Modèle mathématique.

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Ch.4 Probabilités conditionnelles
1.1 Probabilité, événements
 Probabilité d'un événement
On note a1 ,a2 , …, an les événements élémentaires d'une expérience aléatoire.
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
 Événement contraire A
A est constitué par tous les événements élémentaires ne se trouvant pas dans A :
p( ) A = 1 – p(A).
 Événements A  B et A  B
- L'événement « A et B », noté aussi A  B, est constitué par tous les événements élémentaires se trouvant à la fois
dans A et dans B. Si A  B = , les événements A et B sont dits disjoints.
- L'événement « A ou B », noté aussi A  B, est constitué par les événements élémentaires se trouvant dans l'un au
moins des événements A, B.
- p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B).
Questions-tests n°1 page 185
On lance un dé non pipé et on lit le chiffre apparu.
1) Quel est l'ensemble des événements élémentaires ?
2) Quelle est la probabilité de chacun des événements élémentaires ?
3) Quelle est la probabilité de l'événement {2 ; 5} ?
1) L'ensemble des événements élémentaires est {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .
2) Le dé est non pipé, donc les événements élémentaires sont équiprobables. Chacun a pour probabilité 1
6.
3) L'événement {2 ; 5} contient 2 éléments parmi les 6 possibles du dé.
Donc la probabilité de l'événement {2 ; 5} est 2
6 = 1 3.
Questions-tests n°2 page 185
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
Quelle est la probabilité de ne pas tirer un roi ?
Il y a 4 rois, soit 28 autres cartes parmi les 32 cartes du jeu.
Dons la probabilité de ne pas tirer un roi est 28
32 = 7 8.
Questions-tests n°3 page 185
A et B sont deux événements. On sait que
p(A) = 1
4 et p(B) = 1 3 .
1) Sans autres informations, peut-on calculer p(A B) ?
2) On sait que p(A B) = 1
6 . Calculez p(A
B).
1) Non , car on ne connaît pas p(A B).
2) p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) = 1
4 + 1 3 – 1 6 = 3 + 4 – 2 12 = 5 12 .
1.2 Arbre pondéré
Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, alors :
- la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est
égale à 1 ;
x + y + z = 1
- la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque
branche de ce chemin.
Questions-tests n°4 page 185

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Deux urnes U1 et U2 contiennent chacune des boules blanches et des boules noires. La
probabilité de tirer une boule blanche est égale à 0,3 dans l'urne U1 et à 0,4 dans l'urne U2 .
La probabilité de tirer une boule noire est donc égale à 0,7 dans l'urne U1 et à 0,6 dans
l'urne U2 .
On tire successivement une boule de l'urne U1 , puis une boule de l'urne U2 .
Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche puis une boule noire ?
La probabilité d'obtenir une boule blanche puis une boule noire est : 0,3  0,6 = 0,18 .
Exercice n°12 page 196
Donnez chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
a) 1
3  3 4
b) 2
5  5 6
c) 1
8  4 5 .
a) 1
3  3 4 = 1 4.
b) 2
5  5 6 = 2 6 = 1 3.
c) 1
8  4 5 = 1  4
(2  4)  5 = 1
10 .
Exercice n°13 page 196
Donnez chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
a) 1
2
3
b) 1
5
3
5
c)
1
2
2
1
4
.
a) 1
2
3 = 1  3
2 = 3 2.
b) 1
5
3
5
= 1
5  5 3 = 1 3.
c)
1
2
2
1
4
= 1
4
1
4
= 1
4  4 = 1 .
Exercice n°14 page 196
Donnez chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
a) 1
3 + 1 6
b) 1
4 + 1 2
c) 1
9 – 1 18 .
a) 1
3 + 1 6 = 2 6 + 1 6 = 3 6 = 1 2.
b) 1
4 + 1 2 = 1 4 + 2 4 = 3 4.
c) 1
9 – 1 18 = 2 18 – 1 18 = 1 18 .
Exercice n°15 page 196
Résolvez chacune des équations d'inconnue p.
a) p + 0,4 = 1
b) p – 0,2 = 0,5
c) p + 0,04 = 1.
a) p + 0,4 = 1 équivaut à :
p = 1 – 0,4
p = 0,6 .
b) p – 0,2 = 0,5 équivaut à :
p = 0,5 + 0,2
p = 0,7 .
c) p + 0,04 = 1 équivaut à :
p = 1 – 0,04
p = 0,96 .
Exercice n°16 page 196
Résolvez chacune des équations d'inconnue p.
a) 0,2p = 0,6
b) p – 0,3  0,4 = 0
c) p
0,3 = 0,2.
a) 0,2p = 0,6 équivaut à :
p = 0,6
0,2
p = 3.
b) p – 0,3  0,4 = 0 équivaut à :
p – 0,12 = 0
p = 0,12 .
c) p
0,3 = 0,2 équivaut à :
p = 0,2  0,3
p = 0,06 .
Exercice n°17 page 196
Résolvez chacune des équations d'inconnue p.
a) 1
3 + p = 1
b) p + 1
3  1 4 = 1
c) 1
3 p + 2 3 = 1.
a) 1
3 + p = 1 équivaut à :
p = 1 – 1
3
p = 2
3.
b) p + 1
3  1 4 = 1 équivaut à :
p + 1
12 = 1
p = 1 – 1
12
c) 1
3 p + 2 3 = 1 équivaut à :
1
3 p = 1 – 2 3
1
3 p = 1 3
p = 1
3  3

