Modèle mathématique.

Tle ES - programme 2012 –mathématiques – ch.4 – cahier élève
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Ch.4 Probabilités conditionnelles
1.1 Probabilité, événements

Probabilité d'un événement
On note a1 ,a2 , …, an les événements élémentaires d'une expérience aléatoire.
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Événement contraire A
A est constitué par tous les événements élémentaires ne se trouvant pas dans A :
( ) = 1 – p(A).
p A

-
Événements A  B et A  B
L'événement « A et B », noté aussi A  B, est constitué par tous les événements élémentaires se trouvant à la fois
dans A et dans B. Si A  B = , les événements A et B sont dits disjoints.
L'événement « A ou B », noté aussi A  B, est constitué par les événements élémentaires se trouvant dans l'un au
moins des événements A, B.
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B).
Questions-tests n°1 page 185
On
1)
2)
3)
lance un dé non pipé et on lit le chiffre apparu.
Quel est l'ensemble des événements élémentaires ?
Quelle est la probabilité de chacun des événements élémentaires ?
Quelle est la probabilité de l'événement {2 ; 5} ?
1) L'ensemble des événements élémentaires est {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .
2) Le dé est non pipé, donc les événements élémentaires sont équiprobables. Chacun a pour probabilité
1
.
6
3) L'événement {2 ; 5} contient 2 éléments parmi les 6 possibles du dé.
Donc la probabilité de l'événement {2 ; 5} est
2 1
= .
6 3
Questions-tests n°2 page 185
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
Quelle est la probabilité de ne pas tirer un roi ?
Il y a 4 rois, soit 28 autres cartes parmi les 32 cartes du jeu.
Dons la probabilité de ne pas tirer un roi est
28 7
= .
32 8
Questions-tests n°3 page 185
A et B sont deux événements. On sait que
p(A) =
1
1
et p(B) = .
4
3
1) Sans autres informations, peut-on calculer p(A  B) ?
2) On sait que p(A  B) =
1)
1
. Calculez p(A  B).
6
Non , car on ne connaît pas p(A  B).
2) p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) =
1 1 1 3+4–2
5
+ – =
=
.
4 3 6
12
12
1.2 Arbre pondéré
Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, alors :
- la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est
égale à 1 ;
x+y+z=1
-
la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque
branche de ce chemin.
Questions-tests n°4 page 185
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Deux urnes U1 et U2 contiennent chacune des boules blanches et des boules noires. La
probabilité de tirer une boule blanche est égale à 0,3 dans l'urne U1 et à 0,4 dans l'urne U2 .
La probabilité de tirer une boule noire est donc égale à 0,7 dans l'urne U1 et à 0,6 dans
l'urne U2 .
On tire successivement une boule de l'urne U1 , puis une boule de l'urne U2 .
Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche puis une boule noire ?
La probabilité d'obtenir une boule blanche puis une boule noire est : 0,3  0,6 = 0,18 .
Exercice n°12 page 196
Donnez chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
a)
1 3

3 4
b)
2 5

5 6
c)
1 4
 .
8 5
a)
1 3 1
 = .
3 4 4
b)
2 5 2 1
 = = .
5 6 6 3
c)
1 4
14
1
 =
=
.
8 5 (2  4)  5 10
Exercice n°13 page 196
Donnez chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
a)
a)
1
2
3
b)
1
3 3
=1 = .
2
2 2
3
b)
1
5
3
5
1
5
1 5 1
=  = .
3
5 3 3
5
2
c)
c)
1
2
.
1
4
2
1
1
4
2
1
=
= 4= 1 .
1
1
4
4
4
Exercice n°14 page 196
Donnez chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
1 1
+
3 6
1 1 2 1 3 1
a)
+ = + = = .
3 6 6 6 6 2
a)
1 1
+
4 2
1 1 1 2 3
b)
+ = + = .
4 2 4 4 4
b)
1 1
–
.
9 18
1 1
2 1
1
c)
–
=
– =
.
9 18 18 18 18
c)
Exercice n°15 page 196
Résolvez chacune des équations d'inconnue p.
a) p + 0,4 = 1
b) p – 0,2 = 0,5
a) p + 0,4 = 1 équivaut à :
b) p – 0,2 = 0,5 équivaut à :
c) p + 0,04 = 1.
c) p + 0,04 = 1 équivaut à :
p = 1 – 0,4
p = 0,5 + 0,2
p = 1 – 0,04
p = 0,6 .
p = 0,7 .
p = 0,96 .
Exercice n°16 page 196
Résolvez chacune des équations d'inconnue p.
a) 0,2p = 0,6
b) p – 0,3  0,4 = 0
a) 0,2p = 0,6 équivaut à :
0,6
p=
0,2
b) p – 0,3  0,4 = 0 équivaut à :
p – 0,12 = 0
p = 0,12 .
p
= 0,2.
0,3
p
c)
= 0,2 équivaut à :
0,3
p = 0,2  0,3
c)
p= 3 .
p = 0,06 .
Exercice n°17 page 196
Résolvez chacune des équations d'inconnue p.
1
+p=1
3
1
a)
+ p = 1 équivaut à :
3
1
p=1–
3
a)
p=
2
.
3
1 1
 =1
3 4
1 1
b) p +  = 1 équivaut à :
3 4
1
p+
=1
12
1
p=1–
12
b) p +
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1
2
p + = 1.
3
3
1
2
c)
p + = 1 équivaut à :
3
3
1
2
p=1–
3
3
1
1
p=
3
3
1
p= 3
3
c)
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p= 1 .
11
.
12
p=
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Activité n°1 page 186 Dans un lycée
Dans un lycée de 1 000
élèves, 45 % des élèves sont
des filles, 55 % des garçons.
Parmi les filles, 30 % sont
internes et 70 % externes.
Parmi les garçons, 60 % sont
internes et 40 % externes.
Cette situation peut être
représentée par l'arbre cicontre :
1) Complétez cet arbre.
1)
2) La branche colorée en bleu signifie que si on tire au hasard une fiche dans le fichier des filles du lycée, la probabilité
que ce soit la fiche d'une interne est égale à
30
.
100
Expliquez pourquoi la probabilité de tirer, dans le fichier de tous les élèves du lycée, la fiche d'une fille externe est
nombre de filles externes
égale à la fraction :
, c'est-à-dire à 0,315.
nombre total d'élèves
nombre de cas favorables
2) Le tirage s’effectuant au hasard, la probabilité est définie par
, soit :
nombre de cas possibles
nombre de filles externes (1 000  0,45)  0,7
p(« fiche d’une fille externe ») =
=
= 0,45  0,7 = 0,315.
nombre total d’élèves
1 000
3) On peut constater que le nombre 0,315 est le produit des nombres situés sur les branches colorées en rouge :
0,45  0,7.
