Groupes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
Groupes
Exercice 1 [ 00113 ] [correction]
Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux
sous-groupes ?
Exercice 2 [ 00114 ] [correction]
Soient Het Kdeux sous-groupes d’un groupe (G, ?).
A quelle condition l’ensemble H∪Kest-il un sous-groupe de (G, ?)?
Exercice 3 [ 03432 ] [correction]
Un sous-groupe Hde (G, .)est dit distingué si
∀x∈H, ∀a∈G, axa−1∈H
a) Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G, .)est
distingué.
b) Soient H, K deux sous-groupes de (G, .).
On suppose le sous-groupe Hdistingué, montrer que l’ensemble
HK ={xy/x ∈H, y ∈K}
est un sous-groupe de (G, .).
Exercice 4 [ 00115 ] [correction]
Un élément ad’un groupe (G, ?)est dit élément de torsion s’il existe n∈N?tel
que an=e.
Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de torsion d’un groupe abélien
en est un sous-groupe.
Exercice 5 [ 00116 ] [correction]
Soient (G, ? )un groupe fini commutatif d’ordre net a∈G.
a) Justifier que l’application x7→ a?xest une permutation de G.
b) En considérant le produit des éléments de G, établir que an=e.
Exercice 6 [ 00117 ] [correction]
[Théorème de Lagrange]
Soit Hun sous-groupe d’un groupe (G, .)fini.
a) Montrer que les ensembles aH ={ax/x ∈H}avec a∈Gont tous le cardinal
de H.
b) Montrer que les ensembles aH avec a∈Gsont deux à deux confondus ou
disjoints.
c) En déduire que le cardinal de Hdivise celui de G.
d) Application : Montrer que tout élément de Gest d’ordre fini et que cet ordre
divise le cardinal de G.
Exercice 7 [ 00119 ] [correction]
Soit n∈Ntel que n>2. Déterminer les morphismes du groupe (Sn,◦)vers
(C?,×).
Exercice 8 [ 00120 ] [correction]
Soit n∈Ntel que n>3. On considère la transposition τ=1 2 et le n-cycle
χ=1 2 . . . n .
a) Justifier que l’ensemble {τ, χ}forme une partie génératrice de (Sn,◦).
b) Existe-t-il une partie génératrice de (Sn,◦)formée d’un seul élément ?
Exercice 9 [ 00121 ] [correction]
Soit Hl’ensemble des σ∈ Snvérifiant σ(k) + σ(n+ 1 −k) = n+ 1 pour tout
k∈ {1, . . . , n}.
Montrer que Hest un sous-groupe de (Sn,◦)
Exercice 10 [ 00122 ] [correction]
Les groupes (Q,+) et (Q?,×)sont-ils isomorphes ?
Exercice 11 [ 02363 ] [correction]
Quel est le plus petit entier ntel qu’il existe un groupe non commutatif de
cardinal n?
Exercice 12 [ 02366 ] [correction]
Montrer que
nx+y√3/x ∈N, y ∈Z, x2−3y2= 1o
est un sous-groupe de (R?
+,×).
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Exercice 13 [ 02368 ] [correction]
Soit nun entier naturel non nul, (e1, . . . , en)la base canonique de E=Rn.
Soit Snl’ensemble des permutations de {1,2, . . . , n}. Soit ti= (1, i).
Pour s∈ Sn, on définit us(ei) = es(i).
a) Montrer que (t2, t3, . . . , tn)engendre Sn.
b) Interpréter géométriquement uslorsque sest une transposition.
c) Soit s= (1 2 . . . n −1n). On suppose que sest la composée de p
transpositions. Montrer que p>n−1.
d) Quelle est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de
Sn?
Exercice 14 [ 02648 ] [correction]
Soit Gun groupe, Hun sous-groupe de G,Aune partie non vide de G. On pose
AH ={ah/a ∈A, h ∈H}. Montrer que AH =Hsi, et seulement si, A⊂H.