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p = 11
12 .
p = 1.
Activité n°1 page 186 Dans un lycée
Dans un lycée de 1 000
élèves, 45 % des élèves sont
des filles, 55 % des garçons.
Parmi les filles, 30 % sont
internes et 70 % externes.
Parmi les garçons, 60 % sont
internes et 40 % externes.
Cette situation peut être
représentée par l'arbre ci-
contre :
1) Complétez cet arbre.
1)
2) La branche colorée en bleu signifie que si on tire au hasard une fiche dans le fichier des filles du lycée, la probabilité
que ce soit la fiche d'une interne est égale à 30
100 .
Expliquez pourquoi la probabilité de tirer, dans le fichier de tous les élèves du lycée, la fiche d'une fille externe est
égale à la fraction : nombre de filles externes
nombre total d'élèves , c'est-à-dire à 0,315.
2) Le tirage s’effectuant au hasard, la probabilité est définie par nombre de cas favorables
nombre de cas possibles , soit :
p(« fiche d’une fille externe ») = nombre de filles externes
nombre total d’élèves = (1 000  0,45)  0,7
1 000 = 0,45  0,7 = 0,315.
3) On peut constater que le nombre 0,315 est le produit des nombres situés sur les branches colorées en rouge :
0,45  0,7.
Ainsi, on peut écrire : p(F et E) = p(F)  pF(E) en notant pF(E) la probabilité d'obtenir une fiche « externe » sachant
qu'il s'agit d'une fiche « fille ».
Calculez de deux manières différentes la probabilité de tirer la fiche :
a) d'un garçon interne ;
b) d'une fille externe.
3)
a) p(« garçon interne ») = nombre de garçons internes
nombre total d’élèves = (1 000  0,55)  0,6
1 000 = 0,55 × 0,6 = 0,33 .
Autre méthode :
p(« garçon interne ») = p(« garçon »)  p« garçon »(« interne ») = 0,55  0,6 = 0,33 .
b) p(« fille externe ») = nombre de filles externes
nombre total d’élèves = (1 000  0,45)  0,7
1 000 = 0,45  0,7 = 0,315 .
Autre méthode :
p(« fille externe ») = p(« fille »)  p« fille »(« externe ») = 0,45  0,7 = 0,315 .
Activité n°2 page 186 Dans une ville
Dans une ville de 50 000 habitants, 20 % de la population a plus de 60 ans. Parmi les habitants de plus de 50 ans, 60 %
sont de sexe féminin; parmi ceux de moins de 60 ans, 53 % sont de sexe féminin.
1) Faites un arbre pondéré correspondant à cette situation.
2) On rencontre au hasard un habitant de cette ville.
a) Quelle est la probabilité que cet habitant soit un homme de plus de 60 ans ?
b) Quelle est la probabilité que ce soit un habitant de moins de 60 ans de sexe féminin ?

