Un théorème sur les suites de variables aléatoires

ΠUVRES DE L AURENT S CHWARTZ
L AURENT S CHWARTZ
Un théorème sur les suites de variables aléatoires
Symposia Mathematica, vol. II (INDAM, Rome, 1968),
London: Academic Press, 1969, p. 203-209.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
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Istitnto Nazionale di Alta Matematica
Symposia Mathematica
Volnme II (1968)
THÉOKÈME SUR LES SUITES DE
VAEIABLES ALÉATOIRES (*)
LAURENT SOHWARTZ
Dans des notes antérieures (*), nous avons montré le théorème
suivant :
T H É O R È M E 0. Soit XQ , X±,...,
Xn , . . . , une suite de variable*
aléatoires réelles, dont l'enveloppe convexe soit bornée en probabilité.
00
/
Si les a„ sont des nombres réels tel que 2 | a» 111 + log -j
1
I\
r- ]<-|-oo,
00
la série 2 | a n Xn | est presque sûrement convergente ; la condition sur
les a n est la meilleure possible.
Nous avons alors donné une démonstration de cette propriété
s'appuyant sur la théorie des mesures cylindriques ; c'est la voie
naturelle, le résultat s'interprète d'ailleurs naturellement en disant
que l'application (œn)n e « |—> (an ocn)n e « de Z°°, muni de la topologie
0
(J°° 1 1% dans ll, est radonifiante ; en outre, les généralisations
raisonnables de cette propriété à des espaces de Banach autres
que les lp s'expriment dans le langage des mesures cylindriques.
Toutefois nous allons donner ici une démonstration directe du théorème énoncé, par des méthodes probabilistes classiques.
Précisons d'abord l'énoncé. On partira d'un espace de probabilités (Ö, JU) ; la ^-mesure d'un événement A c Q sera sa probabilité.
(#) 1 risultati contenuti in qnesto lavoro sono stati esposti nella conferenza
tennta l'll marzo 1968.
(£) Notes anx Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, t. 265, série A,
1967, p. 832-834; t. 266, série A, 1968, p. 7-9 et p. 50-52.
On y trouvera des références à d'autres travaux récents, de Dudley, Badrikian. Les notes signalées contiennent un indice p , 1 <jp < 2 ; nons ne parlerons
ici que du cas p = l, mais on peut faire de même pour les autres.
204
LAÜRENT SCHWARTZ - Un théorème sur les suites etc.
Une variable aléatoire réelle relative à (£, fi) sera une /^-classe de
fonctions réelles /j-mesurables sur Q. L'espace de ces variables
aléatoires sera noté L° {Q, ju) ; il sera muni de la topologie de la convergence en mesure ou en probabilité, qui le rend métrisable complet. Une suite de variables aléatoires Xn converge vers 0 en probabilité, si, quel que soit s > 0, ^({coefl; \Xn(œ)\> e}) tend vers 0
pour n infini.
Une partie JB de L° (Q ; ju) est bornée, si, pour tout e > 0, il
existe M>0 tel que, pour toute X É J B , p ({cotQ ; \X(co)\>M})<e.
Comme L° (Q, ju) n'est pas localement convexe, l'enveloppe convexe
d'une partie bornée n'est pas nécessairement bornée ; c'est pourquoi
la précision de l'énoncé donné plus haut sur l'enveloppe convexe
de la suite des Xn est importante.
THÉORÈME 1. Soit (Xtt)W£« une suite de variables aléatoires
réelles sur (û, /*), indépendantes, suivant toutes la loi de Cauchy, de
densité — -—;—s . Alors :
n î-f- #
1) 1?enveloppe convexe de la suite des Xn est bornée dans
uu
2) La série 2 | a n Xn \ converge presque
presque sûrement,
selon que 2 | a n | ( l +
sûrement
l°g i
r
ou diverge
) converge ou
diverge.
oo
3) Si 2 | an | = + oo , il est presque sûr que la suite des
n=0
oo
| an Xn | n'est pas bornée ; si 2 \ an | < + °° j ^ ^érie
w=0
— | an | (l + log
est presque sûrement convergente.
