DM n°7 : Thermodynamique, Mesures et

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°7 : Thermodynamique,
Mesures et Applications
Préparation ITPE Interne - Concours 2016-2017
Correction
Ce sujet, un peu plus court que d’habitude, permet de réviser efficacement les différentes notions du cours de
thermodynamique classique. C’est un très bon exercice à reprendre durant vos révisions. Au niveau de la longueur, ce
sujet correspond à un peu plus de la moitié d’un sujet de quatre heures.
Exercice - Transformations Adiabatiques
Piston
P1,V1,T1
Pext
Piston
V1V2´V1
P2,T2
Figure 1.1 – États initial (gauche) et final (droite) de la détente du gaz parfait. Dans le cas de la détente dans le vide
– dit de Gay-Lussac – on a Pext “0et on bloque le piston une fois que le gaz occupe une volume V2“2V1.
1) Le modèle de gaz parfait a été construit à partir d’observations expérimentales. Boyle (en 1662) et Mariotte (en
1676) ont observé la caractéristique suivante :
À température constante, le produit de la pression Ppar le volume V,P V , est constant lorsque la pression est
faible.
De la multiplication des lois de la sorte (loi d’Avogadro, loi de Charles, loi de Dalton ...) est née un modèle
macroscopique des gaz à basse pression et basse température : c’est le modèle du gaz parfait, dont nous rappelons
les caractériqtiques.
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Un gaz parfait est un gaz dont les molécules (ou les atomes pour un gaz rare) sont considérées comme
ponctuelles, et n’interagissant pas entre elles. En particulier, les particules ne s’entrechoquent pas.
En pratique, on peut considérer les particules comme ponctuelles lorsque leur taille caractéristique est
bien plus faible que la distance interparticulaire moyenne ; cela correspond à une basse pression. Les chocs
peuvent être négligés lorsque la température est assez faible, c’est à dire que l’énergie d’une particule est
trop faible pour qu’elle puisse aller perturber sa voisine qui se situe loin d’elle à basse pression.
Rappel de cours
Au bilan, on peut résumer cela par :
Un gaz peut être considéré comme parfait lorsque sa pression et sa température sont assez faibles. Dans ce
cas, la grande distance interparticulaire et la faible énergie de chaque particule permet de considérer les
particules comme ponctuelles et sans interaction (en particulier sans chocs).
2) Cette question entière est un rappel de cours ! On peut exprimer le second principe de la thermodynamique
comme suit :
Pour un système thermodynamique fermé, il existe une fonction d’état extensive S, appelée entropie, dont
la variation lors d’une transformation quelconque, peut être décrite comme la somme d’un terme d’échange
et d’un terme de création :
∆S“Sext `Sc.
— L’entropie créée, Sc, toujours positive ou nulle, indique le sens de la transformation. La transformation
est irréversible si Scą0, réversible lorsque cette entropie créée est nulle.
— Le terme d’échange décrit les échanges d’entropie sous forme de chaleur avec des sources extérieures.
En pratique, si l’on dispose de Nsources à la température Text
ifournissant chacune au système une
quantité de chaleur Qidurant la transformation, on peut exprimer ce terme d’échange comme :
Sext “řN
i“1
Qi
Text
i
.
Dans le cas particulier d’une seule source :
Sext “Q
Text .
On fera attention à la convention de signe : Qest pris positif si la source donne de la chaleur au système.
Rappel de cours
3) Soit un système thermodynamique fermé, contenant nmoles de gaz, subissant une transformation quasistatique
(il est nécessaire de la préciser pour que les différentielles de l’identité thermodynamique aient un sens !), entre
deux états d’équilibres caractérisés par :
pPi, Ti, Viq Ñ pPf, Tf, Vfq.
Par application de l’identité thermodynamique, rappelée dans l’énoncé, on obtient une expression de dS qu’il
faudra par la suite intégrer :
dS “P
TdV `1 TdU.