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1)
2)
a) La probabilité que cet habitant soit un homme de plus de 60 ans est : 0,2  0,4 = 0,08 .
b) La probabilité que ce soit un habitant de moins de 60 ans de sexe féminin est : 0,8  0,53 = 0,424 .
2 NOTION DE PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
2.1 Définition
DÉFINITION 2
Si p(A)  0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, noté pA(B), défini par :
pA(B) = p(A et B)
p(A) .
Cette égalité s'écrit également : p(A et B) = p(A)  pA(B).
2.2 Utilisation d'un arbre pondéré
La notion de probabilité conditionnelle a déjà été rencontrée
lorsqu'une situation est modélisée par un arbre.
Ainsi, par exemple, considérons une situation modélisée par l'arbre
suivant, A et B désignant deux événements :
pA(B) est le nombre figurant sur la branche rouge.
pA(B) est le nombre figurant sur la branche bleue.
Exercice n°18 page 196
A et B sont deux événements. On sait que :
p(A) = 0,35 ; pA(B) = 0,42 ; pA( ) B = 0,18.
1) Placez ces trois nombres sur l'arbre ci-contre, après l'avoir recopié.
2) Complétez l'arbre pondéré avec les probabilités manquantes.
1)
2)
Exercice n°19 page 196 Bien choisir son arbre
A et B sont des événements tels que :
p(A) = 0,35, pA(B) = 0,42 et pA(B) = 0,37.
On se propose de dessiner un arbre pondéré sur les branches duquel
on pourra écrire les trois renseignements donnés ci-dessus.
1) Dessinera-t-on l'arbre 1 ou l'arbre 2 ? Justifiez.
2) Sur l'arbre que vous aurez choisi, écrivez en rouge les trois
renseignements donnés par le texte.
3) Complétez en bleu les probabilités manquantes.

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Arbre 1
Arbre 2
1) L’arbre 1 , car on connaît p(A) qui s’écrira sur une branche du premier niveau et pA(B) ainsi que pA(B) qui
s’écriront sur des branches du deuxième niveau.
2)
3)
Exercice n°20 page 196 Résultats du bac
Dans l'ensemble des classes de terminale générale, en 2010, il y avait 45 % de garçons. 88 % des filles ont été reçues au
bac et seulement 86 % des garçons.
(Source : ministère de l'Éducation nationale/DEPP).
On rencontre au hasard un élève qui était en terminale cette année-là.
On note :
- G l'événement : « l'élève rencontré est un garçon ».
- F l'événement : « l'élève rencontré est une fille ».
- R l'événement : « l'élève rencontré a été reçu au bac ».
1) En utilisant les notations ci-dessus, traduisez en langage des probabilités la phrase :
« 88 % des filles ont été reçues au bac ».
2) Recopiez et complétez l'arbre ci-dessous permettant de modéliser la situation :
1) pF(R) = 0,88 .
2)
Exercice n°21 pages 196-197 En voyage
Une agence de voyage propose deux durées de séjours, le week-end ou la semaine, et deux types de destinations,
France ou étranger.
Parmi les dossiers de l'agence on constate que :
 60 % de séjours ont lieu en France ;
 45 % des séjours en France durent une semaine ;
 75 % des séjours à l'étranger durent une semaine.
On choisit un dossier au hasard et on note :
 F l'événement : « Le séjour a lieu en France » ;
 S l'événement : « Le séjour dure une semaine » ;
 E l'événement contraire de F.
1) En utilisant les données de l'énoncé, déterminez les probabilités suivantes :
a) p(F)
b) pF(S)
c) pE (S).
2) Dessinez un arbre pondéré modélisant cette situation et écrivez les probabilités correspondantes sur chacune de ses
branches.
1)
a) p(F) = 60
100 = 0,6 .
b) pF(S) = 45
100 = 0,45 .
c) pE(S) = 75
100 = 0,75 .