Electromagnétisme, TD n 8, corrigé Transmission par un film mince

Electromagnétisme, TD n◦8, corrigé
Transmission par un film mince
Z
X
d
Einc
Le champ incident est une onde plane monochromatique, de la forme
Einc =Einc eyexp(ikz −iωt), k =ω/c = 2π/λ .
1 Calcul du champ transmis en optique physique
La lame a un indice n'1, et peut-être considérée en première approximation comme un objet de
phase (ce qui revient à dire que le facteur de transmission ta un module égal à 1), introduisant
un déphasage ∆Φ = k(n−1)d.
Pour z > d, le champ transmis s’écrit alors :
Et=Einc exp[ik(n−1)d].
2 Calcul du champ rayonné (diffusé) par le film
a) Equation intégrale pour le champ diffusé
Le champ rayonné par les moments dipolaires induits dans la matière constitue le champ diffusé
par la lame. Le potentiel vecteur associé à ce champ diffusé est donné par l’expression du potentiel
retardé :
Ad(r) = µ0
4πZV
j(r0)exp(ikR)
Rdr0, R =|r−r0|.
1

L’intégrale est étendue au volume Vde la lame. La densité de courant jdans la lame est reliée
au champ électrique par :
j(r) = ∂P
∂t =−iω 0χ(ω)E(r)
où Eest le champ électrique total (incident + diffusé) et χla suceptibilité électrique du matériau.
Pour z > d (vide) , le champ électrique se déduit du potentiel vecteur par une des équations de
Maxwell ∇ × ∇ × Ad=−iω0µ0Ed, et on obtient :
Ed(r) = χ(ω)
4π∇ × ∇ × ZV
E(r0)exp(ikR)
Rdr0
avec E=Einc +Ed.
La calcul de Edà partir de l’intégrale nécessite la connaissance du champ total E(incident +
diffusé) dans le milieu. On n’a donc pas de solution explicite pour Ed. Dans le cas d’un milieu
dilué, nous allons voir que nous pouvons obtenir une solution approchée. Dans le cas d’un milieu
dense, il faudrait établir une autre équation intégrale pour le champ total Edans le milieu, et la
résoudre.
b) Résolution approchée dans le cas d’un milieu dilué
Dans le cas où le milieu est dilué, on a |Ed||Einc|, et on peut faire l’approximation E'Einc
dans la lame. Dans ce cas, le champ diffusé pour z > d se calcule explicitement :
Ed(r) = χ(ω)
4π∇ × ∇ × ZV
Einc exp(ikz0)ey
exp(ikR)
Rdr0
=χ(ω)
4π∇ × ∇ × Zd
0
dz0Einc eyexp(ikz0)Z Z +∞
−∞
dx0dy0exp(ikR)
R
=χ(ω)
4π∇ × ∇ × Einc eyi2πc ωdexp(ikz)
Le terme entre crochet est une onde plane, de sorte que le double-rotationnel se calcule en
utilisant la règle de calcul pour les ondes planes (∇× =ik×). On obtient finalement :
Ed(r) = iω χ(ω)
2cd Einc exp(ikz)ey.
On remarque que le champ diffusé est une onde plane, qui est en quadrature avec Einc (déphasage
de π/2) lorsque la susceptibilité χeest réelle.
3 Origine physique de l’indice optique
a) Le champ transmis par le film est donc :
Et=Einc(z > d) + Ed(z > d) = Einc [1 + ik χ
2d]
Le résultat obtenu dans la section 1 était :
Et=Einc exp[ik(n−1)d]'Einc [1 + ik(n−1)d]
2

L’identification des deux résultats conduit à :
n−1 = χ
2
Cette relation est valable pour |n−1|  1(on a en fait obtenu le développement au premier
ordre de la relation plus générale n2−1 = χ).
b) la relation précédente relie l’indice de réfraction n(grandeur introduite en optique physique
pour décrire une modification de vitesse de phase) et la susceptibilité χ, ou la constante délec-
trique = 1 + χ(grandeurs introduites pour décrire la polarisation de la matière sous l’action
d’un champ électrique).
Dans le calcul de rayonnement, le champ diffusé est obtenu par superposition linéaire des champs
rayonnés dans le vide par chaque élement de volume. La superposition de ces champs rayonnés
et du champ incident (qui tous se propagent avec une vitesse de phase c!) donne l’impres-
sion d’un champ transmis qui a été retardé. L’origine de ce retard de phase est un phénomène
d’interférences.
Dans le cas où nest réel, on peut aussi comprendre l’origine d’un déphasage φentre le champ
transmis (champ total) et le champ incident en construisant les vecteurs de Fresnel. Le champ
diffusé étant en quadrature avec le champ incident, et de module très inférieur, la construction
montre bien l’apparition d’un déphasage φ > 0. Ce déphasage peut s’interpréter comme la
conséquence d’une diminution de la vitesse de phase dans la lame, qui vaut c/n.
Le même mécanisme permet d’expliquer l’effet de peau dans un métal. Lorsque le champ diffusé
vers l’avant est en opposition de phase avec le champ incident, la superposition des deux champs
conduit à des interférences destructives. Ceci a pour effet de diminuer l’amplitude du champ
transmis.
Einc
φ>0 Ed
E
3