ECON 207-PARTIE II Probabilité- LEC3/1

ECON 207-PARTIE II
Probabilité- LEC3/1
R.Dayangaç
November 1, 2016
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CH II Variables Aléatoires
1
Qu’est-ce qu’une variable aléatoire (VA)?
2
V.A. Unidimensionelle Discrete et Continue
3
Exemples
4
Références pour la Partie II
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On sait qu’une fonction de probabilité est une mesure de l’espace
fondamentale dans l’intervalle [0, 1]
On peut attribuer aux réalisations de l’espace fondamentale une valeur
réelle x (une mesure quantitative de la réalisation)
Cette correspondance est la variable aléatoire X .
Sachant qu’il est définie une mesure de probabilité de l’espace
fondamentale dans [0, 1], alors chaque valeur de X va aussi avoir une
probabilité associée.
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Definition
Une variable aléatoire X est une mesure réelle dans l’espace fondamentale
Ω.
On va distinguer les v.a. associés à un espace fondamentale selon les
caractéristiques des réalisations et selon le nombre de dimension que les
résultats sont observés.
Discret vs. Continue
Unidimensionnelle vs. Multidimensionnelle
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Example
On lance trois pièces de monnaie simultanément.
Quel est l’espace fondamentale Ω ?
Quel mesure quantitative peut-on définir sur les réalisations?
P(X = x) = k, k ∈ [0, 1] ?
LHS ==> x est la valeur réelle associé à la réalisation ”..............” ;
P(.) est la fonction de proba. qui retourne une valeur dans [0, 1]
RHS ==> k est la probabilité associée
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V.A. Unidimensionelle Discrète I
Definition
X est une v.a. discrete si elle prend seulement un nombre fini de valeurs
x1 , x2 , ...xn sur l’axe des x et a une fonction de probabilité P(X = x)
définie pour ∀x dans l’espace fondamentale telle P
que la probabilité d’un
événement quelconque A est donné par P(A) = A P(X = x).
Propriétés
i ) P(X = xi ) ≥ 0
P
ii )
Ω P(X = xi ) = 1
P
iii ) P(a < X ≤ b) = bi>a P(X = xi )
iv ) La fonction de répartition de X est notée F (X ),
X
F (x) = P(X ∈ (−∞; x]) =
P(X = xi )
xi ≤x
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V.A. Unidimensionelle Discrète II
Definition
Une séquence d’essais indépendants ayant seulement deux résultats
possibles pour chaque essaie, comme succès et échec, et une probabilité de
succès p constant, est dite un essais de Bernouilli.
On peut maintenant introduire deux distributions de probabilité qui se
dérivent d’une séquence d’essaies de Bernouilli: la loi binomial et la loi
géométrique
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V.A. Unidimensionelle Discrète III
Definition
La v.a. discrète X qui est le numéro de l’essaie où on obtient le premier
succès, dans une séquence de n essaies de Bernouilli est dite une v.a.
géometrique. La distribution de probabilité de X s’écrit alors,
P(X = k) = (1 − p)k−1 p , k = 1, 2, 3, ...n
où p est la probabilité constante de succès.
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V.A. Unidimensionelle Discrète IV
Definition
La v.a. discrète X qui est le nombre de succès dans une séquence de n
essaies de Bernouilli est dite une v.a. binomiale. La distribution de
probabilité de X s’écrit alors,
n
P(X = k) =
(1 − p)n−k p k , k = 1, 2, 3, ..n
k
où p est la probabilité constante de succès.
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V.A. Unidimensionelle Discrète V
Definition
La v.a. discrète X suit une loi uniforme si es valeurs de X sont finis et
équiprobable telle que pour X ∈ x1 , x2 , x3 , ....., xn ,
1
pour ∀i, i = 1, 2, 3, ..n
n
où p est la probabilité constante de succès.
P(X = xi ) =
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V.A. Unidimensionelle Continue I
Definition
X est une v.a. continue s’il existe une fonction f (.) non-negative et
intégrable dans R définie pour ∀x dans −∞ < x < ∞ et telle que la
probabilité d’un événement quelconque A est
Z
P(A) =
f (x)dx
A
f (x) est dite la densité de X
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V.A. Unidimensionelle Continue II
Definition
Si X est une
R x v.a. continue et f (x) est non-négative et intégrable dans R
telle que −∞ f (t)dt = F (x) pour ∀x,
Z
P(a ≤ X ≤ b) =
b
f (t)dt = F (b) − F (a)
a
F (x) est la fonction de répartition ou la densité cumulative de X .
Pour F (x) continue et différentiable dans R et
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dF
dx
= f (x),
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Remarque: V.A. Mixe
Dans certains cas, la v.a. peut être continue sur une intervalle et peut aussi
assumer des valeurs discrets tout au long de l’intervalle des valeurs
possibles. Alors, le graphique de la distribution va avoir des parties
continues mais aussi des sauts ou des points discrets.
Une telle variable est appelée une v.a. mixe.
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Example
On lance une monnaie trois fois. On veut établir la distribution du nombre
de face obtenu.
a) Définir la va. X associée.
b) Donner la fonction de distribution de probabilité P de X et faire son
graphique.
c) Donner la fonction de répartition de X et faire son graphique.
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[0, 1]
ΩX
Ω
1
8
FFP
PPP
0
FPF
PFF
1
3
8
PPF
FPP
2
3
8
3
1
8
P
FFF
PFP
Figure: Lancement d’une piece de monnaie 3 fois
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X est la v.a. associé et les valuers possibles de X sont données par
ΩX = 0, 1, 2, 3. La fonction de distribution de probabilité pour X est,
 1
pour x = 0


 83
x =1
8 pour
P(X = x) =
3
pour
x =2


 81
x =3
8 pour
La fonction de répartition pour X est,

0 si




 18 si
4
F (x) = P(X ≤ x)
8 si

7

si


 8
1 si
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x <0
0≤x <1
1≤x <2
2≤x <3
x ≥3
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P(x)
0.5
0.38
0.25
0.13
0
1
2
X
3
4
Figure: La distribution de probabilité de X
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F (x)
1
0.75
0.5
0.25
−2
−1
0
1
2
3
4
5
X
Figure: La fonction de répartition de X
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Example
a)
b)
c)
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Voir les TD 3, TD4 pour les exercices résolues.
Ch IV-V dans
Sheldon, Ross (2004), Introduction to Probability and Statistics for
Engineers and Scientists, Third Edition, Elsevier Academic Press.
Ch II-III dans
Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis (2008), Introduction
to Probability, Second Edition, Athena Scientific.
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