Exercice 15 [ 02948 ] [correction]
a) Montrer que tout sous-groupe additif de Rqui n’est pas monogène est dense
dans R.
b) Soit x∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de (p, q)∈Z×N?tels que
x−p
q
<1
q2
c) Montrer la divergence de la suite de terme général
un=1
nsin n
Exercice 16 [ 01479 ] [correction]
Soit Gle sous-groupe de GL2(R)engendré par les deux matrices Set Tsuivantes :
S=−1 0
0 1 ,T=1
√2−1 1
1 1 
Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2(R)contenant Set T.
a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matrices S, T . Expliciter les éléments
du groupe hRiengendré par la matrice R=ST et préciser le cardinal de ce
sous-groupe de G.
Quelles sont les matrices SR et R7S?
b) Montrer que tout élément de Gest soit une puissance Rkde R, soit un produit
RkS. Préciser le cardinal nde G.
Dresser la liste de tous les éléments de Get déterminer la nature géométrique des
endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidien R2.
c) La transformation φS:g7→ S.g définit une permutation de l’ensemble G.
A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments de Get de
leurs images par φS.
Quelle est la signature de la permutation de G(qu’on peut identifier à l’ensemble
{1,2, . . . , n}) ainsi définie ?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Exercice 17 [ 03199 ] [correction]
Soient A(1,0) et B(0,1). Les points M0(x0, y0)et M1(x1, y1)sont donnés.
On construit le point P0par les conditions :
- les droites (P0M0)et (Ox)sont parallèles ;
-P0∈(AB).
On construit le point Q0par les conditions :
- les droites (P0Q0)et (M1B)sont parallèles ;
-Q0∈(AM1).
Soit le point M2(x2, y2)tel que le quadrilatère (M0P0Q0M2)soit un
parallélogramme.
On pose
M2=M0? M1
a) Démontrer
x2
y2!= x0+x1y0 y0y1!
b) Démontrer que la loi ?est associative, admet un élément neutre et que, si
y06= 0, le point M0admet un inverse.
c) On définit une suite de points (Mn)n∈Npar la donnée de M0, de M1et de la
relation de récurrence valable pour tout entier n>2
Mn=Mn−1? Mn−2
Déterminer ynen fonction de y0et de y1.
Exercice 18 [ 03256 ] [correction]
Soit Hun sous-groupe strict d’un groupe (G, ?). Déterminer le groupe engendré
par le complémentaire de Hdans G.
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Exercice 19 [ 03292 ] [correction]
Soient aet bdeux éléments d’ordre respectifs pet qd’un groupe abélien (G, ?).
a) On suppose que pet qsont premiers entre eux.
Montrer que l’élément ab est d’ordre pq.
b) On ne suppose plus pet qpremiers entre eux.
L’élément ab est-il nécessairement d’ordre ppcm(p, q)?
Exercice 20 [ 03332 ] [correction]
Soient aet bdeux éléments d’ordre respectifs pet qd’un groupe abélien (G, ?).
a) On suppose dans cette question seulement que pet qsont premiers entre eux.
Montrer que l’élément ab est d’ordre pq.
b) Soit dun diviseur de p. Montrer qu’il existe un élément d’ordre ddans (G, ?).
c) Existe-t-il dans Gun élément d’ordre m=ppcm(p, q)?
Exercice 21 [ 03368 ] [correction]
Soit ϕun morphisme d’un groupe fini (G, ?)vers (C?,×).
On suppose que ϕn’est pas une application constante. Calculer
X
x∈G
ϕ(x)
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Non. {(x, x)/x ∈Z}est un sous-groupe de (Z2,+) n’est pas produit de deux
sous-groupes.
Exercice 2 : [énoncé]
Si H⊂Kou K⊂Halors H∪K=K(resp. H) et donc H∪Kest un
sous-groupe de (G, ? )
Inversement, supposons que H∪Kest un sous groupe et que H6⊂ K. Il existe
alors h∈Htel que h /∈K.
