Chapitre 09 : PROBABILITÉS

Chapitre 09 :
PROBABILITÉS
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I) Expérience aléatoire :
1) Définitions : Expérience aléatoire - Issue
Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats, non tous identiques, sont prévisibles mais
dont on ne connaît pas à l'avance lequel va se produire.
Les résultats possibles de l'expérience sont appelés issues.
Exemple :
On effectue l'expérience suivante :
« On lance un dé à 6 faces et on note le nombre de points inscrits sur sa face supérieure. »
Cette expérience admet 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5, et 6.
Le résultat de l'expérience est uniquement dû au hasard, il s'agit d'une expérience aléatoire.
2) Propriété :
Lorsqu'on répète une expérience aléatoire, le résultat ne dépend pas des résultats des expériences réalisées
précédemment.
Exercice :
Bien qu'ayant lancé 4 fois de suite un dé à 6 faces et ayant obtenu un nombre pair à chaque lancer, il n'est pas possible de
déterminer si l'on obtiendra un nombre pair au prochain lancer : le 5ème lancé peut aboutir à un nombre pair ou impair.
3) Définition : Evénement
Un événement est une condition qui, selon l'issue de l'expérience aléatoire, est réalisée ou non. Il peut être
constitué d'aucune, d'une ou de plusieurs issues de l'expérience.
Un événement élémentaire est un événement constitué d'une seule issue.
Exemple :
On considère :
l'événement A : « On a obtenu un quatre »
l'événement B : « On a obtenu un nombre impair »
l'événement C : « On a obtenu un sept»
L'événement A est constitué de la seule issue : « 4 » :
L'événement A est un événement élémentaire.
L'événement B est constitué de trois issues : « 1 », « 3 » et « 5 » :
L'événement B N'est PAS un événement élémentaire.
,
et
L'événement C N'est constitué d'AUCUNE issue.
09. PROBABILITÉS
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II) Probabilité d'un événement :
1) Propriété – Définition : Probabilité
Lorsque l'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence à laquelle se
réalise un événement se rapproche d'une « fréquence théorique » appelée probabilité.
La probabilité d'un événement A se note p(A)
Exercice :
En lançant une pièce non truquée un très grand nombre de fois, on constate que l'on obtient « pile » quasiment une fois
sur deux.
1
Autrement dit, la fréquence d'apparition de « pile est sorti » se rapproche de
.
2
1
On dit que la probabilité de l'événement « pile est sorti » est
= 0,5.
2
On note : p(pile est sorti) = 0,5.
2) Propriétés :
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Un événement dont la probabilité est nulle (égale à 0) est un événement impossible.
Un événement dont la probabilité est égale à 1 est un événement certain.
La somme des probabilités d'obtenir chaque issue est égale à 1.
Exemples :
Dans un jeu de carte classique de 32 cartes,
1. l'événement « tirer un as OU un trèfle » est réalisé lors d'une des 11 issues :
•
as de cœur,
•
as de pique,
•
as de carreau,
•
as de trèfle,
•
7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi de trèfle
Il y a donc onze fois 1 chance sur 32 de tirer un as ou un trèfle, soit une probabilité de
11
.
32
0 ≤ p(tirer un as OU un trèfle) ≤ 1
2. l'événement « tirer un 2 » est impossible dans un jeu classique de 32 cartes.
p(2) = 0.
3. En lançant un dé de 6 faces,
la probabilité de l'événement « obtenir un résultat inférieur à 7 » est de 1, c'est un événement certain.
p(obtenir un résultat inférieur à 7) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1.
3) Définition : Equiprobabilité
Pour une expérience aléatoire, lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit
qu'il s'agit d'une situation d'équiprobabilité (même probabilité).
Exemple :
En lançant un dé de 6 faces, il y a autant de chance d'obtenir chacune des issues :
1
p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = .
6
Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité.
09. PROBABILITÉS
2
4) Propriété : Règle de Laplace
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est égal au quotient :
nombre d'issues favorables à l'événement A
p(A) =
nombre d'issues possibles
Exemple :
Sur la roue ci-contre, il y a 6 secteurs dont 3 avec l'inscription A.
Si l'on fait tourner cette roue, la probabilité de l'événement :
3
« Obtenir un A » est de .
6
III) Evénéments incompatibles – Evénements contraires :
1) Définition : Evénements incompatibles
Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps sont dits incompatibles.
Exercice :
En lançant une pièce, les événements :
A : « Obtenir pile » et B : « Obtenir face »
sont incompatibles, il n'est pas possible à l'issue d'un lancé d'obtenir à la fois pile et à la fois face.
2) Propriété :
Si deux A et B sont incompatibles, alors la probabilité que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme
des probabilités de ces événements :
p(A ou B est réalisé) = p(A) + p(B)
Exercice :
En lançant un dé équilibré de 6 faces numérotées de 1 à 6, les événements :
A : « Obtenir un 1 » et B : « Obtenir un 6 »
sont incompatibles, il n'est pas possible à l'issue d'un lancé d'obtenir à la fois 1 et à la fois 6.
p(A ou B réalisé) = p(A) + p(B)
1
1
=
+
6
6
2
=
6
3) Définition : Evénement contraire
L'événement contraire d'un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
̄ .
On le note : non A ou A
Exercice :
On lance un dé équilibré de 6 faces numérotées de 1 à 6,
On considère l'événement A : « Obtenir un 1 »
̄ est défini par : « Obtenir n'importe quel nombre sauf un 1 ».
L'événement A
Il est composé de 5 issue : 2, 3, 4, 5 et 6.
̄ )= 5
On obtient :
p( A
6
09. PROBABILITÉS
3
4) Propriété :
La somme des probabilités de A et de son contraire est égale à 1 :
̄ )=1
p(A) + p( A
Autrement dit :
̄ ) = 1 – p(A)
p( A
Exercice :
En considérant les événements A et
̄ )= 1 + 5 = 6 =1
p(A) + p( A
6
6
6
ou encore :
̄ ) = 1 – p(A) = 1 – 1 = 6 –
p( A
6
6
̄ de l'exemple précédent, on obtient :
A
1
5
= .
6
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IV) Expériences aléatoires à deux épreuves :
1) Définition : Arbre de probabilité
En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité pondéré est un schéma permettant de résumer une
expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.
Exercice :
On lance une pièce de monnaie, puis on tire une boule d'une urne contenant 5 boules rouges et 1 boule verte.
On peut représenter cette expérience à deux épreuves à l'aide d'un arbre pondéré.
Pièce
1/2
1/2
Urne
5/6
Rouge
1/6
Vert
5/6
Rouge
1/6
Vert
Pile
« Obtenir Face puis Rouge »
Face
2) Propriété :
Dans un arbre de probabilité pondéré, la probabilité de l'événement auquel conduit un chemin est égale
au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
p(A ou B est réalisé) = p(A) × p(B)
Exercice :
Dans l'exemple précédent,
p(Obtenir Face, puis Rouge) =
1
5
5
×
=
.
2
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09. PROBABILITÉS
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