Un théorème sur les suites de variables aléatoires

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ
LAURENT SCHWARTZ
Un théorème sur les suites de variables aléatoires
Symposia Mathematica, vol. II (INDAM, Rome, 1968),
London: Academic Press, 1969, p. 203-209.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
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Istitnto Nazionale di Alta Matematica
Symposia Mathematica
Volnme II (1968)
THÉOKÈME SUR LES SUITES DE
VAEIABLES ALÉATOIRES (*)
LAURENT SOHWARTZ
Dans des notes antérieures (*), nous avons montré le théorème
suivant :
THÉORÈME 0. Soit XQ , X±,..., Xn ,..., une suite de variable*
aléatoires réelles, dont l'enveloppe convexe soit bornée en probabilité.
00 / 1 I \
Si les a„ sont des nombres réels tel que 2 | a» 111 + log -j r- ]<-|-oo,
00
la série 2 | an Xn | est presque sûrement convergente ; la condition sur
les an est la meilleure possible.
Nous avons alors donné une démonstration de cette propriété
s'appuyant sur la théorie des mesures cylindriques ; c'est la voie
naturelle, le résultat s'interprète d'ailleurs naturellement en disant
que l'application (œn)n
e « |—>
(an ocn)n
e « de
Z°°, muni de la topologie
0 (J°° 1
1% dans ll, est radonifiante ; en outre, les généralisations
raisonnables de cette propriété à des espaces de Banach autres
que les lp s'expriment dans le langage des mesures cylindriques.
Toutefois nous allons donner ici une démonstration directe du théo-
rème énoncé, par des méthodes probabilistes classiques.
Précisons d'abord l'énoncé. On partira d'un espace de probabi-
lités (Ö, JU) ; la ^-mesure d'un événement A c Q sera sa probabilité.
(#) 1 risultati contenuti in qnesto lavoro sono stati esposti nella conferenza
tennta l'll marzo 1968.
(£) Notes anx Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, t. 265, série A,
1967, p. 832-834; t. 266, série A, 1968, p. 7-9 et p. 50-52.
On y trouvera des références à d'autres travaux récents, de Dudley, Ba-
drikian. Les notes signalées contiennent un indice p , 1 <jp < 2 ; nons ne parlerons
ici que du cas p = l, mais on peut faire de même pour les autres.

204 LAÜRENT SCHWARTZ - Un théorème sur les suites etc.
Une variable aléatoire réelle relative à (£, fi) sera une /^-classe de
fonctions réelles /j-mesurables sur Q. L'espace de ces variables
aléatoires sera noté L° {Q, ju) ; il sera muni de la topologie de la con-
vergence en mesure ou en probabilité, qui le rend métrisable com-
plet. Une suite de variables aléatoires Xn converge vers 0 en proba-
bilité, si, quel que soit s > 0, ^({coefl; \Xn(œ)\> e}) tend vers 0
pour n infini.
Une partie JB de L° (Q ; ju) est bornée, si, pour tout e > 0, il
existe M>0 tel que, pour toute XÉJB, p ({cotQ ; \X(co)\>M})<e.
Comme L° (Q, ju) n'est pas localement convexe, l'enveloppe convexe
d'une partie bornée n'est pas nécessairement bornée ; c'est pourquoi
la précision de l'énoncé donné plus haut sur l'enveloppe convexe
de la suite des Xn est importante.
THÉORÈME 1. Soit (Xtt)W£« une suite de variables aléatoires
réelles sur (û, /*), indépendantes, suivant toutes la loi de Cauchy, de
densité — -—;—s . Alors :
n î-f- #
1) 1?enveloppe convexe de la suite des Xn est bornée dans
uu
2) La série 2 | an Xn \ converge presque sûrement ou diverge
presque sûrement, selon que 2 | an | (l+ l°g i r ) converge ou
diverge.
oo
3) Si 2 | an | = + oo , il est presque sûr que la suite des
n=0
oo
| an Xn | n'est pas bornée ; si 2 \ an | < + °° j ^ ^érie
w=0
— | an | (l + log
est presque sûrement convergente.
L'idée de ce théorème m'est venue d'un contre exemple de Dudley,

