de
50 ans
52
100
72
250
1. Compléter le tableau.
2. a. Calculer la fréquence des femmes de moins de 50 ans
parmi les membres du personnel.
b. Calculer la fréquence des hommes de plus de 30 ans
parmi les membres du personnel.
c. Calculer la fréquence des moins de 30 ans, celle des personnes entre 30 et 50 ans, puis celle des personnes de plus
de 50 ans.
3. a. On considère l’ensemble des femmes. Calculer la fréquence des femmes de moins de 30 ans. Faire de même
avec les deux autres tranches d’âge.
b. Compléter le tableau de fréquences suivant :
Inférieur
à 30 ans
Entre 30
et 50 ans
Plus de
50 ans
Total
Hommes
100 %
Femmes
100 %
4. a. On considère l’ensemble des employés de moins de
30 ans. Calculer la fréquence des femmes et celle des
hommes.
b. Compléter l’arbre pondéré suivant :
28,8 %
Inférieur à 30 ans
Entre 30 et 50 ans
24 %
192 Les statistiques à une variable
Plus de 50 ans
70 %
F
H
F
H
F
H
exercices résolus
Réponses
Pour compléter le tableau, on commence par calculer, par exemple,
• l’effectif des hommes ;
• l’effectif des hommes entre 30
et 50, etc.
1.
Pour un calcul de fréquence, le
plus important est de regarder
quelle est la population
considérée : dans cette question,
c’est l’ensemble du personnel
d’effectif 250.
2. a. Il y a 30 + 52 = 82 femmes de moins de 50 ans dans
Hommes
Femmes
Total
Inférieur
à 30 ans
42
30
72
l’entreprise, donc f =
Entre 30
et 50 ans
66
52
118
Plus de
50 ans
42
18
60
Total
150
100
250
82
41
=
= 0,328 = 32,8 %.
250
125
b. On compte 66 + 42 + 108 hommes de plus de 30 ans
108
54
dans l’entreprise, donc f =
=
= 0,432 = 43,2 %.
250 125
c. 72 personnes ont moins de 30 ans, d’où :
72
36
f1 =
=
= 0,288 = 28,8 %.
250
125
118 personnes ont entre 30 et 50 ans, d’où :
118
59
f2 =
=
= 0,472 = 47,2 %.
250
125
60 personnes ont plus de 50 ans, d’où :
60
6
f3 =
=
= 0,24 = 24 %.
250
25
La somme des fréquences vaut 1.
La population considérée est
l’ensemble des femmes
d’effectif 100. On prend en
compte les effectifs de la
deuxième ligne du tableau.
Vérifions : 0,288 + 0,472 + 0,24 = 1.
3. a. Parmi les femmes, la fréquence des moins de 30 ans
30
= 0,3 = 30 %.
100
Parmi les femmes, la fréquence de celles qui ont entre 30 et
52
50 ans est donc : f©2 =
= 0,52 = 52 %.
100
Parmi les femmes, la fréquence des plus de 50 ans est
18
donc : f©3 =
= 0,18 = 18 %.
100
est donc : f©1 =
Pour remplir le tableau, on procède
de la même façon pour les hommes
en ne prenant en compte que les
effectifs de la première ligne.
La population considérée est
l’ensemble des personnes de
moins de 30 ans, d’effectif 72.
On prend en compte les effectifs
de la première colonne du
tableau.
4. a. Parmi les employés de moins de 30 ans, la fréquence
Hommes
Femmes
Inférieur
à 30 ans
28 %
30 %
Entre 30
et 50 ans
44 %
52 %
Plus de
50 ans
28 %
18 %
Total
100 %
100 %
30
5
=
= 0,417 = 41,7 %.
72 12
Parmi les employés de moins de 30 ans, la fréquence des
42
7
hommes est donc : f 2¢ =
=
= 0,583 = 58,3 %.
72 12
des femmes est donc : f 1¢ =
b. On procède de même pour les deux autres tranches d’âge.
28,8 %
47,2 %
24 %
Inférieur à 30 ans
Entre 30 et 50 ans
Plus de 50 ans
41,7 %
58,3 %
56 %
44 %
30 %
70 %
F
H
F
H
F
H
193
exercices
Contrôle des notions de base
Sur une calculatrice
1
5
c Pour chaque affirmation, répondre par vrai ou
c a. Entrer dans une calculatrice les 40 nombres de
la liste suivante :
faux.
10 ; 6 ; 7 ; 4 ; 6 ; 13 ; 14 ; 14 ; 4 ; 9 ;
a. La somme des effectifs des valeurs est l’effectif total.
8 ; 11 ; 12 ; 13 ; 13 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 15 ;
7 ; 6 ; 14 ; 11 ; 10 ; 18 ; 7 ; 9 ; 10 ; 4 ;
b. La moyenne sépare la population en deux sousensembles de même effectif.
