Bilan proba (arbre, binom)

BILAN probabilités : arbres, variable aléatoire, loi binomiale
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment
tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur
un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
• si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
• si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser
le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note :
M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T l’évènement : « le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. (justifier toutes les probabilités)
2. Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.
Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? Arrondir au millième.
4. On choisit vingt animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme
indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise.
On note X la variable aléatoire qui, aux 20 animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test
positif. Dans les questions suivantes, arrondir à 10-4 près.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des vingt animaux ait un test positif ?
c. Quelle est la probabilité pour que 4 animaux aient un test positif ?
d. Quelle est la probabilité pour que plus de 5 animaux aient un test positif ?
e. Calculer l’espérance de X et interpréter par une phrase.
5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 € et le coût de
l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 €.
Quand un animal n’est pas malade et a un test négatif, il est vendu 250 €.
On suppose que le test est gratuit.
On note Y la variable aléatoire qui donne la recette par animal subissant le test.
a. Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de Y :
Recette yi
250
- 100
- 1 000
P (Y = yi)
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y.
c. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes.
Si tout le troupeau est soumis au test, quelle recette peut-il prévoir ?

Correction
1.
0,85 T P(
!
M
) = 1 – P(M) = 0,99
0,01 M PM (
!
T
) = 1 – PM (T) = 0,15
0,15
!
T
!
P MT
( )
=1"P MT
( )
= 0,05
0,05 T
0,99
!
M
0,95
!
T
2. a P (M ∩ T) = P(M) × PM (T) = 0,01 × 0,85 = 0,0085
b. M et
!
M
forment une partition des bovins.
D’après la formule des probabilités totales,
P (T) = P (M ∩ T) + P (
!
M
∩ T) = 0,0085 + P (
!
M
) ×
!
P MT
( )
= 0,0085 + 0,99 × 0,05 = 0,0085 + 0,0495 = 0,058
La probabilité que le test soit positif est 0,058.
3.
!
P
TM
( )
=P M "T
( )
P T
( )
=0,0085
0,058 #0,147
4. a. On répète 20 fois de manière identique et indépendante l’épreuve de Bernoulli « choisir un bovin », de succès
« le test est positif».
La probabilité du succès est p = P (T) = 0,058
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et
p = 0,058.
b. P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,94220 ≈ 0,6973
c. P(X = 4) =
!
20
4
"
#
$
%
&
'
× 0,0584 × 0,94216 ≈ 0,0211
d. P (X > 5) = 1 – P (X ≤ 5) ≈ 0,0007
e. E(X) = np = 1,16
En moyenne, sur 20 bovins, environ 1 animal a un test positif.
5. a. P (Y = -100) = P (T) = 0,058 P (Y = -1 000) = P (M ∩
!
T
) = 0,0015
P (Y = 250) = P(
!
T
∩
!
M
) = 0,9405
b. E(Y) = 250 × 0,9405 - 100 × 0,058 – 1 000 × 0,0015 = 227,825
c. 200 × E(Y) = 45 565
L’éleveur peut espérer une recette de 45 565 €.