Il faut ensuite invoquer la loi des gaz parfaits pour pouvoir exprimer la fonction P
Ten fonction de V:
Loi des gazs Parfaits : P
T“nR V;
et la première loi de Joule pour lier dU àdT :

3-Concours 2016-2017
Première loi de Joules : dU “nCvdT
avec Cvla capacité calorifique molaire à volume constant. Par la relation de Mayer, on sait de plus que cette
dernière peut être exprimée en fonction de γ“Cp
Cv
comme :
Cv“R
γ´1.
Finalement, on obtient :
dS “nR dV
V`nR γ´1
dT
T
soit en intégrant
∆S“nR ln !Vf
Vi´Tf Ti¯
1
γ´1).
On retrouve ici la loi de Laplace pour un gaz parfait. Pour une variation isentropique, P V γ“cte. En
effet, une transformation isentropique implique que l’argument du logarithme dans l’équation précédente
est égal à 1. On obtient donc en passant cette égalité à la puissance γ´1:
TiVγ´1
i“TfVγ´1
fôPiVγ
i“PfVγ
f.
Nous reviendrons dessus plus en détail par la suite.
Remarque
4) En s’aidant de la question 2), pour une transformation adiabatique Q“0, on obtient par application directe du
second principe :
Se“0 et : Sc“∆S“nR ln !Vf
Vi´Tf Ti¯
1
γ´1).
I. Détente Quasi-Statique
5) Une transformation quasistatique est une transformation pour laquelle tout les états intermédiaires dans lesquels
le système se trouve lors de la transformation sont des états bien définis, c’est à dire infiniment proche d’un état
d’équilibre.
En pratique, pour qu’un état soit "bien défini", il faut que le gaz n’ait pas d’inhomogénéités sur des distances
trop courtes. Dès lors en effet, les grandeurs intensives – pression, température, densité volumique – définies
comme des moyennes sur des petits volumes n’ont plus de sens.
6) Pour une transformation quasistatique adiabatique d’un gaz parfait, la loi de Laplace donne une relation entre
l’état initial et final ; on a par exemple :
P1Vγ
1“P2Vγ 2et : P1´γ 1Tγ 1“P1´γ 2Tγ 2.
Puisque dans nos conditions expérimentales, on a P2“1
2P1, on obtient les expressions suivantes :
V2“21{γV1»1.6 l et : T2“21{γ´1T1»250 K.
FAIRE LA PREUVE DE LA LOI DE LAPLACE EN REMARQUE

-Concours 2016-2017 4
7) L’hypothèse quasistatique permet d’affirmer qu’à tout instant, il y a équilibre mécanique au niveau du piston
Pext “P, ainsi le travail élémentaire allié à la loi de Laplace donne :
δW “ ´Pext dV “ ´P dV “ ´P1Vγ
1
dV
Vγ,
en intégrant cette relation entre les états 1et 2, on obtient :
W“P2V2´P1V1
γ´1» ´90 J.
Pour l’application, il faut bien utiliser les unités du système international, qui sont le Pascal et non le Bar
pour la pression, et le mètre cube et non le litre pour le volume.
Attention !
Enfin l’application du premier principe de la thermodynamique au système fermé des nmoles de gaz donne pour
une transformation adiabatique (Q“0) :
∆U“W“P2V2´P1V1
γ´1
8) On vient d’utiliser la loi de Laplace puisque la transformation est celle d’un gaz parfait et qu’elle est adiabatique
et quasistatique. On sait alors par cette loi que :
T V γ´1“cte lors de la transformation.
Injecté dans la relation trouvée à la question 3), implique que la transformation est isentropique :
∆S“nR ln 1 “0 J K´1.
La question 4) donne le lien pour une transformation adiabatique entre Scet DeltaS :
Sc“∆S“0 J K´1
La transformation est réversible !
II. Détente Monobare
La deuxième détente se fait en débloquant une paroi afin d’équilibrer le systéme avec la pression extérieure constante
PE“1
2P1“P2. Le tout restant calorifugé.