Pour tout k∈K, on a k ? h ∈H∪Kcar H∪Kest stable.
Si k ? h ∈Kalors h=k−1?(k ? h)∈Kce qui est exclu.
Il reste k ? h ∈Hqui donne k= (k ? h)? h−1∈H. Ainsi K⊂H.
Ainsi si H∪Kest un sous-groupe alors H⊂Kou K⊂H.
Exercice 3 : [énoncé]
a) Soit ϕ:G→G0un tel morphisme et H={x∈G/ϕ(x) = eG0}son noyau.
On sait déjà que Hest un sous-groupe de (G, .).
Soient x∈Het a∈G. On a
ϕ(axa−1) = ϕ(a)ϕ(x)ϕ(a)−1=ϕ(a)eG0ϕ(a)−1=eG0
donc axa−1∈H.
b) HK ⊂Get e=e.e ∈HK.
Soient a, b ∈HK. On peut écrire
a=xy et b=x0y0avec x, x0∈Het y, y0∈K
On a alors
ab =xyx0y0
Puisque z=yx0y−1∈H, on a encore
ab = (xz)(yy0)∈HK
Aussi
a−1=y−1x−1=zy−1∈HK
avec z=y−1x−1y∈H.
Ainsi HK est bien un sous-groupe de (G, .).
Exercice 4 : [énoncé]
Notons Tl’ensemble des éléments de torsion d’un groupe abélien (G, ? ).
On a évidemment T⊂Get e∈T.
Si x, y ∈Tavec xn=ym=ealors
(x?y−1)mn =xmn ? y−mn =e
donc x?y−1∈T.
Exercice 5 : [énoncé]
a) Puisque aest inversible, aest régulier ce qui fournit l’injectivité de
l’application x7→ a?x.
Un argument de cardinalité finie donne la bijectivité de l’application.
b) Par permutation
Y
x∈G
x=Y
x∈G
(a?x) = an?Y
x∈G
x
donc an=e.
Exercice 6 : [énoncé]
a) L’application f:H→aH définie par f(x) = ax est bijective.
b) Si aH ∩bH 6=∅alors b−1a∈Het alors puisque ax =bb−1ax on a aH ⊂bH.
Par symétrie aH =bH.
c) Notons kle nombre d’ensembles aH deux à deux distincts. La réunion de
ceux-ci est égale à Gdonc par cardinalité CardG=kCardHd’où CardH|CardG.
d) <x>est un sous-groupe de (G, .)de cardinal égal à l’ordre de l’élément x.
Exercice 7 : [énoncé]
Soient ϕun tel morphisme et τla transposition qui échange 1et 2. On a τ2=Id
donc ϕ(τ)2= 1 d’où ϕ(τ)=1ou −1. Soit τ0=i j une transposition
quelconque de Sn. Il existe une permutation σ∈ Sntelle que τ0=σ◦τ◦σ−1et
alors ϕ(τ0) = ϕ(τ). Sachant enfin que tout élément de Snest produit de
transpositions on peut conclure :
Si ϕ(τ)=1alors ϕ:σ7→ 1. Si ϕ(τ) = −1alors ϕ=ε(morphisme signature).
Exercice 8 : [énoncé]
a) χ◦τ◦χ−1=2 3 ,χ2◦τ◦χ−2=3 4 , etc.
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Les transpositions de la forme i i + 1 appartiennent au sous-groupe
engendré par χet τ. Or pour 16i<j6n, on observe
i j =i i + 1 ◦. . . ◦j−1j◦. . . ◦i i + 1 
donc toutes les transpositions appartiennent au sous-groupe engendré par χet τ.
