DM n°7 : Thermodynamique, Mesures et

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°7 : Thermodynamique,
Mesures et Applications
Préparation ITPE Interne - Concours 2016-2017
Correction
Ce sujet, un peu plus court que d’habitude, permet de réviser efficacement les différentes notions du cours de
thermodynamique classique. C’est un très bon exercice à reprendre durant vos révisions. Au niveau de la longueur, ce
sujet correspond à un peu plus de la moitié d’un sujet de quatre heures.
Exercice - Transformations Adiabatiques
P1 , V1 , T1
Piston
V1
V2 ´ V1
Piston
Pext
P2 , T2
Figure 1.1 – États initial (gauche) et final (droite) de la détente du gaz parfait. Dans le cas de la détente dans le vide
– dit de Gay-Lussac – on a Pext “ 0 et on bloque le piston une fois que le gaz occupe une volume V2 “ 2V1 .
1) Le modèle de gaz parfait a été construit à partir d’observations expérimentales. Boyle (en 1662) et Mariotte (en
1676) ont observé la caractéristique suivante :
À température constante, le produit de la pression P par le volume V , P V , est constant lorsque la pression est
faible.
De la multiplication des lois de la sorte (loi d’Avogadro, loi de Charles, loi de Dalton ...) est née un modèle
macroscopique des gaz à basse pression et basse température : c’est le modèle du gaz parfait, dont nous rappelons
les caractériqtiques.
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Rappel de cours
Un gaz parfait est un gaz dont les molécules (ou les atomes pour un gaz rare) sont considérées comme
ponctuelles, et n’interagissant pas entre elles. En particulier, les particules ne s’entrechoquent pas.
En pratique, on peut considérer les particules comme ponctuelles lorsque leur taille caractéristique est
bien plus faible que la distance interparticulaire moyenne ; cela correspond à une basse pression. Les chocs
peuvent être négligés lorsque la température est assez faible, c’est à dire que l’énergie d’une particule est
trop faible pour qu’elle puisse aller perturber sa voisine qui se situe loin d’elle à basse pression.
Au bilan, on peut résumer cela par :
Un gaz peut être considéré comme parfait lorsque sa pression et sa température sont assez faibles. Dans ce
cas, la grande distance interparticulaire et la faible énergie de chaque particule permet de considérer les
particules comme ponctuelles et sans interaction (en particulier sans chocs).
2) Cette question entière est un rappel de cours ! On peut exprimer le second principe de la thermodynamique
comme suit :
Rappel de cours
Pour un système thermodynamique fermé, il existe une fonction d’état extensive S, appelée entropie, dont
la variation lors d’une transformation quelconque, peut être décrite comme la somme d’un terme d’échange
et d’un terme de création :
∆S “ Sext ` Sc .
— L’entropie créée, Sc , toujours positive ou nulle, indique le sens de la transformation. La transformation
est irréversible si Sc ą 0, réversible lorsque cette entropie créée est nulle.
— Le terme d’échange décrit les échanges d’entropie sous forme de chaleur avec des sources extérieures.
En pratique, si l’on dispose de N sources à la température Tiext fournissant chacune au système une
quantité de chaleur Qi durant la transformation, on peut exprimer ce terme d’échange comme :
Sext “
řN
i“1
Qi
.
Tiext
Dans le cas particulier d’une seule source :
Q
.
T ext
On fera attention à la convention de signe : Q est pris positif si la source donne de la chaleur au système.
Sext “
3) Soit un système thermodynamique fermé, contenant n moles de gaz, subissant une transformation quasistatique
(il est nécessaire de la préciser pour que les différentielles de l’identité thermodynamique aient un sens !), entre
deux états d’équilibres caractérisés par :
pPi , Ti , Vi q Ñ pPf , Tf , Vf q.
Par application de l’identité thermodynamique, rappelée dans l’énoncé, on obtient une expression de dS qu’il
faudra par la suite intégrer :
dS “
1
P
dV ` dU .
T
T
Il faut ensuite invoquer la loi des gaz parfaits pour pouvoir exprimer la fonction
Loi des gazs Parfaits :
et la première loi de Joule pour lier dU à dT :
P
nR
“
;
T
V
P
en fonction de V :
T
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Première loi de Joules : dU “ nCv dT
avec Cv la capacité calorifique molaire à volume constant. Par la relation de Mayer, on sait de plus que cette
Cp
comme :
dernière peut être exprimée en fonction de γ “
Cv
Cv “
R
.
γ´1
Finalement, on obtient :
dS “ nR
dV
nR dT
`
V
γ´1 T
soit en intégrant
∆S “ nR ln
1 )
! V ´ T ¯ γ´1
f
f
.