Ainsi, on peut écrire : p(F et E) = p(F)  pF(E) en notant pF(E) la probabilité d'obtenir une fiche « externe » sachant
qu'il s'agit d'une fiche « fille ».
Calculez de deux manières différentes la probabilité de tirer la fiche :
a) d'un garçon interne ;
b) d'une fille externe.
3)
nombre de garçons internes (1 000  0,55)  0,6
a) p(« garçon interne ») =
=
= 0,55 × 0,6 = 0,33 .
nombre total d’élèves
1 000
Autre méthode :
p(« garçon interne ») = p(« garçon »)  p« garçon » (« interne ») = 0,55  0,6 = 0,33 .
b) p(« fille externe ») =
nombre de filles externes (1 000  0,45)  0,7
=
= 0,45  0,7 = 0,315 .
nombre total d’élèves
1 000
Autre méthode :
p(« fille externe ») = p(« fille »)  p« fille »(« externe ») = 0,45  0,7 = 0,315 .
Activité n°2 page 186 Dans une ville
Dans une ville de 50 000 habitants, 20 % de la population a plus de 60 ans. Parmi les habitants de plus de 50 ans, 60 %
sont de sexe féminin; parmi ceux de moins de 60 ans, 53 % sont de sexe féminin.
1) Faites un arbre pondéré correspondant à cette situation.
2) On rencontre au hasard un habitant de cette ville.
a) Quelle est la probabilité que cet habitant soit un homme de plus de 60 ans ?
b) Quelle est la probabilité que ce soit un habitant de moins de 60 ans de sexe féminin ?
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1)
2) a) La probabilité que cet habitant soit un homme de plus de 60 ans est : 0,2  0,4 = 0,08 .
b) La probabilité que ce soit un habitant de moins de 60 ans de sexe féminin est : 0,8  0,53 = 0,424 .
2 NOTION DE PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
2.1 Définition
DÉFINITION 2
Si p(A)  0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, noté pA(B), défini par :
p(A et B)
.
p(A)
Cette égalité s'écrit également : p(A et B) = p(A)  pA(B).
pA(B) =
2.2 Utilisation d'un arbre pondéré
La notion de probabilité conditionnelle a déjà été rencontrée
lorsqu'une situation est modélisée par un arbre.
Ainsi, par exemple, considérons une situation modélisée par l'arbre
suivant, A et B désignant deux événements :
pA(B) est le nombre figurant sur la branche rouge.
p
A
(B) est le nombre figurant sur la branche bleue.
Exercice n°18 page 196
A et B sont deux événements. On sait que :
p(A) = 0,35 ;
( ) = 0,18.
pA(B) = 0,42 ; pA B
1) Placez ces trois nombres sur l'arbre ci-contre, après l'avoir recopié.
2) Complétez l'arbre pondéré avec les probabilités manquantes.
1)
2)
Exercice n°19 page 196 Bien choisir son arbre
A et B sont des événements tels que :
p(A) = 0,35, pA(B) = 0,42 et p A (B) = 0,37.
On se propose de dessiner un arbre pondéré sur les branches duquel
on pourra écrire les trois renseignements donnés ci-dessus.
1) Dessinera-t-on l'arbre 1 ou l'arbre 2 ? Justifiez.
2) Sur l'arbre que vous aurez choisi, écrivez en rouge les trois
renseignements donnés par le texte.
3) Complétez en bleu les probabilités manquantes.
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Arbre 1
Arbre 2
1) L’arbre 1 , car on connaît p(A) qui s’écrira sur une branche du premier niveau et pA(B) ainsi que p A (B) qui
s’écriront sur des branches du deuxième niveau.
2)
3)
Exercice n°20 page 196 Résultats du bac
Dans l'ensemble des classes de terminale générale, en 2010, il y avait 45 % de garçons. 88 % des filles ont été reçues au
bac et seulement 86 % des garçons.
(Source : ministère de l'Éducation nationale/DEPP).
On rencontre au hasard un élève qui était en terminale cette année-là.
On note :
- G l'événement : « l'élève rencontré est un garçon ».
- F l'événement : « l'élève rencontré est une fille ».
- R l'événement : « l'élève rencontré a été reçu au bac ».
1) En utilisant les notations ci-dessus, traduisez en langage des probabilités la phrase :
« 88 % des filles ont été reçues au bac ».
2) Recopiez et complétez l'arbre ci-dessous permettant de modéliser la situation :
1)
pF(R) = 0,88 .
2)
Exercice n°21 pages 196-197 En voyage
Une agence de voyage propose deux durées de séjours, le week-end ou la semaine, et deux types de destinations,
France ou étranger.
Parmi les dossiers de l'agence on constate que :
 60 % de séjours ont lieu en France ;
 45 % des séjours en France durent une semaine ;
 75 % des séjours à l'étranger durent une semaine.
On choisit un dossier au hasard et on note :
 F l'événement : « Le séjour a lieu en France » ;
 S l'événement : « Le séjour dure une semaine » ;
 E l'événement contraire de F.
1) En utilisant les données de l'énoncé, déterminez les probabilités suivantes :
a) p(F)
b) pF(S)
c) pE (S).
2) Dessinez un arbre pondéré modélisant cette situation et écrivez les probabilités correspondantes sur chacune de ses
branches.
60
1)
a) p(F) =
= 0,6 .
100
45
b) pF(S) =
= 0,45 .
100
75
c) pE(S) =
= 0,75 .
100
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2)
Exercice n°24 page 197
A et B sont deux événements.
1) On donne : p(A) = 0,45 et p(A  B) = 0,15.
Calculez pA(B).
2) On donne : p(A) = 0,38 et pA(B) = 0,5.
Calculez p(A  B).
3) On donne : p(A  B) = 0,18 et pA(B) = 0,6.
Calculez p(A).
p(A  B) 0,15 1
1) pA(B) =
=
= .
p(A)
0,45 3
2) p(A  B) = p(A)  pA(B) = 0,38  0,5 = 0,19 .
3) p(A) =
p(A  B) 0,18
=
= 0,3 .
pA(B)
0,6
Exercice n°25 page 197
L'arbre ci-contre modélise une situation où A et B sont deux événements.
1) Lisez les valeurs de pA(B) et de p A (B).
2) Complétez cet arbre et déduisez-en les valeurs de :
a) p(A et B)
c) p A et B
b) p A et B
(
(
)
)
d) p
(A
et B
).
3) Vérifiez que la somme des quatre nombres précédents est égale à 1.
1) pA(B) = 0,2 .
p
A
(B) = 0,4 .
2)
a) p(A et B) = 0,3  0,2 = 0,06 .
(
b) p A et B
(A
p( A
) = 0,3  0,8 =
0,24 .