Sachant que toute permutation est produit de transposition, on peut conclure que
{χ, τ}engendre le groupe (Sn,◦).
b) Le groupe (Sn,◦)n’étant pas commutatif (n>3), il n’est pas monogène.
Exercice 9 : [énoncé]
H⊂ Sn, Id ∈H. Remarquons, ∀k∈ {1, . . . , n},σ(k) = n+ 1 −σ(n+ 1 −k).
Soient σ, σ0∈H,
(σ0◦σ)(k) = σ0(σ(k)) = n+ 1 −σ0(n+ 1 −σ(k)) = n+ 1 −σ0◦σ(n+ 1 −k)
donc σ0◦σ∈H.
Soit σ∈H. Posons `=σ−1(k). On a
σ(n+ 1 −`) = n+ 1 −σ(`) = n+ 1 −k
donc σ−1(n+ 1 −k) = n+ 1 −`puis
σ−1(k) + σ−1(n+ 1 −k) = `+ (n+ 1 −`) = n+ 1
Exercice 10 : [énoncé]
Non, l’équation x2= 1 admet deux solutions dans (Q?,×)alors que l’équation
analogue dans (Q,+), à savoir 2x= 0, n’admet qu’une solution.
Exercice 11 : [énoncé]
Notons, pour n= 6 que (S3,◦)est un groupe non commutatif à 6 éléments.
Un groupe à n= 1 élément est évidemment commutatif.
Pour n= 2,3ou 5, les éléments d’un groupe à néléments vérifient xn=e.
Puisque nest premier, un élément autre que ede ce groupe est un élément
d’ordre net le groupe est donc cyclique donc commutatif.
Pour n= 4, s’il y a un élément d’ordre 4 dans le groupe, celui-ci est cyclique.
Sinon, tous les éléments du groupe vérifient x2=e. Il est alors classique de
justifier que le groupe est commutatif.
Exercice 12 : [énoncé]
Notons
H=nx+y√3/x ∈N, y ∈Z, x2−3y2= 1o
Pour a∈H,a=x+y√3avec x∈N,y∈Zet x2−3y2= 1. On a donc
x=p1+3y2>√3|y|puis a > 0. Ainsi H⊂R?
+.
1∈Hcar on peut écrire 1 = 1 + 0√3avec 12−3.02= 1.
Pour a∈H, on a avec des notations immédiates,
1
a=x−y√3
avec x∈N,−y∈Zet x2−3(−y)2= 1. Ainsi 1/a ∈H.
Pour a, b ∈Het avec des notations immédiates,
ab =xx0+ 3yy0+ (xy0+x0y)√3
avec xx0+ 3yy0∈Z,xy0+xy0∈Zet (xx0+ 3yy0)2−3(xy0+x0y)2= 1.
Enfin puisque x > √3|y|et x0>√3|y0|, on a xx0+ 3yy0>0et finalement ab ∈H.
Exercice 13 : [énoncé]
a) Pour i6=j∈ {2, . . . , n},
(i, j) = (1, i)◦(1, j)◦(1, i)
Toute transposition appartient à ht2, t3, . . . , tniet puisque celles-ci engendrent Sn,
Sn=ht2, t3, . . . , tni
b) Si s= (i, j),usest la réflexion par rapport à l’hyperplan de vecteur normal
ei−ej.
c) Si sest le produit de ptranspositions alors ker uscontient l’intersection de p
hyperplans. Ici ker us={0}donc p>n−1.
d) n−1.
Exercice 14 : [énoncé]
Supposons AH =H.
∀a∈A,a=ae ∈AH =H
donc A⊂H.
Supposons A⊂H. Pour x∈AH,x=ah avec a∈A,h∈H. Or a, h ∈Hdonc
x=ah ∈H.
Ainsi AH ⊂H.
Inversement, pour a∈A(il en existe car A6=∅) et pour tout h∈H,h=a(a−1h)
avec a−1h∈Hdonc h∈AH. Ainsi H⊂AH puis =.
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