LAÜRKNT SCHWARTZ - Un théorème sur les suites etc. 205
DÉMONSTRATION.
Démonstration è 1) La loi de Caucby donnée ci-dessus sera la
loi normale de Oauchy, ou de paramètre 1 ; la loi de paramètre
a 1
a > 0 est définie par la densité
9 ^.
Pour cette loi, la pro-
babilité pour que la variable soit, en module, > Jf, est
+OO +OO
2a C dx _ 2 C dt _^
-^J x* + a? -—] f+12-
M M
+OO +OO
2a C dx 2 C dt 2 a 2 a
] + — Arctg —< — — .
M
La fonction caractéristique de la loi de Cauchy de paramètre a est
11—> era
ul 5
on en déduit que la somme de variables indépendantes»
suivant des lois de Oauchy de paramètres a0 , ai,..., an , est une
loi de Oauchy de paramètre a0 -f- a± -|- ... -f- an .
Dans Fhypothèse de 1), si donc c0 , c1,..., en , sont des nombres
réels tels que | eQ | + | o± | + ... + | cn \ ^ 1, c0X0 + cAXi +... + cnXn
suit une loi de Oauchy de paramètre | c0 \ + | ci \ + ... + | cn \ < 1,
2 1
et la probabilité pour qu'elle dépasse M en module est < — ;
on en déduit aussitôt que Pensemble de toutes ces variables aléa-
toires, lorsque n et les Ck , le <ç, n, varient avec 2 \ Ck \ < 1, est borné
Jfc=0
en probabilité ; donc Fenveloppe convexe de la suite des Xn est
bornée en probabilité.
Démonstration de 3). Pour M donné, la probabilité pour que
1 2 I a I °°
anXn\ > M est — Arctg ' " ' . Donc, si 2 \ an | = + OD , on aura
n M
n==0
oo
2 ju ( {co € Q ; | an Xn \ > M} ) = + °° ? ©t, comme les variables Xn
n=0
sont supposées indépendantes, le lemme de Borel-Cantelli prouve
que, presque sûrement, | an Xn \ est une infinité de fois > M ; la
suite des | an Xn \ est presque sûrement non bornée.
oo
Supposons maintenant Z \ an | < + °° • Alors presque sûrement
| an Xn | est < 1 pour n assez grand. Soit Yn la variable aléatoire
définie par : Yn {co)= \ anXn(co) | si | <*nXn(co) \ <1, 0 si | anXn(co) | >1.
Alors presque sûrement Yn=\anXn\ pour n assez grand, mais on

206
LAURENT SCHWARTZ - Un théorème sur les suite» etc.
a toujours 0<Yn<l . Montrons que la série 2 {Yrk—E{Yn)) est
presque sûrement convergente. Comme ses termes sont des varia-
bles indépendantes, et de valeur moyenne nulle, un critère clas-
00
2
sique de Kolmogorov dit qu'il suffit, pour cela, que 2 E(Yn) con-
l
n=l
verge. Or
0
Puisque 2 | an | < + 00 , cette série est bien convergente, ce
n=0
qui prouve notre affirmation. Maintenant, pour n grand :
Donc 2
n=0CF») —
— | an | (
71 \
donc j; (rw - — | an | (l +
log-
log
converge (absolument),
converge presque sûre-
ment ; comme presque sûrement Yn = | an Xn | pour n assez grand,
on en déduit bien la conclusion de 3).
oo
Démonstration de 2). C'est évident ; ou bien 2 \ ocn \ =-|-oo, alors
n=0
oo
presque sûrement la suite |ocnJTw| n'est pas bornée, donc 2 \anXn\
n=0
oo
diverge ; ou bien 2 \ an \ < + oo, alors
n=0
log
converge presque sûrement, donc 2 \ an Xn \ converge ou diverge
n=0
presque sûrement suivant que 2 | an 111 + -, 1 converge ou di-
n=0 \ I 0Cn I 1/
verge. CQFD.
COROLLAIRE Dans l'énoncé du théorème 0, la condition sur les
On est la meilleure possible.