14 ; 5 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 16 ; 3.
c. L’intervalle interquartile contient la moitié de
l’effectif.
b. Trier les nombres dans l’ordre croissant.
d. Une fréquence est un réel compris entre 0 et 1.
d. Quelle est la somme des nombres de la liste ?
e. L’intervalle ] ⁄ X – s, ⁄ X + s [ contient 50 % de
l’effectif total.
e. Quelle est la valeur moyenne des nombres de
cette liste ?
f. La moyenne est toujours comprise entre la
valeur minimale et la valeur maximale.
c. Quel est l’effectif de la valeur 8 ?
6
a. Recopier sur une calculatrice les données du
tableau suivant :
2
xi
yi
c On considère la liste de notes suivante :
6 ; 9 ; 12 ; 13 ; 11 ; 8 ; 10.
Pour chaque question, déterminer la bonne
réponse.
1. La note médiane est :
a. 10
b. 13
2
3
5
4
8
2
13
5
25
2
b. Dans une liste 3, faire apparaître les produits
xi yi .
c. Dans une liste 4, faire apparaître les réels xi
divisés par la somme des réels yi .
c. 9,8.
7
2. La moyenne est :
a. 10
b. 9,8
a. Recopier sur une calculatrice les données du
tableau suivant :
c. 13.
3
Valeurs
Effectifs
c On considère la liste de notes suivante :
8 ; 9 ; 12 ; 15 ; 13 ; 13 ; 7 ; 10.
Pour chaque question, déterminer la bonne
réponse.
–3
1
4
7
6
14
10
9
15
3
b. À l’aide des fonctions statistiques, donner :
• N, l’effectif de la série ;
• la moyenne de la série ;
• la médiane et les quartiles.
1. La note médiane est :
a. 14
b. 11
c. 10.
c. Dans la liste 3, faire apparaître les fréquences.
2. La moyenne est :
a. 13
b. 10,9
c. 10.
Effectifs – Fréquences –
Représentations
4
8
c On considère la liste de notes suivante :
Notes
Effectifs
8
1
9
4
10
2
12
2
14
1
Un hôtelier a remarqué que, sur l’année 2004,
32 % de ses clients étaient français, 42 % venaient
de la CE, 18 % des États-Unis et les autres de
divers autres pays.
Pour chaque question, déterminer la bonne
réponse.
1. Faire un diagramme circulaire représentant la
répartition des pays d’origine des clients.
1. La note médiane est :
a. 9
b. 9,5
2. Sachant que l’hôtel a eu 31 145 clients en
2004, quel a été le nombre de clients :
2. La moyenne est :
a. 10
b. 10,2
194 Les statistiques à une variable
c. 10.
a. français ?
c. 10,6.
b. venant des États-Unis ?
exercices
CHAPITRE 8
9
c On considère la série statistique suivante :
Valeurs
Effectifs
5
2
7
3
8
7
10
5
11
3
121
c Le graphique indique la répartition des salaires dans
13
2
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;
une entreprise. On dénombre 5 classes différentes.
15
1
a. Calculer l’effectif total.
10
b. Déterminer les fréquences de chaque valeur.
c. Calculer les effectifs cumulés croissants.
d. Calculer les fréquences cumulées décroissantes.
e. Faire une représentation en bâtons.
10
Un pompiste a fait un relevé des types de carburants pris par les 140 clients d’une journée :
Sans plomb 95
Sans plomb 98
Super
Gazole
1 000
c. La répartition en volume a donné les résultats
suivants :
Le tableau ci-dessous présente les espèces animales connues, menacées ou protégées en 2004
pour les vertébrés.
Espèces
Espèces
vulnérables protégées
68
364
39
33
20
524
1. Déterminer pour chaque type de vertébrés le
pourcentage des espèces connues qui sont :
a. vulnérables ;
Effectifs
Une municipalité a fait un relevé statistique des
inscrits aux différentes activités proposées par
l’association sportive :
Volume en litres
1 960
1 660
706
1 614
14
52
4
8
25
103
3 000
13
Sports Danse Natation Tennis Autres
collectifs
Effectifs
180
135
55
78
92
a. Déterminer la fréquence de chaque modalité.
b. Faire un diagramme circulaire et faire un diagramme en barres.
11
121
375
40
40
420
1 000
2 600
b. Justifier que le nombre de salariés de l’entreprise est 200.
Les fréquences en volume correspondent-elles
aux fréquences en clients ?