)
c) p
et B = 0,7  0,4 = 0,28
d)
et B
) = 0,7  0,6 =
0,42
3) 0,06 + 0,24 + 0,28 + 0,42 = 0,3 + 0,7 = 1.
Exercice n°26 page 197
A et B sont deux événements.
On donne p(A) = 0,3 et pA(B) = 0,6.
1) Dessinez un arbre pondéré où vous pouvez écrire ces deux nombres.
Aide
Posez-vous la question : faut-il commencer
par :
ou par
?
2) Calculez p(A et B).
(
3) Calculez p A et B
).
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1)
2) p(A et B) = p(A)  pA(B) = 0,3  0,6 = 0,18 .
(
3) p A et B
) = p(A)  p ( B ) = 0,3  (1 – 0,6) =
A
0,12 .
OBJECTIF 1 : Construire un arbre pondéré
Il est commode de représenter une situation aléatoire par un arbre pondéré.
Exercice résolu n°A page 190
Une maladie affecte le cheptel bovin d'une région. On estime que 10% des bovins sont atteints.
Un test permet de diagnostiquer la maladie et on a établi que :
 quand un animal est malade, le test est positif dans 85 % des cas ;
 quand un animal n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.
Un animal est pris au hasard dans le cheptel bovin de cette région.
1) Indiquez deux événements liés à cette situation et précisez les deux événements contraires.
2) Construisez un arbre pondéré représentant cette situation et adapté aux hypothèses.
 Méthode
 Solution
 1) On note M l'ensemble des bovins malades et P
1) D'après l'énoncé, deux événements sont mis en
évidence : l'ensemble des bovins malades et
l'ensemble des bovins pour lesquels le test est positif.
l'ensemble des bovins pour lesquels le test est
M est donc l'ensemble des bovins non malades.
positif.
On choisit des notations commodes, ici tes
P est l'ensemble des bovins pour lesquels le test est
initiales.
négatif.

2) Il y a deux manières de construire l'arbre
2) p(M) = 0,1, donc p M = 1 – 0,1 = 0,9.
pondéré : en commençant par M et M ou en
pM(P) = 0,85, donc pM P = 1 – 0,85 = 0,15.
commençant par P et P .
p M P = 0,95, donc p M (P) = 1 – 0,95 = 0,05.
Les hypothèses font apparaître les probabilités
( )
( )
( )
conditionnelles pM(P) et p
M
( P ) : on choisit
donc l'arbre commençant par M et M .
Exercice n°1 page 190
La proportion de pièces défectueuses dans un lot est de 5 %. Le contrôle de fabrication des pièces est tel que :
- si la pièce est défectueuse, elle est quand même acceptée dans 97 % des cas ;
- si la pièce n'est pas défectueuse, elle est refusée dans 4 % des cas.
On prend au hasard une pièce de ce lot.
- Indiquez deux événements liés à la situation et précisez les deux événements contraires.
- Construisez un arbre pondéré représentant la situation et adapté aux hypothèses.
D ;: « La pièce tirée est défectueuse ».
D : « La pièce tirée n'est pas défectueuse ».
A : « La pièce est acceptée ».
A : « La pièce est refusée ».
Exercice n°2 page 190
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Dans un groupe de personnes, chacune possède une moto. Ces motos sont sportives ou bien routières.
40 % d'entre elles font plus de 125 cm3. Parmi les motos de plus de 125 cm3, 30 % sont des motos sportives alors que,
parmi les 125 cm3 ou moins, seulement 10 % sont des sportives.
On rencontre au hasard une personne du groupe et on considère sa moto.
- Indiquez deux événements liés à la situation et précisez les deux événements contraires.
- Construisez un arbre pondéré représentant la situation et adapté aux hypothèses.
P : « La moto fait plus de 125 cm3 ». (Elle est puissante.)
P : « La moto fait 125 cm3 ou moins ».
S : « La moto est sportive ».
S : « La moto est routière ».
OBJECTIF 2 : Exploiter un arbre pondéré
Pour calculer la probabilité d'un événement correspondant à un chemin d'un arbre pondéré, on fait le produit des
probabilités inscrites sur chaque branche.
Cela équivaut à appliquer la formule : p(A et B) = p(A)  pA(B).
Exercice résolu n°B page 191 Exploiter un arbre pondéré
Dans un lycée, il y a 40% de garçons et 60 % de filles.
Parmi les garçons, 30 % font de la danse ; parmi les filles 50 % font de la danse.
On rencontre au hasard un élève du lycée.
1) Construisez un arbre pondéré en lien avec cette situation.
2) a) Quelle est la probabilité que l'élève rencontré soit un garçon ne faisant pas de la danse ?
b) Quelle est la probabilité que l'élève rencontré soit une fille faisant de la danse ?
 Méthode
 Solution
 1) On note G l'ensemble des garçons, F l'ensemble
1) Dans la mesure du possible, il est conseillé de choisir
des lettres commodes à identifier ; ici, on prend les
des filles, D l'ensemble des élèves qui font de la
initiales G, F et D.
danse et D l'ensemble des élèves qui ne font pas
Il y a deux manières de construire un arbre en lien
de la danse.
avec la situation. Les renseignements fournis par
l'énoncé permettent d'obtenir les valeurs de pG(D) et
de pF(D). On construit donc l'arbre de manière à faire
apparaître les branches correspondant à pG(D) et à
2)
pF(D) : on commence l'arbre par :
(
a) p G et D
) s'obtient en faisant le produit des
nombres inscrits sur les branches du chemin
(
correspondant à l'événement G et D
)
.
b) On procède de même pour p(F et D).

2)
(
a) Il s'agit de calculer p G et D
(
p G et D
).
) = 0,4  0,7 = 0,28.
b) Il s'agit de calculer p(F et D).
p(F et D) = 0,6  0,5 = 0,30.
Exercice n°3 page 191
Dans une concession automobile, 85 % des acheteurs d'une voiture neuve choisissent une peinture métallisée. Parmi
ceux-ci, 60 % choisissent en plus le régulateur de vitesse. Parmi les acheteurs ne prenant pas la peinture métallisée,
seulement 40 % choisissent le régulateur de vitesse.
On rencontre une personne venant d'acheter une voiture neuve dans cette concession.
1) Construisez un arbre pondéré en lien avec cette situation.
2) Quelle est la probabilité que la personne :
a) ait choisi la peinture métallisée et le régulateur ?
b) n'ait voulu ni de la peinture métallisée, ni du régulateur ?
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1) M : « L’acheteur a choisi la peinture métallisée ».
R : « L'acheteur a choisi le régulateur de vitesse ».
2) a) p(M et R) = 0,85  0,6 = 0,51.
La probabilité que la personne ait choisi la peinture métallisée et le régulateur est 0,51 .
b) p
(M
et R
) = 0,15  0,6 = 0,09.
