1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes

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∼
E F RE F
E F Ru:E→F
u
∀x, y ∈E, ∀λ, µ ∈R, u(λx +µy) = λu(x) + µu(y).
E=F E
E F
x∈E0FF
x7→ 2xR R
x7→ x2
x0∈Rx0:F(R,R)→Rf∈
F(R,R)f(x0)x0R
F(R,R)R R
R[X]→R[X]P
P0R[X]
u:E→F E F
u(0E)=0Fu(0E) = u(0R·0E)=0R·u(0E)=0F
0RR
u:E→F v :E→F
u+v x ∈E u(x) + v(x)
u α ∈Rαu x ∈E
αu(x)u v α, β ∈R
αu +βv x ∈E αu(x) + βv(x)
E F R
E F Ru:E→F v :E→F
α, β ∈Rαu +βv
L(E, F )E F E =F
L(E, E)L(E)

u:E→FRE0, F 0
E F
E0u(E0) = {u(x), x ∈E0}
F
F0u−1(F0) = {x∈E|u(x)∈F0}
E
u(E)E
F u−1({0F})F
E
u:E→FR
uIm(u)F
u E
Im(u) = {u(x), x ∈E}.
uKer(u)E
u F
Ker(u) = {x∈E|u(x) = 0F}.
Im(u) Ker(u)
u
u:E→FR
Im(u) = F
Ker(u) = {0E}
u x ∈Ker(u)u(x) =
0Fu(0E) = 0Fu(x) = u(0E)u
x= 0EKer(u) = {0E}Ker(u) = {0E}
x, x0∈E u(x) = u(x0) 0F=u(x)−u(x0) = u(x−x0)
x−x0∈Ker(u) 0Ex−x0= 0E
x=x0
u:E→F
E F u :E→E
E E

u:E→F(ei)iE
(u(ei))i
F
x∈E0FF(u(ei))i
F={0F}
u:E→FR
u E
F
u E F
(i) (ei)16i6nE(u(ei))16i6n
F y ∈F u x ∈E
u(x) = y(ei)16i6nE x
λ1, . . . , λn∈Rx=λ1e1+· · · +λneny
y=u(x)
=u(λ1e1+· · · +λnen)
=λ1u(e1) + · · · +λnu(en),
u y
u(e1), . . . , u(en)F
(ii) (e1, . . . , en)E(u(e1), . . . , u(en))
F
0F=λ1u(e1) + · · · +λnu(en) = u(λ1e1+· · · +λnen),
u λ1e1+· · · +λnen∈Ker(u)u
λ1e1+· · · +λnen= 0E(e1, . . . , en)
λi= 0Ki
u:E→FRu
E F
u u (ei)16i6n
E u (u(ei))16i6nu
(u(ei))16i6n(u(ei))16i6nF

E F Rϕ:
E→F E F E
F
E F n (ei)16i6n
E(fi)16i6nF
u:E→F u(ei) = fi16i6n
u
•u y ∈F(fi)16i6nµ1, . . . , µn∈
R
y=µ1f1+· · · +µnfn=µ1u(e1) + · · · +µnu(en) = u(µ1e1+· · · +µnen),
x=µ1e1+· · · +µneny=u(x)y∈Im(u)
F= Im(u)u
•u x ∈Ker(u) (ei)16i6n
λ1, . . . , λn∈Rx=λ1e1+· · · λnen
0F=u(x) = u(λ1e1+· · · +λnen) = λ1u(e1) + · · · +λnu(en) = λ1f1+· · · +λnfn
u fi
λi
16i6n x = 0EKer(u) = {0E}u
m n 1
m×n m n m =n
n Mm,n(R)m×n
RMn(R)n
A+B A×B
A B
A×B B ×A n
1n In
M∈Mn(R)M×In=In×M=M P ∈Mn(R)
Q∈Mn(R)P×Q=Q×P=InQ
P P −1
2,3 4
d:R[X]→R[X]P(X)7−→ P0(X)
Xnd(1) = 0 d(Xn) = nXn−1
n>1

E F R(ej)16j6nE
u:E→F
eju(ej) 1 6j6n
(yj)16j6nF
u:E→F u(ej) =
yj16j6n
(i)u(ei)x∈E
u x (e1, . . . , en)
x=λ1e1+· · · +λnen, λi∈R.
u(x) = u(λ1e1+· · · +λnen) = λ1u(e1) + · · · +λnu(en),
u(x)u(ei)
(ii)y1, . . . , yn∈E u
u(x) = u(λ1e1+· · · +λnen) = λ1y1+· · · +λnyn.
B= (ej)16j6n
EC= (fi)16i6mF
u(ej)u
(fi)16i6m16j6n a1,j , . . . , am,j ∈
R
u(ej) = a1,j f1+· · · +am,j fm=
m
X
i=1
ai,j fi.
u n ×m= dim(E)×dim(F)R
ai,j
Mat (u, B,C) = Mat (u, (ei),(fj)) = 
u(e1)u(e2). . . u(en)
f1a1,1a1,2· · · a1,n
f2a2,1a2,2· · · a2,n
fmam,1am,2· · · am,n
n
m m ×n
ai,j i j
fiu(ej)
u:E→FR
BECFMat(u, B,C)
uB C
u