Vi Ti
Remarque
On retrouve ici la loi de Laplace pour un gaz parfait. Pour une variation isentropique, P V γ “ cte. En
effet, une transformation isentropique implique que l’argument du logarithme dans l’équation précédente
est égal à 1. On obtient donc en passant cette égalité à la puissance γ ´ 1 :
Ti Viγ´1 “ Tf Vfγ´1 ô Pi Viγ “ Pf Vfγ .
Nous reviendrons dessus plus en détail par la suite.
4) En s’aidant de la question 2), pour une transformation adiabatique Q “ 0, on obtient par application directe du
second principe :
Se “ 0
I.
et :
Sc “ ∆S “ nR ln
1 )
! V ´ T ¯ γ´1
f
f
.
Vi Ti
Détente Quasi-Statique
5) Une transformation quasistatique est une transformation pour laquelle tout les états intermédiaires dans lesquels
le système se trouve lors de la transformation sont des états bien définis, c’est à dire infiniment proche d’un état
d’équilibre.
En pratique, pour qu’un état soit "bien défini", il faut que le gaz n’ait pas d’inhomogénéités sur des distances
trop courtes. Dès lors en effet, les grandeurs intensives – pression, température, densité volumique – définies
comme des moyennes sur des petits volumes n’ont plus de sens.
6) Pour une transformation quasistatique adiabatique d’un gaz parfait, la loi de Laplace donne une relation entre
l’état initial et final ; on a par exemple :
P1 V1γ “ P2 V2γ
P11´γ T1γ “ P21´γ T2γ .
et :
Puisque dans nos conditions expérimentales, on a P2 “
V2 “ 21{γ V1 » 1.6 l
et :
1
P1 , on obtient les expressions suivantes :
2
T2 “ 21{γ´1 T1 » 250 K.
FAIRE LA PREUVE DE LA LOI DE LAPLACE EN REMARQUE
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- Concours 2016-2017
7) L’hypothèse quasistatique permet d’affirmer qu’à tout instant, il y a équilibre mécanique au niveau du piston
Pext “ P , ainsi le travail élémentaire allié à la loi de Laplace donne :
δW “ ´Pext dV “ ´P dV “ ´P1 V1γ
dV
,
Vγ
en intégrant cette relation entre les états 1 et 2, on obtient :
W “
P2 V 2 ´ P1 V 1
» ´90 J.
γ´1
Attention !
Pour l’application, il faut bien utiliser les unités du système international, qui sont le Pascal et non le Bar
pour la pression, et le mètre cube et non le litre pour le volume.
Enfin l’application du premier principe de la thermodynamique au système fermé des n moles de gaz donne pour
une transformation adiabatique (Q “ 0) :
∆U “ W “
P2 V 2 ´ P1 V 1
γ´1
8) On vient d’utiliser la loi de Laplace puisque la transformation est celle d’un gaz parfait et qu’elle est adiabatique
et quasistatique. On sait alors par cette loi que :
T V γ´1 “ cte lors de la transformation.
Injecté dans la relation trouvée à la question 3), implique que la transformation est isentropique :
∆S “ nR ln 1 “ 0 J K´1 .
La question 4) donne le lien pour une transformation adiabatique entre Sc et DeltaS :
Sc “ ∆S “ 0 J K´1
La transformation est réversible !
II.
Détente Monobare
La deuxième détente se fait en débloquant une paroi afin d’équilibrer le systéme avec la pression extérieure constante
1
PE “ P1 “ P2 . Le tout restant calorifugé.
2
9) Une transformation monobare est une transformation pour laquelle la la pression extérieure est gardée constante,
Pext “ cte. Dans le cas d’un état initial et final en équilibre mécanique, on doit nécessairement avoir pi “ pf “
Pext bien que la pression du système puisse varier au cours de cette transformation.
Ici, ce n’est même pas le cas, puisque P1 ‰ P2 . À l’instant initial, le piston est débloqué (il l’était par exemple
avec une vis). On a donc au départ un déséquilibre mécanique ce qui nous pousse dors et déjà à penser que la
transformation sera irréversible. Le piston de lui même ne reviendra pas à sa position initiale puisqu’il n’y a plus
de vis pour maintenir le piston à cette place là.
10) L’état final étant un état d’équilibre, l’équilibre mécanique au niveau du piston est vérifié et l’on a Pext “ P2
constant. On peut intégrer facilement le travail élémentaire de la force de pression :
δW “ ´Pext dV “ ´P2 dV
ñ
W “ ´P2 pV2 ´ V1 q
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11) La première loi de Joules nous apprend de plus que la variation d’énergie interne du gaz parfait est décrite par :
¯
nRT1 ´ T2
∆U “ nCv pT2 ´ T1 q “
´1
γ ´ 1 T1
la seconde égalité s’obtenant grâce à la loi de Mayer.