La probabilité que la personne n'ait voulu ni de la peinture métallisée, ni du régulateur est 0,09 .
Exercice n°4 page 191
Un groupe de lecteurs de la presse écrite a été interrogé.
30 % lisent la presse tous les jours, les autres ne la lisant qu'occasionnellement.
Parmi les lecteurs occasionnels, 40 % lisent la presse régionale, les autres lisant la presse nationale. Parmi les lecteurs
réguliers, 55 % lisent la presse nationale et 45 % lisent la presse régionale.
On rencontre au hasard un de ces lecteurs.
1) Construisez un arbre pondéré en lien avec cette situation.
2) Quelle est la probabilité que la personne rencontrée :
a) lise chaque jour la presse nationale ?
b) soit un lecteur occasionnel et lise la presse régionale ?
1) J : « Le lecteur lit la presse tous les jours ».
R : « Le lecteur lit la presse régionale ».
2) a) p(J et R) = 0,3  0,55 = 0,165.
La probabilité que la personne rencontrée lise chaque jour la presse nationale est 0,165 .
b) p
(J
)
et R = 0,7  0.4 = 0,28.
La probabilité que la personne rencontrée soit un lecteur occasionnel et lise la presse régionale est 0,28 .
Exercice n°27 page 197
A et B sont deux événements vérifiant :
p(A) =
5
3
p(B) =
3
4
p(A  B) =
2
.
5
1) L'une des données ci-dessus est aberrante, laquelle ? Pourquoi ?
2) Modifiez cette donnée de façon que les événements A et B vérifient : p(A et B) = p(A)  p(B).
3) a) En conservant cette nouvelle donnée, déterminez la valeur de pA(B).
b) Que remarquez-vous sur ce dernier résultat ?
1)
p(A) =
5
5
car > 1.
3
3
2
5
p(A  B)
8
2) p(A) =
=
=
.
p(B)
3
15
4
2
3)
5
p(A  B)
2 15 2  (5  3)
3
a) pA(B) =
=
=  =
= .
p(A)
8
5 8
5  (2  4) 4
15
b) On a pA(B) = p(B) .
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Exercice n°28 page 198
Selon une association de prévention de la dépendance au jeu, 2 % des Français sont « addicts » aux jeux; parmi ceux-ci,
8 sur 10 sont des hommes.
On rencontre une personne au hasard.
Quelle est la probabilité que ce soit :
1) un homme dépendant du jeu ?
2) une femme dépendante du jeu ?
Notons les événements :
A : « la personne est Addict » ;
H : « la personne est un homme » ;
F : « la personne est une femme ».
1) p(H et A) = p(A)  pA(H) = 0,02  0,8 = 0,016 .
2) p(F et A) = p(A)  pA(F) = 0,02 × 0,2 = 0,004 .
Exercice n°29 page 198 Tirages successifs
Une urne contient 20 boules blanches et 30 boules noires. On tire 3 boules successivement de cette urne.
Calculez la probabilité d'obtenir 3 boules blanches sachant que la première boule tirée est blanche, lorsque le tirage est
effectué :
1) avec remise ;
2) sans remise.
1) Dessinons un arbre décrivant le deuxième et le troisième tirage avec remise sachant que le premier tirage a donné
une boule blanche.
Notons les événements :
B : « la boule est blanche » ;
N : « la boule est noire ».
La probabilité d'obtenir 3 boules blanches sachant que la première boule tirée est blanche, lorsque le tirage est
effectué est : P =
2 2 4
 =
= 0,16 .
5 5 25
2)
La probabilité d'obtenir 3 boules blanches sachant que la première boule tirée est blanche, lorsque le tirage est
effectué est : P' =
19 18
  0,145 .
49 48
Exercice n°30 page 198 Un dé
On lance deux fois un dé non truqué. La variable aléatoire X compte le nombre de 6 obtenus.
1) Donnez la loi de X.
2) On sait que le 6 est apparu au premier lancer. Quelle est alors la probabilité d'obtenir :
a) deux fois le 6 ?
b) une seule fois le 6 ?
c) zéro fois le 6 ?
3) On lance à présent le dé trois fois. On sait que le 6 est apparu au deuxième lancer.
Calculez alors la probabilité d'obtenir :
a) trois fois le 6 ?
b) deux fois le 6 ?
c) une seule fois le 6 ?
d) zéro fois le 6 ?
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1)
5 2 25
p(X = 0) =   =
6 36
1 5 5
p(X = 1) = 2   =
6 6 18
2
1
1
p(X = 2) =   =
6 36
Nombre de 6 apparus
Probabilité
2)
3)
a)
1
.
6
b)
5
.
6
c)
0.
0 1 2
25 5 1
36 18 36
1 2
1
a)   =
.
6
b) 2 
36
1 5
5
 =
.
6 6 18
5 2 25
c)   =
.
6
d)
36
0.
Exercice n°31 page 198
Une urne contient des boules roses et des boules vertes. Il y a 30 % de boules roses.
1) On tire de l'urne deux boules avec remise. Calculez la probabilité d'obtenir deux boules roses.
2) On tire cette fois les deux boules sans remise. Peut-on calculer la probabilité d'obtenir deux boules roses ? Expliquez.
1) (0,3)2 = 0,09 .
2)
Non , car il faudrait connaître le nombre de boules de l’urne.
Exercice n°33 pages 198-199
Calculatrices en panne
Une entreprise vend des calculatrices d'une certaine marque. Le service après-vente s'est aperçu qu'elles pouvaient
présenter deux types de défauts, l'un lié au clavier et l'autre lié à l'affichage.
Des études statistiques ont permis à l'entreprise d'utiliser la modélisation suivante :
 La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à 0,04.
 En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d'affichage est de 0,03.
 En l'absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d'affichage est de 0,94.
On note C l'événement « la calculatrice présente un défaut de clavier » et A l'événement « la calculatrice présente un
défaut d'affichage ».
1)
a) Précisez à l'aide de l'énoncé les probabilités suivantes p C
A , pC(A) et p(C).
( )
b) Construisez un arbre pondéré décrivant cette situation.
1)
a) p
C
( A )=
0,94 ; pC(A) = 0,03 ; p(C) = 0,04 .
b)
2) On choisit une calculatrice de cette marque au hasard.
a) Calculez la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts.
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b) Calculez la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier.
2) a) La probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts est :
p(A et C) = 0,04  0,03 = 0,001 2 .
b) La probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier est :
(
p A et C
) = 0,96  0,06 =
0,057 6 .
Exercice n°35 page 199 Vue mer
Un résidence hôtelière de vacances possède pour la location 150 studios et 50 duplex. 70 % des duplex ont vue sur la
mer et seulement 20 % des studios.