L'idée de ce théorème m'est venue d'un contre exemple de Dudley,
LAÜRKNT SCHWARTZ - Un théorème sur les suites etc.
205
DÉMONSTRATION.
Démonstration è 1) La loi de Caucby donnée ci-dessus sera la
loi normale de Oauchy, ou de paramètre 1 ; la loi de paramètre
a
1
a > 0 est définie par la densité
^. Pour cette loi, la pro9
babilité pour que la variable soit, en module, > Jf, est
+OO
2a C
+OO
dx
_ 2 C dt
_^ 2
a
2 a
-^J x* + a? -—] ] f ++1 2 - — Arctg — < — — .
M
M
M
La fonction caractéristique de la loi de Cauchy de paramètre a est
11—> era ul 5 on en déduit que la somme de variables indépendantes»
suivant des lois de Oauchy de paramètres a0 , ai,..., an , est une
loi de Oauchy de paramètre a0 -f- a± -|- ... -f- an .
Dans Fhypothèse de 1), si donc c0 , c 1 ,..., en , sont des nombres
réels tels que | eQ | + | o± | + ... + | cn \ ^ 1, c0X0 + cAXi + . . . + cnXn
suit une loi de Oauchy de paramètre | c0 \ + | ci \ + ... + | cn \ < 1,
2 1
et la probabilité pour qu'elle dépasse M en module est <
—;
on en déduit aussitôt que Pensemble de toutes ces variables aléatoires, lorsque n et les Ck , le <ç, n, varient avec 2 \ Ck \ < 1, est borné
Jfc=0
en probabilité ; donc Fenveloppe convexe de la suite des Xn est
bornée en probabilité.
Démonstration de 3). Pour M donné, la probabilité pour que
1
2
Ia I
°°
anXn\ > M est — Arctg ' " ' . Donc, si 2 \ an | = + OD , on aura
n
M
n==0
oo
2 ju ( {co € Q ; | a n Xn \ > M} ) = + °° ? ©t, comme les variables Xn
n=0
sont supposées indépendantes, le lemme de Borel-Cantelli prouve
que, presque sûrement, | an Xn \ est une infinité de fois > M ; la
suite des | an Xn \ est presque sûrement non bornée.
oo
Supposons maintenant Z \ an | < + °° • Alors presque sûrement
| an Xn | est < 1 pour n assez grand. Soit Yn la variable aléatoire
définie par : Yn {co)= \ anXn(co) | si | <*nXn(co) \ < 1 , 0 si | anXn(co) | > 1 .
Alors presque sûrement Yn=\anXn\
pour n assez grand, mais on
LAURENT SCHWARTZ - Un théorème
206
sur les suite»
etc.
a toujours 0 < Y n < l . Montrons que la série 2 {Yrk—E{Yn)) est
presque sûrement convergente. Comme ses termes sont des variables indépendantes, et de valeur moyenne nulle, un critère clas00
2
sique de Kolmogorov dit qu'il suffit, pour cela, que n2= l E(Yn) conl
verge. Or
0
Puisque 2 | an | < + 00 , cette série est bien convergente, ce
n=0
qui prouve notre affirmation. Maintenant, pour n grand :
Donc 2
CF») — — | an | (
71
n=0
converge (absolument),
log-
\
donc j ; (r w - — | an | (l + log
converge presque sûre-
ment ; comme presque sûrement Yn = | an Xn | pour n assez grand,
on en déduit bien la conclusion de 3).
oo
Démonstration de 2). C'est évident ; ou bien 2 \ ocn \ =-|-oo, alors
n=0
oo
presque sûrement la suite |ocnJTw| n'est pas bornée, donc 2 \anXn\
n=0
oo
diverge ; ou bien 2 \ an \ < + oo, alors
n=0
log
converge presque sûrement, donc 2 \ an Xn \ converge ou diverge
n=0
presque sûrement suivant que 2 | a n 111 +
n=0
\
verge. CQFD.
