Le boson de Higgs et la masse des particules

Université de Caen
LMNO
Le boson de Higgs
et la masse des particules
C. LONGUEMARE
30 octobre 2012
Plan
1. La dualité onde-corpuscule
2. La mécanique classique et quantique
3. La théorie lagrangienne et le principe de moindre action
4. Le photon massif et l’équation de Proca
5. Le fermion massif et l’équation de Dirac
6. Le boson neutre massif et l’équation de Klein-Gordon
7. La symétrie et sa brisure, un exemple, le flambage d’une poutre
8. La théorie électro-faible et les masses des bosons W, Z et γ
9. Les masses de fermions et le couplage au higgs
10. La recherche du higgs au Cern∗
Nous utilisons le système d’unités h̄ = c = 1, sauf exception, pour rendre quelques
formules plus explicites.
∗ http
://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/atlas2011.pdf
0-a
La masse des particules
– définition relativiste
pµpµ = p2 = m2
q
E0 =
m2 + p
~2
– définition "dynamique"
f~
d~v =
dt
m
– définition "énergétique"
E0 = m
(±m)
– définition "ondulatoire"
h̄ω0 = E0
– définition "gravitationnelle"
E0 = m ∼ la géométrie de l’espace-temps
1
La dualité onde-corpuscule
Classique
→
Quantique
~
r(t)
Φ(~
r, t) ∈ H
p
~(t)
~
p
~ = −i h̄ ∇
→
Relativiste
Φ(xµ) ∈ H
pµ = i∂µ
E
E = i h̄ ∂t
~
L(t)
=~
r∧p
~
~ = −ih̄ ~
~
L
r∧∇
~ continus
E et L
~ discrets
E et L
groupe de symétries
représentations dans H
2
Le paquet d’ondes
– L’analyse de Fourier d’une onde
Z
Φ(x, t) =
f (k) exp(−iω(k)t + ikx) dk
∈C
avec ω(k) la relation de dispersion (équation de propagation)
l’argument φ = −ω t + k x est la phase en (x, t)
f (k) ∈ C est l’amplitude pour la valeur k
l’onde est plane, monochromatique si f (k) ∝ δ(k − k0)
– Le paquet d’onde centré en ω0, k0
Z
Φ(x, t) = exp(−iω0 t + ik0 x)
f (k) exp(−iδω t + iδk x) dk
– La vitesse de phase et de groupe
∂ω
ω0
v0 =
|0
u0 =
k0
∂k
– Milieux non-dispersifs : propagation sans déformation !
ω = ±ck
u0 = v0 = c
3
La théorie lagrangienne et le principe de moindre action
Pour une particule dont l’hamiltonien est H(x, p)
– Interprétation de la vitesse de groupe !
E = h̄ ω p = h̄k
donc
v =
∂H
∂ω
=
∂p
∂k
– Interprétation de la phase d’une onde de particule
la phase de l’onde quantique φ = A l’action en unités h̄
H(x, p) = p ẋ − L → A =
R
R
R
L dt = − H dt + p dx
– L’opérateur de "scattering" (d’évolution) pour les ondes
Z
S = exp(i φ) avec φ =
L(x, t) dt dx
avec L(x, t) la densité lagrangienne dans R4
– L’équation de Schrödinger (pour un système au "repos" p = 0 ...)
∂
ih̄
= H
∂t
4
Mesure des masses des particules
figure 1
– Conservation de l’énergie impulsion à l’infini : 1 + 2 → 3 + 4 + 5
P1 + P2 = P3 + P4 + P5
– Par exemple la masse de la particule 3 libre est donnée par
2 = (P + P − P − P )2
=
P
m2
1
2
4
5
3
3
– L’interaction (microscopique) des ondes se traduit par l’amplitude A ∈ C
Lint(x, t) → A
l’amplitude quantique →
proba = | A |2
5
L’équation de D’Alembert et la masse des ondes
1. planes : Φ(x, t) ∝ a exp i(−ω t + k x)