Décidée à louer un de ces logements, mais ne comprenant rien au plan de l'immeuble qu'on lui présente, une cliente
pressée désigne un logement au hasard.
Quelle est la probabilité qu'elle désigne :
1) un duplex avec « vue mer » ?
2) un studio n'ayant pas une vue sur la mer ?
Aide
Commencez par identifier les événements, puis dessinez un arbre pondéré traduisant la situation.
S = « le logement est un studio ».
M = « le logement a vue sur la mer ».
1) La probabilité qu'elle désigne un duplex avec « vue mer » est :
p(D et M) = 0,25  0,7 = 0,175 .
2) La probabilité qu'elle désigne un studio n'ayant pas une vue sur la mer est :
(
p S et M
) = 0,75  0,8 =
0,6 .
Exercice n°36 page 199 Rouge, jaune, vert
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule :
 si elle est rouge, il gagne 10 € ;
 si elle est jaune, il gagne 5 € ;
 si elle est verte, il tire une deuxième boule de l'urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième
boule est rouge, il gagne 8 €, sinon il perd 4 €.
10 € 8 € –4 € …
Gain
En vous aidant d'un arbre pondéré, trouvez les nombres manquants afin
1
… … …
Probabilité
d'obtenir la loi de probabilité du gain algébrique du joueur.
7
Notons :
R l’événement « la boule est rouge » ;
J l’événement « la boule est jaune » ;
V l’événement « la boule est verte » ;
G la variable aléatoire égale au gain en euros.
Alors :
p(G = 10) = p(R) =
1
;
7
4 1 2
p(G = 8) = p(V  R) =  =
;
7 6 21
2
p(G = 5) = p(J) = ;
7
4 5 10
p(G = –4) = p V  R =  =
.
7 6 21
10 € 8 € 5 € –4 €
Gain
1
2
2
10
Probabilité
7
21 7
21
(
)
Exercice n°38 page 200 Deux cartes sans remise
On tire deux cartes successivement et sans remise d'un jeu de 32 cartes.
1) Quelle est la probabilité d'obtenir un roi au premier tirage ?
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Aide
Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 rois.
1) La probabilité d'obtenir un roi au premier tirage est :
4 1
= = 0,125 .
32 8
2) Quelle est la probabilité d'obtenir un roi au deuxième tirage sachant que :
a) l'on a obtenu un roi au premier ?
b) l’on n'a pas obtenu de roi au premier ?
3
2)
a) La probabilité d'obtenir un roi au deuxième tirage sachant que l'on a obtenu un roi au premier :
 0,097 .
31
b) La probabilité d'obtenir un roi au deuxième tirage sachant que l’on n'a pas obtenu de roi au premier :
4
 0,129 .
31
3) Dessinez un arbre pondéré en lien avec cette expérience aléatoire. Vous pouvez noter R1 l'événement : « Obtenir un
roi au premier tirage » et R2 l'événement : « Obtenir un roi au deuxième tirage ».
3)
4) Calculez la probabilité :
a) d'obtenir deux rois ;
b) de n'obtenir aucun roi ;
c) d'obtenir un seul roi.
1 3
4)
a) Probabilité d'obtenir deux rois : 
 0,012 .
8
31
7 27
b) Probabilité de n'obtenir aucun roi : 
 0,762 .
8 31
1 28 7 4
7
c) Probabilité d'obtenir un seul roi : 
+ 
=  0,226 .
8 31 8 31 31
5) Quelle relation doivent vérifier les probabilité que l'on vient de calculer ? Vérifiez que c'est bien le cas.
5) 0,012 + 0,762 + 0,226 = 1.
Exercice n°39 page 200 Deux cartes simultanément
On tire deux cartes simultanément dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir deux as ?
Aide
Ramenez-vous à un tirage de deux cartes successivement et sans remise.
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 as.
Pour tirer deux cartes simultanément, on peut tirer une carte, ne pas la regarder, et
ensuite en tirer une autre.
Notons :
A1 : « la première carte est un as » ;
A2 : « la deuxième carte est un as ».
p(« 2 as ») = p(A1  A2) = p(A1)  pA (A2) =
1
4
3
1
1

=   0,004 5 .
52 51 13 17
Exercice n°42 page 200 À partir d'un tableau d'effectifs
Un lycée prépare au bac général et au bac technologique. Voici,
Bac général Bac technologique
résumés dans un tableau, les résultats obtenus au bac 2012.
316
193
Reçus
On rencontre au hasard un élève de cet établissement ayant passé le
34
47
Collés
bac en 2012.
1) Calculez directement la probabilité qu'il ait été reçu sachant qu'il a passé :
a) un bac général ;
b) un bac technologique.
2) Calculez la probabilité qu'il ait passé un bac technologique sachant qu'il a été reçu.
1) a) Probabilité qu'il ait été reçu sachant qu'il a passé un
Bac général Bac technologique TOTAL
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316
bac général :
 0,90 .
350
b) Probabilité qu'il ait été reçu sachant qu'il a passé un
bac technologique :
Reçus
Collés
TOTAL
316
34
350
Page 14 sur 23
193
47
240
509
81
590
193
 0,80 .
240
2) Probabilité qu'il ait passé un bac technologique sachant qu'il a été reçu :
193
 0,38 .
509
Exercice n°43 page 201 À partir d'un tableau de pourcentages
Le tableau ci-contre donne la répartition des salariés d'une
Employés Cadres
entreprise, entre cadres et non-cadres et bénéficiaires ou non
Salariés disposant d'une
4%
16 %
d'une voiture de fonction.
voiture de fonction
On rencontre au hasard un salarié de l'entreprise.
Salariés ne disposant pas
65 %
15 %
1) Lisez dans le tableau la probabilité que ce soit un cadre
d'une voiture de fonction
disposant d'une voiture de fonction.
2) Calculez directement la probabilité que le salarié rencontré dispose d'une voiture de fonction sachant :
a) qu'il est employé ;
b) qu'il est cadre.
1) Probabilité que ce soit un cadre disposant
Employés Cadres TOTAL
16
Salariés disposant d'une
d'une voiture de fonction :
= 0,16 .
4%
16 %
20 %
100
voiture de fonction
Salariés ne disposant pas
65 %
15 %
80 %
d'une voiture de fonction
69 %
31 %
100 %
TOTAL
4
2)
a) Probabilité que le salarié rencontré dispose d'une voiture de fonction sachant qu'il est employé :
 0,058 .
69
16
b) Probabilité que le salarié rencontré dispose d'une voiture de fonction sachant qu'il est cadre :
 0,516 .
31
3 FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
3.1 Un exemple
Une urne contient 10 boules : 3 blanches et 7 noires.
On effectue deux tirages successifs sans remise.
