Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier d`aide

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
1
I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle.
1) Définitions.
Il existe trois relations entre les côtés d’un triangle rectangle, et un de ses
angles aigus. Nous avons déjà vu en 4ème le cosinus d’un angle aigu.
Soit un triangle ABC rectangle en A et un de ses angles aigus, c
 Cosinus de l’angle aigu c :
cos c = côté adjacent à c
hypoténuse avec 0 < cos c < 1
( L’hypoténuse étant toujours plus grande que le côté adjacent, le
cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ne dépasse pas 1)
 Sinus de l’angle aigu c :
sin c = côté opposé à c
hypoténuse avec 0 < sin c < 1
( L’hypoténuse étant toujours plus grande que le côté adjacent, le sinus
d’un angle aigu dans un triangle rectangle ne dépasse pas 1)
 Tangente de l’angle aigu c :
Tan c = côté opposé à c
côté adjacent à cavec tan c > 0
( la tangente d’un angle aigu peut être supérieure à 1 )

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
2
Sur la figure ci-dessus :
cos b = AB
BC cos c = AC BC
sin b = AC
BC sin c = AB BC
tan b = AC
AB tan c = AB AC
Exemple :
cos m = MP
MN = 6 10 = 0.6
tan n = MP
NP = 8 6
1.33
sin m = PN
MN = 8 10 = 0.8
2) Angles complémentaires.
Puisque ABC est un triangle rectangle en A, c et b sont deux angles
aigus complémentaires. ( c + b = 90 ° ).
On remarque que
cos b = sin c , sin b = cos c , tan b = inverse de tan c = 1
tan c
A
C
B
Hypoténuse
Côté
opposé à c
Côté
adjacent à c
Côté
adjacent à b
Côté
opposé à b
6
10
8
M
P
N

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
3
Prop : Le cosinus d’un angle aigu est égal au sinus de son
complémentaire.
La tangente d’un angle aigu est égale à l’inverse de celle de son
complémentaire.
Exemples :
Si cos 60 ° = 0.5 alors sin 30 ° = 0.5
Si tan a = 4 alors tan ( 90 – a ) = 1
4 = 0.25
sin R = cos S = TS
RS = 9 15 = 3 5 = 0.6
tan S = 12
9 = 4 3 donc tan R = 3 4 = 0.75
3) Avec la calculatrice :
Il faut bien vérifier que la calculatrice est en mode degré.
On peut déterminer une valeur approchée
 soit du sinus, du cosinus ou de la tangente d’un angle donné :
si  = 50 ° alors sin  = ?
on tape sin 5 0 exe la calculatrice affiche 0.7660444
donc une valeur approchée à 0.01 près de sin  est 0.77.
sin  0.77
 soit de la mesure de l’angle aigu dont le sinus, le cosinus ou la tangente
sont donnés.
si tan  = 2 alors  = ?
on tape shift tan 2 la calculatrice affiche 63.434949
ou 2nd
donc une valeur approchée de l’angle  à 0.1 près est 63.4 °
63.4 °
15
12
R
S
T
9

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
4
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
cos
1
0.98
0.94
0.87
0.77
0.64
0.5
0.34
0.17
0
sin
0
0.17
0.34
0.5
0.64
0.77
0.87
0.94
0.17
1
tan
0
0.18
0.36
0.58
0.84
1.19
1.73
2.75
5.67
4) Exemples d’application.
a) Calcul d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Dans le triangle rectangle MON, ( je
connais la longueur MO du côté
opposé à N, et la longueur MN de
l’hypoténuse, donc je peux utiliser le
sinus de l’angle N.)
sin N = OM
MN N = sin – 1 ( 8 17 )
sin N = 8
17 N  28.07°
8 cm
17 cm
M
O
N
?
E
15 cm
7 cm
S
T
?
Dans le triangle rectangle EST, ( je
connais la longueur ES du côté opposé à
T, et la longueur ST du côté adjacent de T
donc je peux utiliser la tangente de
l’angle T.)
tan T = ES
ST T = tan – 1 ( 15 7 )
tan T = 15
7 T  65°
P
I
E
25 cm
19 cm
?
Dans le triangle rectangle PIE, (je
connais la longueur PI du côté adjacent
de P et la longueur PE de l’hypoténuse,
je peux donc utiliser le cosinus de
l’angle P.)
cos P = PI
PE P = cos – 1 ( 19 25 )
cos P = 19
25 P  40.54°

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
5
b) Calcul de la longueur d’un des côtés de l’angle droit.
c) Calcul de la longueur de l’hypoténuse.
d) Problème de synthèse.
1) Calculer BH
2) Calculer BAC
3) Calculer AC.
T
H
E
25 cm
?
24°
Dans le triangle rectangle THE, ( je
connais la mesure de l’angle T, la longueur
TE de l’hypoténuse, et je cherche la
longueur du côté adjacent de T, donc je
peux utiliser le cosinus de l’angle T.)
cos T = TH
TE TH = 25  cos 24
cos 24 = TH
25 TH  22.8 cm
9 cm
?
R
I
Z
32°
Dans le triangle rectangle RIZ, ( je
connais la mesure de l’angle Z, la
longueur RI du côté opposé à Z et je
cherche la longueur RZ de l’hypoténuse,
donc je peux utiliser sinus de l’angle Z.)
sin Z = RI
RZ RZ = 9 sin32
sin 32 = 9
RZ RZ  16.98 cm
RZ  sin 32 = 9
8 cm
15 cm
A
B
C
H