Analyse II - Cédric Villani

Analyse II
Cours de deuxi`eme ann´ee
donn´e `a l’Ecole normale sup´erieure de Lyon
ann´ee universitaire 2003-2004
C´edric Villani
Unit´e de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees
Ecole normale sup´erieure de Lyon
46 all´ee d’Italie
69364 Lyon Cedex 07
[email protected]

Table des mati`eres
Chapitre I. Panorama na¨ıf des espaces fonctionnels 5
I-1. Espaces vectoriels topologiques 7
I-2. R´esultats de continuit´e automatique 18
I-3. R´esultats d’existence et de compacit´e 20
I-4. Espaces de Banach c´el`ebres 22
I-5. Espaces de Fr´echet c´el`ebres 28
I-6. E.v.t.l.c.s. c´el`ebres 30
R´ef´erences 31
Chapitre II. Interpolation 33
II-1. Introduction 33
II-2. Interpolation complexe 36
II-3. Interpolation r´eelle 42
R´ef´erences 52
Chapitre III. Distributions 53
III-1. Motivations et contexte 55
III-2. Fonctions 59
III-3. Mesures 60
III-4. D´efinition des distributions 62
III-5. Topologies 65
III-6. Calcul des distributions 68
III-7. Th´eor`emes de structure 81
R´ef´erences 84

CHAPITRE I
Panorama na¨ıf des espaces fonctionnels
[Mettre une r´ef´erence pour le thm de Riesz]
La majeure partie de l’analyse consiste `a ´etudier les propri´et´es des fonctions en
utilisant des m´ethodes ayant `a voir, de pr`es ou de loin, `a des techniques d’approxi-
mation (limites, topologie, etc.).
Une mani`ere parfois efficace d’aborder certains probl`emes d’analyse consiste `a
raisonner non pas sur des fonctions isol´ement, mais sur des ensembles entiers de fonc-
tions v´erifiant certaines propri´et´es de nature g´eom´etrique ou topologique, appel´es
espaces fonctionnels. L’´etude des propri´et´es de ces espaces est appel´ee analyse
fonctionnelle. Le plus souvent, on ´etudie des fonctions `a valeurs dans un espace vec-
toriel (R,C,Cn, etc.), constituant des espaces fonctionnels qui sont des espaces
vectoriels. Dans ce cours, on se pr´eoccupe presque exclusivement de fonctions `a
valeurs r´eelles.
De plus, un espace fonctionnel n’a d’int´erˆet qu’une fois muni d’une topologie,
qui en fait un espace vectoriel topologique. En outre, le concept de limite ´etant
omnipr´esent en analyse, on se restreint d’ordinaire `a des espaces complets.
On peut sans doute consid´erer Fourier comme le fondateur de l’analyse fonc-
tionnelle ; cependant l’analyse fonctionnelle moderne commence entre 1900 et 1920
avec Volterra, Fredholm, Hilbert, Fr´echet, et surtout F. Riesz et Banach, dont les
travaux constituent encore les r´esultats fondamentaux du domaine. Au d´ebut des
ann´ees 1950, un important effort d’abstraction et de g´en´eralisation a ´et´e effectu´e par
les membres de Bourbaki (en particulier Dieudonn´e et Schwartz), qui ont en partie
remodel´e la discipline. Mˆeme si cette tendance `a l’abstraction est pour l’essentiel
pass´ee de mode, il est bon d’ˆetre familier avec certains des concepts d´evelopp´es `a
cette occasion.
Ce chapitre contient un tour d’horizon sommaire des espaces fonctionnels les
plus utilis´es et de quelques-unes de leurs propri´et´es. Dans les deux premi`eres sec-
tions, on passera en revue les structures de base et les r´esultats les plus simples de
la th´eorie classique de l’analyse fonctionnelle. Dans beaucoup de cas, il s’agira d’un
simple recensement, illustr´e d’exemples ; on renverra `a d’autres ouvrages pour un
d´eveloppement plus complet de la th´eorie. Des exemples d’espaces fonctionnels po-
pulaires seront utilis´es pour illustrer les notions abstraites ; dans un deuxi`eme temps,
on reviendra sur ces exemples de mani`ere un peu plus syst´ematique.
On suppose le lecteur d´ej`a familier avec le concept d’espace de Banach (espace
vectoriel norm´e complet) et avec ses principales propri´et´es. L’exp´erience montre
que, face `a une situation pratique qui ne rel`eve pas a priori du cadre des espaces de
Banach, on peut presque toujours se ramener `a de tels espaces.