X ∂2
∂2 
ω

−
Φ(x,
t)
=
0
⇒
= ±k ∀ω
2
2 ∂t2
∂x
c
c
i
i=1,3
2. guidées : Φ(x, t) ∝ a(x, y) exp i(−ω t + k z) + limites transverses en x,y


q
X ∂2
ω
2

− k⊥
a(x, y) = 0 ⇒
= ± k2 + kn2
2
∂xi
c
i=1,2
3. stationnaires : Φ(x, t) ∝ a(x, y, z) exp i(−ω t) + limites en x,y,z


X ∂2
ω2 
ω

−
a(x,
...)
=
0
⇒
= ±kn
2
2
∂x
c
c
i
i=1,3
6
Le guide d’onde électromagnétique en mode TE (comme exemple)
– Le guide est un cylindre creux, vide, à section rectangulaire parfaitement conductrice,
limité à
0 < x < a et 0 < y < b enfin − ∞ < z < +∞
~
~
Une onde se propage dans le guide : (E(x,
y, z, t), H(x,
y, z, t))
– Les conditions aux limites sur les conducteurs parfaits sont
Pour x = 0 ou x = a soit Hx = 0 et Ey = Ez = 0
Pour y = 0 ou y = b soit Hy = 0 et Ex = Ez = 0
~
– Equations de Maxwell sur E(x,
y, z, t)
~ =0
div(E)
~ = 0
(∂i2 − ∂02) E
– On distingue les ondes TE, TM et TEM ∗ dans le cas TE


+k2 cos(k1 x) sin(k2 y)