Mammifères
Oiseaux
Reptiles
Amphibiens
Poissons
Total
2 200
Salaires mensuels (en €)
[1 000 ; 1 400[
[1 400 ; 1 800[
[1 800 ; 2 200[
[2 200 ; 2 600[
[2 600 ; 3 000[
b. Faire une représentation circulaire.
Espèces
connues
1 800
a. Recopier et compléter le tableau suivant :
Fréquence
35 %
27,8 %
12,2 %
25 %
a. Calculer les effectifs de chaque valeur.
Sans plomb 95
Sans plomb 98
Super
Gazole
1 400
b. protégées.
14
Une série est représentée par l’histogramme
donné ci-dessous.
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
6
0
2
4
6
8
10
12
14
a. d’espèces connues ; b. d’espèces protégées.
a. Déterminer graphiquement :
• les différentes classes ;
• les fréquences relatives à chaque classe.
3. Construire le diagramme circulaire des espèces
protégées pour les vertébrés.
b. Sachant que l’effectif de la première classe est
36, déterminer l’effectif de chaque classe.
2. Déterminer en pourcentage les types :
195
exercices
Moyenne – Écart type
191
Le tableau ci-dessous donne les caractéristiques
des résidences principales en France, en 2002.
151
c On considère la série statistique suivante :
Valeurs
Effectifs
2
1
3
5
6
7
9
8
10
5
12
3
15
2
b. Calculer la moyenne.
c. Calculer l’écart type.
d. Déterminer le nombre d’éléments de cette série
appartenant à l’intervalle ] ⁄ X – s, ⁄ X + s [.
161
Voici le relevé des températures des matins de
février :
–2
2
–1
6
0
7
2
5
3
2
5
4
7
2
a. Calculer la température moyenne.
b. Calculer l’écart type.
c. Déterminer le nombre de jours où la température appartient à l’intervalle ] ⁄ X – s, ⁄ X + s [.
171
On considère la série statistique suivante :
Valeurs
Fréquences
1
6
2
3
4 5 et plus
12,3 21,8 25,2
34,7
a. Peut-on calculer avec ces données le nombre
de pièces moyen ?
a. Calculer l’effectif total.
Valeurs
Effectifs
Nombre de pièces
Fréquence
15 18 23 28 32 37 45
3 % 15 % 19 % 27 % 23 % 8 % 5 %
b. Calculer ce nombre ainsi que l’écart type de
cette série en assimilant la dernière modalité à
« entre 5 et 8 pièces ».
201
Le tableau suivant donne le chiffre d’affaires,
en k€, de la société Altan sur six années :
Année 1999
C.A.
205
2000
221
2001
237
2003
219
2004
234
a. Représenter graphiquement cette série chronologique.
b. Calculer le chiffre d’affaires moyen et l’écart
type.
211
c On considère la série statistique suivante :
Classes
Effectifs
[0 ; 4[
2
[4 ; 6[
3
[6 ; 9[
8
[ 9 ; 14 ]
5
a. Calculer l’effectif total.
a. Calculer la moyenne.
b. Calculer la moyenne.
b. Calculer l’écart type.
c. Calculer l’écart type.
221
181
Au cours de son voyage en Indonésie, David a
changé en plusieurs fois les dollars qu’il avait
emportés. Le cours du dollar a beaucoup fluctué
au cours de son séjour.
On peut résumer ses échanges par le tableau suivant :
Valeur du dollar
exprimée en roupies
Nombre de dollars
échangés
Valeur du dollar
exprimée en roupies
Nombre de dollars
échangés
2002
198
9 950
10 245
9 500
9 820
50
100
70
120
9 776
9 850
9 300
9 650
80
75
110
95
a. Déterminer la somme totale de dollars échangés.
b. Déterminer la valeur moyenne, exprimée en
roupies, du dollar pendant le mois de vacances
de David.
Il a rapporté de son voyage pour 850 000 roupies d’achats. À quelle somme en dollars peuton estimer ses achats ?
196 Les statistiques à une variable
Jonathan joue sur son ordinateur à un jeu
d’adresse et note les scores obtenus, en milliers de
points, dans le tableau suivant :
Scores
Effectifs
[0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[
6
12
15
23
Scores
[60 ; 70[ [70 ; 90[ [90 ; 120[ [120 ; 150[
Effectifs
17
13
11
3
a. Déterminer les effectifs cumulés croissants.
b. Déterminer le score moyen et l’écart type.
231
Le tableau donne, en euros, le montant des achats
effectués par 2 000 personnes dans un supermarché un jour donné.
Montants des achats
Effectifs
[0 ;15[
150
[15 ; 30[ [30 ; 50[
380
800
Montants des achats [50 ; 80[ [80 ; 120[ [120 ; 200]
Effectifs
320
300
50
a. Calculer à 0,1 près la moyenne ⁄ X et l’écart type
s de cette série statistique.