9) Une transformation monobare est une transformation pour laquelle la la pression extérieure est gardée constante,
Pext “cte. Dans le cas d’un état initial et final en équilibre mécanique, on doit nécessairement avoir pi“pf“
Pext bien que la pression du système puisse varier au cours de cette transformation.
Ici, ce n’est même pas le cas, puisque P1‰P2. À l’instant initial, le piston est débloqué (il l’était par exemple
avec une vis). On a donc au départ un déséquilibre mécanique ce qui nous pousse dors et déjà à penser que la
transformation sera irréversible. Le piston de lui même ne reviendra pas à sa position initiale puisqu’il n’y a plus
de vis pour maintenir le piston à cette place là.
10) L’état final étant un état d’équilibre, l’équilibre mécanique au niveau du piston est vérifié et l’on a Pext “P2
constant. On peut intégrer facilement le travail élémentaire de la force de pression :
δW “ ´PextdV “ ´P2dV ñW“ ´P2pV2´V1q

5-Concours 2016-2017
11) La première loi de Joules nous apprend de plus que la variation d’énergie interne du gaz parfait est décrite par :
∆U“nCvpT2´T1q “ nRT1
γ´1´T2 T1
´1¯
la seconde égalité s’obtenant grâce à la loi de Mayer.
La premier principe appliqué à notre système fermé et pour un transformation adiabatique (Q“0) permet
d’écrire, en utilisant la loi des gaz parfaits :
∆U“WñnRT1
γ´1´T2 T1
´1¯“ ´nRT2`P2
P1
nRT1.
En simplifiant cette équation par nRT1, et en isolant T2
T1
, on obtient sans trop de difficultés l’équation demandée :
T2
T1
“1
γ´1` pγ´1qP2 P1¯.
12) La relation précédente permet d’obtenir T2:
T2»260 K.
Ce qui permet par la loi des Gaz Parfait de trouver V2:
V2“P1
P2
V1
T2
T1
»1.7 l.
On a toutes les informations pour calculer W:
W“ ´P2pV2´V1q“´70 J.
13) À l’aide de la question 4), on peut calculer l’entropie créée. Le transformation est irréversible si l’argument dans
le logarithme est plus grand que 1. Calculons le :
V2
V1´T2 T1¯1{pγ´1q»1.2ą1.
Finalement :
Scą0
La transformation est irréversible.
Cette irréversibilité est due au déséquilibre mécanique de l’état initial Pext ‰P1. C’est ce que nous attendions.
14) En effectuant un grand nombre de petites détentes pour lesquels les déséquilibres sont faibles, nous devrions
réduire l’entropie de chacune des transformations. Seulement, nous augmentons aussi le nombre de transforma-
tion. L’argument permettant de justifier que le fractionnement de notre transformation va en effet permettre de
diminuer l’entropie créée est d’étudier le cas limite où la nombre d’étapes tend vers l’infini.
C’est en fait un cas que nous avons déja étudié : cela correspond à avancer par des incréments de pressions
infiniment faibles, c’est à dire rester infiniement proche de l’état final de la détente PkÑPk`1. Cette situation
est donc équivalente à celle de la première partie, puisqu’à chaque instant, le système est infiniment proche d’un
état d’équilibre. Dans le cas d’un fractionnement infini, on retrouve une transformation quasistatique, qui, on a
vu, est réversible.
Ce cas limite nous confirme dans l’idée que le fractionnement doit diminuer l’entropie créée.
On étudie donc par la suite une suite de Nétapes successives pour lesquelles la pression du gaz passe de Pkà
Pk`1“Pk`dP , avec dP !Pk.
15) Pour étudier la kème transformation, passant de PkàPk`1de façon monobare avec Pext “Pk`1, on peut
remplacer P2par Pk`1et P1par Pkdans nos résultats précédents.
En reprenant le résultat de la question 4), on obtient une première relation :