~ ∝ E0 
E
 −k1 cos(k2 y) sin(k1 x)  exp(−iωt + ikz)
0
∗
~ = −∂tB
~ = rot(−∂t A)
~ ⇒ iω B
~ = rot(E),
~ de même, −iω D
~ = rot(H)
~
rot(E)
7
– Avec l’équation de dispersion ω(k)
q
ω(k) = c
2 + k2
k⊥
– Pour satisfaire aux conditions aux limites (transverses) il faut
π
π
2 = k 2 + k 2 = m2
k1 = n
k2 = m
k⊥
γ
1
2
a
b
– La vitesse des ondes (de phase respectivement de groupe) est
q
ω
u0 =
= c
k
2
m2
γ +k
k
v0 =
dω
k
k
= cq
= c2
≤c
2
2
dk
ω(k)
mγ + k
Conclusion avec c = 1
• Le guide ne propage pas les ondes de fréquence trop faible, inférieures à mγ .
mγ ≤ ω
• mγ est la masse classique du photon dans le guide.
p
• La vitesse de groupe est v0 = E
avec p = h̄k et E = h̄ω (vitesse relativiste,
p
cas non-relativiste ∼ m
)
Conclusions physiques
figure 2
– le photon acquière une masse dans le guide si les parois conductrices sont parfaites et le vide absolu.
– La qualité des parois est assurée par des électrons supraconducteurs qui réfléchissent les photons et ceux-ci
se propagent dans la direction z à une vitesse de groupe inférieure à c !
– pour les états « liés« stationnaires avec k = 0 , le spectre d’énergie est discret ω = k⊥
– Les « électrons virtuels« qui assurent la conduction donnent une masse aux photons
h̄
h̄
−1
k⊥ ou k⊥
=
c
mc
La masse est d’autant plus grande que le guide est plus étroit,
−1
k⊥
est la longueur compton d’une particule de masse m.
m =
8
Le boson vectoriel et l’équation de Proca
– Le boson Bµ (ou Aµ) interagit avec une source Jµ(x), le lagrangien s’écrit (équations
de Maxwell) :
1
m2
µν
L = − (F
Fµν ) +
BµB µ − Jµ(x)B µ
4
2
avec Fµν = ∂µBν − ∂ν Bµ
m est la masse
(1)
– L’équation dynamique d’Euler-Lagrange pour le boson B est l’équation de A. Proca
introduite dans les années 50 pour rendre compte de l’interaction forte sur le modèle de
l’électromagnétisme :
∂ 2Bν − ∂ µ∂ν Bµ + m2Bν = Jν
(2)
m2∂ν Bν = ∂ν Jν = 0
- Si le courant Jν est conservé et m 6= 0 le champ B vérifie la condition de Lorentz (4 → 3 degrés de
liberté !)
- Si la masse est nulle, le courant Jν est conservé (invariance de jauge !)
– Par transformation de Fourier, le propagateur du boson libre s’écrira :
³
´−1
2
2
νµ
µ
ν
(p − m )g − p p
=
µ
1
pµ pν
g
−
νµ
(p2 − m2)
m2
¶
avec i∂µ = pµ
9
Le fermion massif et l’équation de Dirac
– Dans le cas d’un fermion massif ψ(x) en présence d’un champ vectoriel Aµ
L = ψ̄ ( i∂ µ γµ − m)ψ (x) − ψ̄ V(x) ψ(x)
le potentiel le plus élémentaire V(x) est la matrice (4,4) = q γ µAµ(x)
– L’équation dynamique d’Euler-Lagrange pour le fermion ψ est l’équation de Dirac
( i∂ µ γµ − m)ψ (x) = V(x)ψ(x) = q [γ µAµ(x)] ψ(x)
(3)
– Par transformation de Fourier, le propagateur du fermion libre s’écrira :
(pγ − m)
−1
pγ + m
avec i∂µ = pµ
=
(p2 − m2)
10
Le boson scalaire, neutre, massif et l’équation de Klein-Gordon
– Dans le cas simple d’un boson scalaire neutre φ(x) qui est sa propre antiparticule
(φ+ = φ) et qui interagit avec S(x), une source de ces bosons
2
1
m
L =
(−i∂µφ i∂ µφ(x)) −
φ φ(x) + S(x)φ(x)
2
2
– L’équation dynamique d’Euler-Lagrange pour le boson B est l’équation de KleinGordon
∂ 2φ(x) + m2φ(x) = S(x)
(4)
– Par transformation de Fourier, le propagateur du boson libre s’écrira :
³