On se propose de calculer la probabilité de l'événement : « tirer une boule blanche au deuxième tirage ».
Notons B1 l'événement : « tirer une boule blanche au premier tirage », B2 l'événement : « tirer une boule blanche
au deuxième tirage », N1 l'événement : « tirer une boule noire au premier tirage » et N2 l'événement : « tirer une
boule noire au deuxième tirage ».
On peut représenter la situation par l'arbre ci-contre.
L'événement B2 peut être réalisé en suivant deux chemins
différents : le chemin « B1 et B2 » (représenté en bleu) et le
chemin « N1 et B2 » (représenté en rouge).
Ces événements sont disjoints, donc :
p(B2) = p(B1 et B2) + p(N1 et B2).
D'où : p(B2) = p(B1)  pB (B2) + p(N1)  pN (B2) et ainsi
1
1
3 2 7 3 3
p(B2) =  +  =
.
10 9 10 9 10
Remarque :
Plus généralement, deux événements correspondant à deux chemins différents sur un arbre sont toujours
disjoints.
3.2 Cas général
 est l'ensemble des événements élémentaires d'une expérience aléatoire.
A1 , A2 , …, An désignent des sous-ensembles de .
Dire que A1 , A2 , …, An forment une partition de  signifie que les Ai sont deux à deux disjoints et que
A1  A2  …  An = .
Avec cette définition, on peut énoncer le résultat suivant :
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
A1 , A2 , …, An forment une partition de .
Alors la probabilité d'un événement quelconque B est donnée par :
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p(B) = p(B et A1) + p(B et A2) + … + p(B et An)
c'est-à-dire, lorsque p(Ai)  0 pour tout i :
p(B) = p(A1)  pA (B) + p(A2)  pA (B) + … + p(An)  pA (B).
1
2
n
Remarque :
Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales n'est pas un attendu du programme, mais la mise en
œuvre de cette formule doit être maîtrisée.
3.3 Illustration dans le cas de trois sous-ensembles
A1 , A2 et A3 sont disjoints et leur réunion
est égale à  .
Les événements « B et A1 », « B et A2 »,
« B et A3 » sont disjoints et leur réunion est
égale à B.
On a donc :
p(B) = p(B et A1) + p(B et A2) + p(B et A3).
3.4 Probabilités totales et arbres pondérés
Dans l'exemple traité au paragraphe 3.1, on a calculé la probabilité de tirer une boule blanche au deuxième tirage
en faisant la somme des probabilités correspondant aux chemins d'extrémité B2 .
Chaque fois que la situation est représentée par un arbre pondéré, ce procédé de calcul est équivalent à la formule
des probabilités totales.
Exercice n°46 pages 201-202
Dans chacun des cas, avec les données figurant
sur l'arbre pondéré, calculez p(B).
a)
b)
a) p(B) = 0,4  0,3 + 0,6  0,5 = 0,42 .
b) p(B) = 0,3  0,2 + 0,5  0,6 + 0,2  0,6 = 0,48 .
Exercice n°47 page 202
Une urne contient trois boules bleues et quatre boules vertes.
On tire de cette urne deux boules successivement. On note B1 l'événement : « La 1re boule tirée est bleue » et B2
l'événement : « La 2e boule tirée est bleue ».
1) Le tirage est avec remise
a) Donnez les valeurs de p(B1) et de p(B2).
b) Quelle est la valeur de p(B1 et B2) ?
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1) Le tirage est avec remise
a) p(B1) =
3
3
; p(B2) =
.
7
7
3 2 9
b) p(B1 et B2) =   =
 0,184 .
7
49
2) Le tirage est sans remise
a) Donnez la valeur de p(B1).
b) En dessinant un arbre pondéré, calculez p(B2). Êtes-vous étonné par ce résultat ? Expliquez.
c) A-t-on p(B1 et B2) = p(B1)  p(B2) comme dans le tirage avec remise ?
2) Le tirage est sans remise
a) p(B1) =
b) p(B2) =
3
.
7
3 1 4 1 3
 +  = .
7 3 7 2 7
A priori, oui, car on se dit que, le tirage étant sans remise, p(B2) devrait être différent de p(B1). Dans un
deuxième temps, on comprend mieux : en effet si deux personnes recevaient chacune une boule tirée de l’urne,
la deuxième servie ne penserait pas avoir moins de chance que la première d’obtenir une boule bleue.
c)
3 1 1
 =
7 3 7
3 3 9
et p(B1)  p(B2) =  =
.
7 7 49
1
Cela vient du fait que pB (B2) =  p(B2).
1
3
Non , car p(B1 et B2) =
OBJECTIF 3 : Utiliser les probabilités totales
A1 , A2 , A3 sous-ensembles de  tels que A1  A2  A3 =  et tels que les Ai sont disjoints deux à deux, c'est-à-dire
tels que A1  A2 = A2  A3 = A1  A3 = . On suppose que  i, p(Ai)  0.
Alors, pour tout événement B, on a p(B) = p(A1)  pA (B) + p(A2)  pA (B) + p(A3)  pA (B).
1
2
3
Exercice résolu n°C page 192
Dans un lycée, il v a 30 % d'internes, 20 % d'externes et 50 % de demi-pensionnaires.
25 % des internes participent à la chorale, 10 % des externes y participent et 15 % des demi-pensionnaires.
On rencontre un élève du lycée au hasard.
1) Représentez cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
2) Quelle est la probabilité que cet élève rencontré au hasard participe à la chorale ?
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 Méthode
1) On utilise les initiales pour désigner les
événements.
L'énoncé indique les probabilités pI(C),

pE(C), pD(C).
2) Les événements I, E et D sont deux à
deux disjoints et leur réunion est égale
à l'ensemble de tous les élèves du
lycée.
On est en présence d'une situation de
type « probabilités totales » : on sait
alors que p(C) peut être calculé si on
connaît p(C  I), p(C  E) et p(C 
D).

Page 17 sur 23
 Solution
1) Notons I l'ensemble des internes, E l'ensemble des externes, D
celui des demi-pensionnaires, et C l'ensemble des élèves qui
participent à la chorale.
On a p(I) = 0,3 ; p(E) = 0,2 et p(D) = 0,5.
Puis pI(C) = 0,25 ; pE(C) = 0,10 et pD(C) = 0,15.
2) On a C = (C  I)  (C  E)  (C  D).
Les événements C  I, C  E et C  D sont disjoints deux à
deux. Donc :
p(C) = p(C  I) + p(C  E) + p(C  D)
p(C) = p(I)  pI(C) + p(E)  pE(C) + p(D)  pD(C)
p(C) = 0,3  0,25 + 0,2  0,10 + 0,5  0,15,
c'est-à-dire p(C) = 0,17.