La premier principe appliqué à notre système fermé et pour un transformation adiabatique (Q “ 0) permet
d’écrire, en utilisant la loi des gaz parfaits :
¯
P2
nRT1 ´ T2
´ 1 “ ´nRT2 `
nRT1 .
∆U “ W ñ
γ ´ 1 T1
P1
En simplifiant cette équation par nRT1 , et en isolant
T2
, on obtient sans trop de difficultés l’équation demandée :
T1
T2
1´
P2 ¯
“
1 ` pγ ´ 1q
.
T1
γ
P1
12) La relation précédente permet d’obtenir T2 :
T2 » 260 K.
Ce qui permet par la loi des Gaz Parfait de trouver V2 :
V2 “
P1 T2
V1
» 1.7 l.
P2 T1
On a toutes les informations pour calculer W :
W “ ´P2 pV2 ´ V1 q “ ´70 J.
13) À l’aide de la question 4), on peut calculer l’entropie créée. Le transformation est irréversible si l’argument dans
le logarithme est plus grand que 1. Calculons le :
V2 ´ T2 ¯1{pγ´1q
» 1.2 ą 1.
V1 T1
Finalement :
Sc ą 0
La transformation est irréversible.
Cette irréversibilité est due au déséquilibre mécanique de l’état initial Pext ‰ P1 . C’est ce que nous attendions.
14) En effectuant un grand nombre de petites détentes pour lesquels les déséquilibres sont faibles, nous devrions
réduire l’entropie de chacune des transformations. Seulement, nous augmentons aussi le nombre de transformation. L’argument permettant de justifier que le fractionnement de notre transformation va en effet permettre de
diminuer l’entropie créée est d’étudier le cas limite où la nombre d’étapes tend vers l’infini.
C’est en fait un cas que nous avons déja étudié : cela correspond à avancer par des incréments de pressions
infiniment faibles, c’est à dire rester infiniement proche de l’état final de la détente Pk Ñ Pk`1 . Cette situation
est donc équivalente à celle de la première partie, puisqu’à chaque instant, le système est infiniment proche d’un
état d’équilibre. Dans le cas d’un fractionnement infini, on retrouve une transformation quasistatique, qui, on a
vu, est réversible.
Ce cas limite nous confirme dans l’idée que le fractionnement doit diminuer l’entropie créée.
On étudie donc par la suite une suite de N étapes successives pour lesquelles la pression du gaz passe de Pk à
Pk`1 “ Pk ` dP , avec dP ! Pk .
15) Pour étudier la kème transformation, passant de Pk à Pk`1 de façon monobare avec Pext “ Pk`1 , on peut
remplacer P2 par Pk`1 et P1 par Pk dans nos résultats précédents.
En reprenant le résultat de la question 4), on obtient une première relation :
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- Concours 2016-2017
Sc,k “ nR ln
!V
k`1
Vk
´T
k`1
¯1{pγ´1q )
!
“ nR ln
Tk
Pk ´ Tk`1 ¯γ{pγ´1q )
,
Pk ` dP Tk
la deuxième égalité est obtenue en utilisant la loi des gaz parfaits et en écrivant Pk`1 “ Pk ` dP .
Pour exprimer le rapport des températures, on utilise la question 11), de laquelle on déduit :
Tk`1
Pk ` dP ¯
1´
γ ´ 1 dP
1 ` pγ ´ 1q
“
“1`
.
Tk
γ
Pk
γ Pk
Étude au Premier Ordre : Si l’on s’arrète au premier ordre en dP {Pk ! 1, on peut faire le développement
de l’argument du logarithme dans l’expression de Sc,k . Pour cela on utilise :
´
dP
γ ´ 1 dP ¯γ{pγ´1q
dP
1
»1´
et :
1`
»1`
.
dP
Pk
γ Pk
Pk
1`
Pk
En multipliant ces deux développements et en ne gardant que le premier ordre, on obtient :
´
` ˘
` ˘¯
» o dP
Sc,k “ nR ln 1 ` o dP
Pk
Pk .
On trouve donc bien qu’au premier ordre, Sc,k “ 0, et ainsi la somme de ces entropies créées donnent :
Réversible Au premier Ordre : Sc “
ř
Sc,k “
ř
0 “ 0.
On retrouve l’idée qualitative exprimée à la question précédente : on retrouve une transformation réversible
lorsque dP {Pk est assez petit pour que l’on passe par une succession d’états d’équilibres.