p2
´−1
2
−m
1
avec i∂µ = pµ
=
2
2
(p − m )
11
figure 3
Physique des particules
particules
T (s)
mc2
unités
proton
électron
neutron
muon (µ±)
pion (π ±)
bosons
( W ±)
( Z0 )
photon (γ)
higgs (H0)
constantes
αe
αw
αs
> 3, 1038
> 3, 1031
886,
2, 2 10−6
2, 6 10−8
938, 3
0, 511
939, 6
105, 6
139, 6
(MeV)
3, 11 10−25
2, 64 10−25
∞
∼ 2, 10−22
80, 45
91, 19
0, 0
125, 0
(GeV)
Structure fine EM
Weak interactions
Strong interactions
1/137, 036
1/29, 46
1/8, 5
(GeV)
12
Les hautes énergies pendant 50 ans
date
laboratoire
Energie
1960
1960
1960
1960
1970
1970
1980
1980
1980
1980
1990
2010
Standford SLAC
Orsay LAL
Brookhaven AGS
CERN PS
Chicago Fermi Lab
Standford SPEAR
Cornell CESR
Hambourg DESY
CERN SPS
Chicago Fermi Lab
CERN LEP
CERN LHC
10 GeV
1, 5 GeV
30 GeV
20 GeV
300 GeV
3 GeV
5 GeV
30 GeV
300 GeV
1 T eV
100 GeV
5 T eV
faisceaux
objectif
e−
e− et e+e−
p
p
p
e+e−
e+e−
e+e−
p et p̄ p
p et p̄ p
e+e−
pp
q
ud
ν
sν
ν
cψ
BΥ
g
W Z
W Zt
Z
H0
13
figure 4
–
–
–
–
–
–
L’interaction forte : QCD
Bosons de de jauge : gi avec i = 1, ...8
symétrie SU(3)
L’interaction électro-faible, interaction universelle de Fermi
Bosons de de jauge : γ , Z et W
symétrie initiale SU(2)L * U(1) brisée par le higgs
14
Le flambage d’une poutre (théorie d’Euler)
figure 5
– équilibre : force résultante et moment des forces égaux à 0 :
R(s) = F
[1]
M (s) + F (h − y(s)) = 0 [2]
– étude de la déformation à la section d’abcisse x :
d2θ
dM
= EI
−
ds
ds2
Z
[3]
avec
I =
section
(x2
⊥ )dσ
15
– en dérivant l’équation 2 puis en comparant
dM
= F sin(θ)
ds
d2θ
⇒ = −EI
ds2
– intégration :
1 dθ 2
F
( ) =
(cosθ − cosθl )
θ < θl
2 ds
EI
– Conclusion : l’ équilibre avec θ(s) 6= 0 n’est possible que si
s
F
π
π 2EI
l > ( ) soit F > FE =
EI
2
4l2
La symétrie de rotation autour de Ox est brisée quand F passe par cette valeur car la
solution θ ≡ 0 devient instable. Il existe une infinité d’équilibres possibles engendrés par
action de la symétrie (la rotation Ox).
– A partir d’un état unique, on passe à une infinité d’états possibles mais un seul est
observé, celui-ci est quasi-stable, la dynamique du système n’est pas déterministe et
l’application de la symétrie permet de passer d’un équilibre à un autre ; il est cependant
nécessaire que l’action extérieure (la force et son point d’application) subisse la même
transformation .
L’invariance de jauge de l’électromagnétisme :
– Le champ du photon est un boson vectoriel de masse nulle noté Aµ qui interagit avec
un courant Jµ(x), le lagrangien s’écrit :
µν F ) − J (x)Aµ
L = −1
F
(
µν
µ
4
avec Fµν = ∂µAν − ∂ν Aµ
L est invariant dans la transformation de jauge
Aµ → Aµ + ∂µα(x)
– L’équation dynamique d’Euler-Lagrange pour le photon Aµ est
l’équation de Maxwell
∂ 2Aν − ∂ν ∂ µAµ = Jν
– La masse du photon est nulle donc
le courant Jν est conservé
∂ ν Jν = 0
l’invariance de jauge conserve la condition de Lorentz
∂ µAµ = 0
conséquence :le photon libre n’a que deux degrés de liberté
16
L’invariance de jauge commutative de QED
– La théorie QED est fondée sur le lagrangien L(x)
1
Fµν . F µν (x) + ψ̄ {γµ(i∂ µ − qAµ) − m} ψ(x)
L(x) = −
4
– Interaction minimale ! i∂µ → pµ = i∂µ − qAµ
– la transformation de jauge : U (1)