Exercice n°5 page 192
Sur un étal, au marché, un primeur propose des barquettes de fruits rouges : 60 % d'entre elles contiennent des fraises,
30 % des framboises et 10 % des myrtilles.
La moitié des barquettes de fraises présentent l'étiquette : « Origine France », 90 % des barquettes de framboises et
60 % des barquettes de myrtilles. Un acheteur pressé prend une barquette au hasard.
1) Représentez cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
2) Calculez la probabilité que la barquette choisie ne porte pas l'étiquette : « Origine France ».
1)
2) p OF  = p(F)  pF(OP) + p(FB)  pF  OF  + p(M)  pM OF 
B



p OF  = 0,6  0,5 + 0,3  0,1 + 0,1  0,4


p OF  = 0,37.




la probabilité que la barquette choisie ne porte pas l'étiquette : « Origine France » est 0,37 .
Exercice n°6 page 192
Une urne contient 12 boules : 5 bleues, 3 blanches et 4 rouges. On tire deux boules successivement et sans remise.
En utilisant un arbre pondéré, calculez la probabilité que la deuxième boule tirée soit rouge.
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p(R) = p(B1)  pB (R) + p(Bch )  pB (R) + p(R1)  pR (R)
1
ch1
1
1
5
4
3
4
4
3
p(R) = 
+ 
+ 
12 11 12 11 12 11
4 1
p(R) =
= .
12 3
La probabilité que la deuxième boule tirée soit rouge est
1
.
3
Exercice n°7 page 193 Questions sur le cours
Complétez comme il convient.
1) Si p(A)  0, alors :
a) pA(B) est la probabilité conditionnelle de sachant …… .
b) p(A et B) = p(A)  …… .
c) p(A et B) = p(B)  …… .
2) Si l'on dispose de l'arbre ci-contre, alors p(B) = ……  pA(B) +
( A )  …… .
1) a) p (B) est la probabilité conditionnelle de B sachant A .
A
b) p(A et B) = p(A)  pA(B) .
p(A et B) = p(B)  pB(A) .
( A )
2) p(B) = p(A)  pA(B) + p
p
A
(B) .
Exercice n°8 page 193 Vrai ou faux
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse.
1) On dispose de l'arbre pondéré ci-contre.
Alors :
a) pA(B) = 0,6
b) p(A et B) = 0,012
c) p(B) = 0,8.
2) A et B sont deux événements tels que p(A)  0 et p(B)  0.
2
.
5
b) Si p(A) = 0,3 et p(B) = 0,4, alors p(A et B) = 0,12.
c) pA(B) = pB(A).
a) Si p(A) = 0,5 et p(A et B) = 0,2, alors pB(A) =
d) p(B) = p(A)  pA(B) + p(A)  p
1) a)
A
(B).
Vrai . Voir 1.2 Utilisation d'un arbre pondéré.
(
) = 0,3  0,4 = 0,12.
b)
Faux . En effet p A et B
c)
Faux . En effet p(B) = 0,3  0,6 + 0,7  0,2 = 0,32.
2) a)
Faux . Des renseignements donnés, on ne peut déduire la valeur de pB(A),
C'est pA(B) que l'on pourrait calculer.
b)
Faux . On n'a pas toujours : p(A et B) = p(A)  p(B).
c)
Faux . Par exemple, dans le 1) ci-dessus, pA(B) = 0,6 et pB(A) =
d)
Vrai . Il s'agit de la formule des probabilités totales avec A et A .
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)
0,3  0,6
 0,56.
0,32
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Exercice n°9 page 193 Q.C.M. – Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1) Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre ci-dessous. Alors :
a) pA(B) = 0,9
b) p(A et B) = 0,5
c) p(A et B) = 0,15.
2) Avec le même arbre,
a) pA(B) = 0,03
b) pA(B) + pA
( B )=1
c) p(B) = 0,3.
3) Dans une assemblée, il y a 45 % d'hommes. 30 % d'entre eux sont chauves contre seulement 1 % des femmes. On
rencontre une personne de cette assemblée au hasard. On note H l'événement : « C'est un homme » et C
l'événement : « La personne est chauve ». Alors :
b) pH(C) = 0,3
a) p(H et C) = 0,3
4) Avec les données de la question 3 ci-dessus :
b) p(C) = 0,1405
a) p H et C = 0,52
(
c) pC(H) = 0,3.
c) pH(C) + p
)
H
(C)=1.
1) Réponse exacte : a .
a) Faux, car pA(B) = 0,1.
b) Faux, car p(A et B) = p(A)  pA(B) = 0,5  0,1 = 0,05.
(A
c) Vrai, car p
) ( )p
et B = p A
A
(B) = 0,5  (1 – 0,7) = 0,15.
2) Réponse exacte : b .
a) Faux, car p
A
(B) = 1 – 0,7 = 0,3.
b) Vrai, car il s'agit de la somme des probabilités correspondant à toutes les branches issues d'un même nœud.
c) Faux, car p(B) = 0,2.
3) Réponse exacte : b .
a) Faux, car p(H et C) = 0,45  0,3 = 0,135.
b) Vrai, puisque 30 % des hommes sont chauves.
c) Faux, car pC(H) = 0,96.
4) Réponse exacte : b .
a) Faux, car p(H et C) = 0,45  0,7 = 0,315.
b) Vrai, car p(C) = 0,45  0,3 = 0,55  0,01 = 0,140 5.
c) Faux, car pH(C) + p H (C) = 0,3 + 0,01 = 0,31.
Exercice n° 10 page 193 Q.C.M. – Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1) A et B sont deux événements tels que p(A)  0 et p(B)  0. Alors p(A et B) =
a) p(A)  pB(A)
b) p(B)  pB(A)
c) p(A)  pA(B).
2) pA(B) :
a) est toujours inférieur ou égal à 1 ;
b) appartient à [0 ; 1] ;
3) Si l'on connaît p(A) et pA(B), alors on peut calculer :
a) p(B)
b) p(A et B)
c) peut être négatif.
c) pA
4) A est un événement tel que p(A)  0. Alors
a) pA(A) = 0
b) pA(A) = 1
( B ).
c) pA(A)  1.
1) Réponses exactes : b et c .
Voir le théorème 1.
2) Réponses exactes : a et b .
En effet, b) est vrai, donc automatiquement a) est vrai et c) est faux.
3) Réponses exactes : b et c .
En effet, p(A et B) = p(A)  pA(B) et pA
( B ) = 1 – p (B).
A
Par contre, pour calculer p(B), il faudrait un renseignement supplémentaire : par exemple : p
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A
(B).
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4) Réponses exactes : b et c .
