Bac Blanc Terminale ES

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Bac Blanc Terminale ES - Février 2011
Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Exercice 1 (5 points) pour les candidats n’ayant pas choisi la spécialité MATH
Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires du commerce équitable en France, exprimé en
millions d’euros.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Rang de l année : xi avec 1 i8
1
2
3
4
5
6
7
8
Chiffre d affaires du commerce équitable en
millions d euros : yi avec 1 i8
12
21
37
70
120
166
210
256
Source :M. H. leader du commerce équitable mondial
 1. a. En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d’affaires de 447 milliards d’euros.
(Source : INSEE) alors que le chiffre d affaires du commerce équitable s élève à 210 millions d euros et
on a :  210
447000 100 0,047. En 2007, la part du chiffre d’affaires du commerce équitable par rapport à
celui du commerce de détail est donc égale à 0,047 % (pourcentage arrondi à 0,001 %).
b. On a : 256 120
120 100 1,133 donc le pourcentage d’augmentation du chiffre d’affaires du commerce
équitable en France entre 2005 et 2008 s élève à 113 % (pourcentage arrondi à 1 %).
Dans la suite de l’exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d’affaires du commerce
équitable en France dépassera le double de celui de 2007.
 2. Ajustement affine
a. Le nuage de points associé à la série statistique ( ) xiyi ( pour 1 i8) dans un repère orthogonal du
plan (unités : 1 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 20 millions d’euros en ordonnée ) est donné
ci-dessous.
b. À l’aide de la calculatrice, on trouve que la droite D d’ajustement de y en x par la méthode des
moindres carrés admet pour équation : y36,8x54,0 (coefficients arrondis au dixième).
Elle passe par les points de coordonnées (5 130) et (10 314).
c. On cherche x tel que y2 210, soit :
36,8x54 420 36,8x474 x 474
36,8 avec 474 36,8 12,88
En utilisant cet ajustement affine, on peut prévoir que c est à partir l année de rang 13, c est-à-dire 2013
que le chiffre d’affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007.
 3. Ajustement parabolique
L’allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique.
On propose d’ajuster le nuage par la parabole P d’équation y3x27x−4, x étant un nombre réel
supérieur ou égal à 1.
On cherche donc x tel que y2 210, soit :
3x27x4 420 3x27x424 0 avec b24ac 724 3 ( 424) 5137.

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0 donc le trinôme 3x27x424 admet deux racines :
x1 bΔ
2a 7 5137 6 et x2 bΔ 2a 7 5137 6 , soit x113,1 et x210,8
De plus, le coefficient de x2 est positif donc le trinôme est positif à l extérieur de ses racines, soit pour
x x1 ou x x2.
En utilisant cet ajustement, on peut donc prévoir que le chiffre d’affaires du commerce équitable en
France dépassera le double de celui de 2007 à partir de l année de rang 11, c est-à-dire en 2011.

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Exercice 1 (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH
A – Observation d une suite de nombres
 1. Les 16 premiers termes d’une suite ( ) un sont représentés ci-dessus dans le plan muni d’un repère
orthogonal. On constate que les points ( ) n un sont de plus en plus proches de la droite d équation y30
Donc on conjecture que la limite de la suite ( ) un est égale à 30.
 2. Les quatre premiers termes de la suite ( ) un ont été calculés avec une calculatrice :
On a u1
u0
102
120 0,85 et u2 u1
87,6
102 , soit u2 u1
0,859.
On a donc u1
u0
u2
u1
, ce qui prouve que la suite ( ) un n est pas une suite géométrique.
B - Étude de la suite
La suite ( ) un observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel n par :
un10,8un6 et u0120.
 1. D après la formule de récurrence, on a :
u10,8 u06 0,8 120 6 102 soit u1102
u20,8 u16 0,8 102 6 87,6 soit u287,6
u30,8 u26 0,8 87,6 6 76,08 soit u376,08
u40,8 u36 0,8 76,08 6 66,864 soit u466,864.

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 2. Soit ( ) vn la suite définie pour tout entier naturel n par vnun30.
On a :
vn1un130 ( ) 0,8un6 30 0,8un24 0,8( ) un30 0,8 vn, soit vn10,8 vn.
La suite ( ) vn est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme v030, oit v090.
 3. D après la question précédente, la suite ( ) vn est géométrique de premier terme v090 et de raison
0,8 donc on a : vnv0qnsoit vn90 0,8n pour tout n.
De plus : vnun30 unvn30,
d où : un90 0,8n30 pour tout n.
 4. On a : 0 0,8 1 d où lim
n0,8n0.
On a vn90 0,8n donc : lim
nvn0
et comme unvn30, on en déduit que : lim
nun30, ce qui confirme la conjecture faite à la question 1.

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Exercice 2 (4,5 points) pour tous les candidats
 1. On souhaite tracer la courbe représentative d’une fonction f satisfaisant les conditions suivantes :
– La fonction f est définie et dérivable sur l’intervalle [0 6].
– Le maximum de la fonction f est 5, il est atteint pour x0 donc f(0) 5.
– Le minimum de la fonction f est 1.
– La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 6]. On note f la fonction dérivée de f et on sait que
f(0) 3, f(6) 3 et f(6) 2.
– Le signe de la fonction dérivée f de f est donné par le tableau suivant :
x
0
4
6
f(x)
0
+
a. Une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque sa dérivée est positive sur I et elle est
décroissante sur I lorsque sa dérivée est négative sur I, donc f est décroissante sur [0 4] et croissante sur
[4 6]. De plus, on a f(0) 5, f(6) 3 et le minimum de la fonction f , atteint en 4, est 1 donc f(4) 1.
On obtient le tableau de variations de f suivant :
x
0
4
6
signe de f 
0
+
5
3
f
1
b. L’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 6 est donnée par :
y f (6) (x6) f(6) avec f(6) 3 et f(6) 2 soit T : y2x9.
c. On trace dans le repère fourni en annexe la courbe représentative d’une fonction satisfaisant toutes les
conditions ci-dessus ; elle passe par les points de coordonnées (0 5), (4 1) et (6 3).
La tangente à la courbe au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur f(0) 3 , cette tangente
passe donc par les points de coordonnées (0 5) et (1 2). La tangente à la courbe au point d’abscisse 4
a pour coefficient directeur 0 donc elle est parallèle à l axe des abscisses. La tangente à la courbe au
point d’abscisse 6 a pour équation y2x9, cette tangente passe donc par les points de coordonnées
(6 3) et (7 5).
 2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 6] par g(x) [f(x)]2.
a. g est la composée de la fonction f et de la fonction "carré" avec :
- f décroissante sur [0 4] et à valeurs dans [1 5] et la fonction "carré" croissante sur [1 5] donc la
composée g est décroissante sur [0 4]
- f croissante sur [4 6] et à valeurs dans [1 3] et la fonction "carré" croissante sur [1 3] donc la
composée g est croissante sur [4 6].
De plus : g(0) [f(0)]225 , g(4) [f(4)]21 et g(6) [f(6)]29
On obtient :
x
0
4
6
25
9
g
1
b. On a g f2 donc g2f f d où : g(0) 2f(0) f(0) 2 5 ( 3), soit g(0) 30.