∀ α(x) ∀x


ψ
Aµ
Fµν




→
(5)

exp(−i qα) ψ

Aµ + ∂µα

Fµν
– Remarque
Fµν est égal à ∂µAν − ∂ν Aµ mais aussi à iq −1 [pµ, pν ]
17
Généralisation de l’invariance de jauge (le cas non-commutatif)
– Généralisation U (α) : représentation d’un groupe de Lie (éventuellement unitaire)
U (α) = exp(−igτ (α)) = 1 − igτ (α) + O(α2)
avec g ∈ R une constante (de couplage), positive, arbitaire (nulle ?).
– Les théories de Yang Mills pour B µ (un vecteur) et ψ (un spineur 1/2)
1
Trace{τ (Gµν )+.τ (Gµν )}(x) +
L(x) = −
4
ψ̄{γµ(i∂ µ − gτ (Bµ)) − m} ψ(x)
– Interaction minimale !∗
(6)
i∂ µ → pµ = i∂ µ − gτ (Bµ)
τ (Gµν ) = τ (Bµν ) + ig [τ (Bµ), τ (Bν )]
– Transformation de jauge † : U (α) au premier ordre en α

∀ α(x)
∗B
µν

ψ
 τ (Bµ) 
τ (Gµν )

→
(1 − ig τ (α)) ψ
 τ (Bµ + ∂µα) − ig[τ (α), τ (Bµ)]  + O(α2)
τ (Gµν ) − ig[τ (α), τ (Gµν )]
= ∂µ Bν − ∂ν Bµ mais aussi τ (Gµν ) =
† remarque

i
g
[pµ, pν ]
(1 − igτ (α))A(1 + igτ (α)) = A − ig[τ (α), A] + O(α2 )
18
Retour sur le modèle standard (SM )
– A la base, il y a
l’invariance de Lorentz
N
le groupe de symétrie SU(2) U(1) (Electro-faible) puis SU(3) (forte)
l’invariance de jauge (tous les B µ sont de masses nulles)
L = Lboson(W ) + LDirac(ψ, W ) + +Lboson(φ, W ) + LYukawa(φ, ψ)
– Les interactions sont générées par la transformation :
i∂ µ → i∂ µ − g TaBaµ
Ta sont les générateurs du groupe de symétrie.
N
– la symétrie électro-faible SU(2) U(1) est brisée dans le secteur des bosons φ (...
de Higgs) les W acquièrent une masse !
φ0 = H0 + Cte
Lboson(φ, W ) → [L(...) + Lmasses(W )]
– enfin des interactions de "Yukawa" invariantes permettent d’attribuer des masses aux
fermions ψ par le même mécanisme
LYukawa(φ, ψ) = −gf (ψ̄ ψ) φ → L(...) + Lmasses(ψ)
19
Retour sur la symétrie électro-faible
– Weinberg choisit le groupe SU(2)L

ψ =

N

U(1)Y qui agit sur

νL
ψ1
 
 
ψ2 ≡  eL 
ψ3
eR
ψ̄ =
³
ψ̄1, ψ̄2, ψ̄3
´
SU(2)L agit sur le composante (1,2)
U(1)Y agit sur (1,2,3) avec des hypercharges notées Y .∗
particule
νL
eL
eR
T3
1/2
−1/2
0
Y
−1/2
−1/2
−1
Q = T3 + Y
0
−1
−1
– Cette symétrie permet d’introduire quatre champs vectoriels
Deux bosons W ± responsables des interactions faibles
Le photon γ responsable des interactions électromagnétiques
Le boson Z 0 responsable des interactions faibles neutres (GGM 1974)
∗ la
définition utlisée ici pour l’hypercharge vaut
1
2
la définition conventionnelle (voir la littérature)
20
L’interaction électro-faible invariante
– L’interaction entre les fermions et les bosons est entièrement définie par la prescription
d’invariance de jauge, les symétries et les couplages (g et g 0). La confrontation avec
l’expérience va demander environ 20 ans (il aura fallu au préalable étendre ce modèle
aux quarks (hadrons).
Lint = −g ψ̄ (TaγµWaµ) ψ
− g 0ψ̄ (Y γµB µ) ψ
a=1,2,3
avec Ta = σ2a et Y la matrice scalaire d’hypercharge.
– L’équation de Lagrange-Euler pour les fermions ψ :
( i∂ µ γµ − m)ψ (x) = V(x) ψ(x)
(7)
µ
avec V(x) = g (TaγµWa ) + g 0 (Y γµB µ)
21
– Explicitons : T (W ) = TaWa
(g T (W )) =
(g 0 Y B) =
a=1,2,3


W3
(W1 − iW2 ) 0
g (W + iW )