-,
1 converge ou diI 0Cn I 1/
COROLLAIRE Dans l'énoncé du théorème 0, la condition sur les
On est la meilleure possible.
LAURKNT 8CHWARTZ - Un théorème
En effet, si 2' | a» | ( 1 + log
1
an
sur les suites etc.
207
= -f- oo, la suite des Xn de
Pénoncé du théorème 1 fournit un contre-exemple.
Il reste donc à monter la partie directe du théorème 0 :
T H É O R È M E 2. Soit (X H ) neiD une suite de variables
aléatoires
réelles sur (Si, ju), d'enveloppe convexe bornée en probabilité. Soit
)n € fi une suite de nombres réels, tels que
1+
oo.
Alors la série 2 | a„ Xn \ est presque sûrement convergente.
n==0
DÉMONSTRATION.
D'après Phypothèse, quel que soit e > 0, il existe M ;> 0 tel
que, quel que soit n et quelle que soit la suite finie (ck)k^n, avec
1, on ait ju f jco € Q ; 2 ck Xk (co) >M
e. Par homock
thétie, quelle soit la suite (ck)k^n , on aura
n
>M 2
n=0
Introduisons un deuxième espace de probabilités (û', /i') (3), et
suite Zn de variables aléatoires sur (42', //), indépendantes et suivant
la loi de Cauchy normale. Pour tout co' e Si', et tout w
i\>
MI
Mais la série 2 \
log
| ajfc |
est supposée convergente j
n=0
donc, d'après le théorème 1, la série 2 \ an %n \ est /^'-presque sûrement convergente. Donc il existe un ensemble Si' c Q', de //-mesure
(8) Cette idée est fréquemment utilisée en probabilités. En prenant un
autre cas étudié par Kolmogorov, S. Kwapien m'a indiqué un résultat apparenté
au théorème 2 (voir note aux Comptes Rendus de Kwapien, à paraître prochainement).
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LAURENT SCHWARTZ - Un théorème sur les suites etc.
^ 1 — e, et une constante G ^ 0 telle que,
pour co' Efl', 2 | OLk Zk (co') | <^ C.
Alors, pour tout wEfi, et tout co' E 42' :
2 a* Zk (co') Xk (co) > C J f
*=0
Alors, par Fubini, pour n fixé, Pensemble des (co, co')£ Û X Û' pour
> C M a une
lesquels
l'ensemble des (co, co') € Q X Ö' ayant la même propriété a donc une
(/ut 0 //)-mesure ^ e -f- JLL' (Z&') < 2e. Par Fubini de nouveau, il existe
un ensemble Qn c Q, de /j-mesure ;> 1 — ]/2«, tel que, pour co € Qn :
^'
>CM
co'€ Û ' ;
Jk=O
Fixons n 6 flî et co 6 ö n . La dernière inégalité est maintenant relan
tive à une variable aléatoire sur (Q', //), 2 (<xk Xk (co)) Zk, somme de
variables indépendantes suivant des lois de Gauchy. Elle suit ellen
même une loi de Gauchy, de paramètre 2 \ak Xk (co) \ -, donc la / / probabilité pour que son module soit > CM est exactement
n
2 | <xk Xk (co) |
Elle est ^ ) / 2 E , donc
Xk (co) | ^ OJf tg (-£- ^ ) ,
Ou encore, pour tout ti :
€ Û ; 2j »k Xk (m) \ < CMtg
pour co € Û
LAURENT SCHWARTZ - Un théorème sur les suites etc.
209
En prenant les intersections pour wEfi:
JLL ( jco E Û ; J ?
AI (lai
=
lim
4
| *k Xk (co) | < + oo\ J
6 Û ; J j a, X, (co) | < Oi¥ tg
ix (\co 6 Û ; J I afc Xfc (o>) I <
\(
**—0
Oiïf tg
Ceci étant vrai pour tout e > 0, 2 | a* Xk (co) | est /i-presque sûrement
convergente, cqfd.
Testo pervenuto il 2 settembre 1968.
Bozze licenziate il 15 novembre 1968.