En effet, pA(A) =
p(A  A) p(A)
=
= 1.
p(A)
p(A)
Exercice n°49 page 202 En stage
Pour recruter des stagiaires, une entreprise organise des tests de sélection. Parmi les candidats qui se présentent aux
épreuves, il y a 60 % de garçons. Après avoir pris connaissance des résultats aux tests, l'entreprise engage 70 % des
garçons candidats et 80 % des filles candidates. On rencontre au hasard un candidat qui s'était présenté au test.
1) Quelle est la probabilité que ce candidat soit un garçon et qu'il soit engagé comme stagiaire ?
2) Quelle est la probabilité que ce candidat soit une fille et qu'elle soit engagée comme stagiaire ?
3) Calculez la probabilité que ce candidat soit engagé.
1) Probabilité que ce candidat soit un garçon et qu'il soit engagé comme stagiaire : p(G et E) = 0,6  0,7 = 0,42 .
2) Probabilité que ce candidat soit une fille et qu'elle soit engagée comme stagiaire : p(F et E) = 0,4 × 0,8 = 0,32 .
3) Probabilité que ce candidat soit engagé : p(E) = p(G et E) + p(F et E) = 0,42 + 0,32 = 0,74 .
Exercice n°52 page 202
Au bridge, un joueur reçoit successivement 13 cartes d'un jeu de 52 cartes. On suppose les cartes non truquées.
Calculez la probabilité que :
a) la première carte obtenue soit un as ;
b) la deuxième carte soit un as ;
c) la troisième carte soit un as.
Aide
Attention, dans la question b), la première carte n'est pas nécessairement un as. De même dans la question c), la
première et la deuxième carte ne sont pas nécessairement des as.
a) Probabilité que la première carte obtenue soit un as : p(A1) =
b) Probabilité que la deuxième carte soit un as : p(A2) =
1
.
13
1
3 12 4
3 + 48
51
1
 +
 =
=
=
.
13 51 13 51 13  51 13  51 13
c) Probabilité que la troisième carte soit un as
p(A3) =
1 3
2 48 3
12 4
3 47 4
150 + 12  200
2 550
51  50
1
 +  +   +  =
=
=
=
.
13 51 50 51 50 13 51 50 51 50
13
13  51  50
13  51  50 13  51  50
Ces résultats sont bien conformes à l’intuition disant que l’on a autant de chances d’obtenir un as à la première carte,
qu’à la deuxième ou à la troisième carte.
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Exercice n°54 page 203
Une situation aléatoire est modélisée par l'arbre ci-contre.
On sait de plus que p(B) = 0,44.
Calculez pA (B).
3
p(B) = 0,2  0,4 + 0,5  0,6 + 0,3  pA (B),
3
soit : 0,44 = 0,08 + 0,3 + 0,3 pA (B),
3
ou encore : 0,44 = 0,38 + 0,3 pA (B),
3
0,06
et donc : pA (B) =
= 0,2 .
3
0,3
Exercice n°55 page 203
Aménagement d'intérieur
Dans un programme de construction proposé par un promoteur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose
de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour le revêtement des murs du salon, ifs ont le
choix entre peinture ou papier peint.
Le recueil des choix des acquéreurs par l'entreprise donne les résultats suivants :
 20 % ont choisi la moquette ;
 50 % ont choisi le carrelage ;
 les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié.
Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. Parmi les
acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. 42,7 % des
acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs.
On interroge au hasard l'acquéreur d'un logement construit par cette entreprise.
On considère les événements suivants :
M : « l'acquéreur a choisi la moquette » ;
C : « l'acquéreur a choisi le carrelage » ;
S : « l'acquéreur a choisi le sol plastifié » ;
P : « l'acquéreur a choisi le papier peint ».
1) Représentez la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.
2) a) Décrivez l'événement M  P.
b) Calculez la probabilité p(M  P).
3) a) Montrez que la probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est égale à 0,075.
b) L'acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculez la probabilité qu'il ait choisi le papier peint.
1)
2) a) M  P = « ‘l’acquéreur a choisi la maquette et le papier peint » .
b) p(M  P) = p(M)  pM(P) = 0,2  0,46 = 0,092 .
3) a) On a p(P) = 0,2  0,46 + 0,5  0,52 + p(S  P),
soit : 0,427 = 0,092 + 0,26 + p(S  P),
ou encore : 0,427 = 0,352 + p(S  P),
et donc : p(S  P) = 0,427 – 0,352 = 0,075.
La probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est bien 0,075.
b) Si l'acquéreur a choisi le sol plastifié, la probabilité qu'il ait choisi le papier peint est :
pS(P) =
p(P  S) 0,075
=
= 0,25 .
p(S)
0,3
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Exercice n°57 page 204 Arbre ou tableau
Très souvent, dans un exercice de ce chapitre, il se dégage deux événements A et B. Des renseignements sont donnés
du genre : p(A) = … ; pA(B) = … ; p(A  B) = … . Pour traduire la situation afin de répondre aux questions, on se
demande s'il vaut mieux dessiner un arbre pondéré (et lequel) ou un tableau.
Un arbre
et un
pondéré se
tableau
présente
ainsi :
ainsi :
A
A
B
p(A  B)
…
…
B
…
…
…
p(A)
( )
p A
1) Recopiez les arbres et le tableau et, dans chacun des cas, remplacez les emplacements vides par les probabilités
qu'ils représentent.
1)
A
B
B
A
(
) p(B)
p(A  B ) p( A  B ) p( B )
p(A)
p( A )
p(A  B)
p A B
2) Dans un exercice, lorsque l'on ne sait pas s'il vaut mieux utiliser un arbre ou un tableau, il est bon de choisir le dessin
sur lequel on pourra faire figurer le plus possible des données de l'énoncé.
On pourra remarquer que sur un tableau, on peut indiquer des probabilités d'intersections d'événements, alors qu'on
ne peut pas le faire sur un arbre.
Avec les renseignements donnés dans chacun des cas ci-après, dessinez l'outil, arbre ou tableau, traduisant le mieux
les données et complétez-le.
a) p(A) = 0,3
pA(B) = 0,8
p A (B) = 0,6
2) a)
b) p(B) = 0,4
( ) = 0,5
pB(A) = 0,3
pB A
p (B) = 0,5
p(A  B) = 0,2
b)
c) p(A) = 0,6
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c)
A
A
B
0,2
0,3
0,5
B
0,4
0,1
0,5
0,6
1
d) p(A) =
4
0,4
1
d)
p(B) =
A
2
15
7
60
1
4
A
8
B
15
13
B
60
3
4
1
e) p(A  B) =
p
12
B
B
A
A
1
12
1
6
1
4
5
12
1
3
3
4
(
)
p A B =
8
15
2
3
1
3
1
(A
e)
1
3
Page 23 sur 23
)
B =
5
12
(
p A B
) = 16
1
2
1
2
1
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