−W3
1
2
2
0
0
0


g0 
2
−B 0
0

0 −B
0 
0
0 −2B
– Interprétation physique, la rotation de Weinberg : cos(θW ) = √gg+g
2
µ
W+
W−
¶
µ
1 +i
= √12 1 −i
µ
µ ¶
A
√1
=
Z
g 2 +g 02
¶µ
g
g0
−g 0 g
W1
¶Wµ2
02
¶
B
W3
¶
– Une transformation du groupe de Lie s’écrira
U (α) = exp(−igτ (α)) = 1 − igτ (α) + O(α2)
³
´
avec gτ = gT1 gT2 gT3 g 0Y
– La géométrie et la dynamique sont liées par le potentiel qui s’écrit :
V(x) = g T (γµW µ) + g 0 (Y γµB µ)
Le secteur des bosons de Higgs et la brisure de symétrie
– Les bosons scalaires φ de Higgs-Weinberg s’ajoutent aux fermions dans le SM
particule
φ
φ+
φ0
T3
1/2
−1/2
Y
+1/2
+1/2
Q = T3 + Y
1
0
– Le lagrangien quantique relativiste pour ces bosons scalaires chargés sur lesquels s’applique l’invariance de jauge SU 2 ⊗ U 1 s’écrit :
2
m
1
φ +
L = [(i∂µ − τ (Wµ)) φ]+[(i∂µ − τ (Wµ)) φ] −
φ φ + ...
2
2
avec
Ã
τ (Wµ) = gTaWaµ
+ g 0Y B
+ g 0B
(8)
!
1
gW3
g(W1 − iW2)
µ =
2 g(W1 + iW2) −gW3 + g 0B µ
– Brisure de la symétrie
φ0
→
H0
v
+√
2
22
Les masses de bosons de jauge W Z et γ
– Les termes de masses du lagrangien
1 v 2 × [| g(W − iW
2 + | ¡gW − g 0 B ¢ |2 ]+
L = ... + 2
|
(
)
1
2
3
8
¡ 0
¢ 2
0× | g W3 + gB | +...
particule
masse
W±
W1√
±iW2
2
(v/2) g
Z0
gW3 −g 0 B
g̃
(v/2) g̃
A
g 0 W3 +gB
g̃
0
avec g̃ =
p
g 2 + g 02
et
cos(θW ) =
MW
g
=
g̃
MZ
23
Les masses de fermions
– Interaction de "Yukawa" invariante de jauge ∗
L = −gf (ψ̄ ψ)φ + ...
– effet de la brisure de symétrie
φ0 → H 0 + √v ⇒ L = −gf (ψ̄ ψ)H 0 − mf (ψ̄ ψ) + ...
2
mf = gf √v
2
soit
m
gf = 174f,0
avec mf en GeV
†
particule
gf
ν/e
u/d
c/s
t/b, Z, W
≤ 10−6
∼ 10−3
∼ 10−2
0.1 − 1.
nbr evts
2011
0
0
∼1
∼ 104
∗ on
peut former un iso-scalaire (scalaire par rapport à U ) avec les fermions gauches (1/2) et les bosons de
Higgs (1/2) ainsi qu’ un scalaire de Lorentz avec les fermions gauches et droits.
†à
la luminosité L de ∼ 5 fb−1 , c’est à dire qu’une section efficace de 2 pb donne 10 000 événements.
24
Conclusion
La recherche du higgs au LHC est orientée par ses propriétés
résultats∗ du CERN en 2011 avec L ∼ 5 fb−1
1 le higgs est neutre (∼ propriétés du vide)
2 la masse des particules est proportionnelle à la constante de couplage gf
3 il est couplé aux paires de bosons ou de fermions : Z W t/b et peut-être c/s
4 si sa masse n’est que de 125 GeV, sa durée de vie est relativement grande 10−22 s
et l’on peut se poser la question de mesurer sa largeur ou de tester sa distance de vol
à très haute énergie.
∗ http
://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/atlas2011.pdf
25
paramétre
modèle standard de W&S
valeurs admises
GF
√
2
g 2 /4 2MW
1, 166 10−5 GeV −2
g̃
p
e = (4πα)
p
g 2 + g 02
sin(θW )cos(θW )g̃
θW
v
.7345
0, 303
27, 8
√
( 2 GF )−1/2
cos(θW )
246, 3 GeV
0, 8846
g0
g̃ sin(θW )
0, 3426
g
g̃ cos(θW )
0, 6497
MW ±
(v/2) g
80, 00 GeV
MZ 0
(v/2) g̃
91, 56 GeV
MA
0
0
références
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