Étude au Second Ordre : Ceci n’est pas demandé par l’énoncé, mais un développement au second ordre en
dP {Pk , on trouve :
´ dP ¯2
Sc,k
γ 3 pγ ´ 1q ´ γ 2 pγ ´ 1q2 ´ γ ` 1 ´ dP ¯2
“
» 0, 1
.
2
nR
2γ
Pk
Pk
En supposant le nombre de transformation pour transformer la somme sur k en intégrale sur P , on obtient :
Au Second Ordre : Sc “
ř
Sc,k » 0, 1 ¨ nR
ş2 dP
dP
» 0, 1 ¨ nR
.
1 P2
P1
On retrouve tout d’abord qu’un fractionnement infini donne bien une transformation réversible puisque
Sc Ñ 0 quand dP Ñ 0. Le coefficient 0, 1 dans le développement de Sc montre que ce fractionnement est
assez efficace pour diminuer l’entropie créée puisqu’on peut presque le considérer d’ordre deux (0, 1 ! 1).
III.
Détente de Joule-Gay Lussac
La détente de Joule Gay-Lussac est une détente adiabatique dans le vide. On la réalise ici en doublant le volume
initial (VF “ V2 “ 2V1 ).
16) Le piston subissant un détente dans le vide, on a Pext “ 0 ce qui nous permet de calculer le travail des forces de
pression :
δW “ ´Pext dV “ 0
ñ
W “ 0.
Le premier principe appliquée à cette transformation, pour laquelle δQ “ 0 (adiabatique) et δW “ 0 donne
dU “ 0. La seconde loi de Joules affirme de plus dU “ nCv dT . On peut donc conclure :
dT “ 0
La transformation est isotherme.
Dans le cas d’une transformation isotherme d’un système fermé, comme ici, la loi des gaz parfaits permet de
donner (puisque V2 “ 2V1 ) :
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- Concours 2016-2017
P2 “ P1
V1
P1
“
.
V2
2
17) Le résultat de la question 3) et le fait que la transformation soit isotherme donne :
∆S “ Sc “ nR ln
V2
“ nR ln 2 ą 0.
V1
Le déséquilibre mécanique du départ justifie cette irréversibilité. En effet, le piston aspiré par le vide lors de la
transformation ne reviendra jamais de lui même à sa position initiale car il est très difficile de créer du vide en
tirant un piston.
18) En fractionnant la transformation, on obtient pour la kème transformation Vk Ñ Vk`1 “ Vk ` dV avec Dv ! Vk .
En réutilisant le résultat précédent, on obtient :
Sc,k “ nR ln
Vk`1
.
Vk
19) En sommant les Sc,k , on en déduit l’entropie créée lors de la transformation totale :
´ś V
¯
ř
ř Vk`1
k`1
Sc “ Sc,k “ nR ln
“ nR ln
,
k
Vk
Vk
c’est un produit téléscopique, où les termes s’annulent deux à deux. Seuls les termes extrêmes restent, et on
obtient :
Sc “ nR ln
Vf
V2
“ nR ln .
Vi
V1
On ne peut réduire par fractionnement l’entropie créée lors de cette transformation. Cela peut s’expliquer physiquement par le fait que dans ce cas, le fractionnement ne permet d’évoluer d’un état proche d’équilibre à un
autre. En effet, le vide d’une côté du piston entraine un déséquilibre mécanique, quoi que l’on fasse. Il ne sert
donc a rien de fractionner, nous aurons toujours le même déséquilibre, et la même entropie créée.
IV.
Conclusion
20) 21) 22) Nous allons répondre au trois dernières questions à la fois dans un tableau. Avant cela nous calculons
numériquement nR pour pouvoir faire les applications numériques qui nous manquent :
nR “
Transformation
Quasistatique
Monobare
Joule Gay-Lussac
P2 pbarq
1,0
1,0
1,0
P1 V1
» 0.33 J K´1
T1
V2 (Litres)
1,6
1,7
2
T2 (Kelvin)
250
260
300
W pJq
-90
-70
0
∆S “ Sc pJ K´1 q
0
0,06
0,23
La détente quasistatique donne donc plus de travail utile à l’environnement. Lors de la construction d’un moteur,
le rendement maximal est en effet obtenu pour un cycle réversible.
Celle qui crée le plus d’entropie créée est la détente de Joule Gay-Lussac. Cette dernière possède un équilibre
mécanique que rien ne peut diminuer puisqu’un côté du piston est sous vide. Ce n’est pas, comme on le voit
une transformation que l’on peut considérer comme utile dans un cycle moteur. Elle a cependant un intérêt
historique puisqu’elle a permis de mieux les gaz réels, et de caractériser leurs équations d’état.