L`inverse d`une matrice Alg`ebre linéaire I — MATH 1057 F Inverse d

L’inverse d’une matrice
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 2 f´evrier 2011
Inverse d’une matrice (p. 119)
L’inverse d’un nombre r´eel aest not´e a−1. Par exemple, 7−1= 1/7
est tel que
7·7−1= 7−1·7 = 1
De mˆeme, on appelle inverse d’une matrice Aet on note A−1une
matrice telle que
A A−1=A−1A=I
Pour cela, il faut que Asoit une matrice carr´ee n×n.A−1est de
la mˆeme taille n×n.
L’inverse d’une matrice est unique.
Preuve : Supposons que Bet Csoient tous deux inverses de A.
B=BI =B(AC ) = (BA)C=IC =C
Inverse d’une matrice (p. 119)
D´efinition
Une matrice A carr´ee d’ordre n est dite inversible s’il existe une
matrice C carr´ee d’ordre n telle que
CA =I et AC =I
o`u I =Inest la matrice unit´e d’ordre n. Dans ce cas, la matrice C
est une inverse de A. Cette matrice inverse est unique et est not´ee
A−1. On ´ecrit d´esormais
A−1A=I et AA−1=I.
Une matrice non inversible est parfois appel´e une matrice
singuli`ere et une matrice inversible, une matrice non singuli`ere
ou r´eguli`ere.
Matrices de taille 2 ×2 (p. 119)
Th´eor`eme (4)
Soit A =a b
c d . Si ad −bc 6= 0, alors A est inversible et son
inverse est donn´e par
A−1=1
ad −bc d−b
−c a .
Par contre, si ad −bc = 0, A n’est pas inversible.
D´efinition
Le nombre ad −bc est appel´e le d´eterminant de A et on ´ecrit
det A=|A|=ad −bc.

Th´eor`eme 5 (p. 120)
Supposons que la matrice Asoit inversible. On cherche `a r´esoudre
l’´equation Ax=b. Alors
A−1A
|{z }
In
x=A−1b
x=A−1b
Donc la solution xexiste et est unique.
Th´eor`eme (5)
Soit A est une matrice carr´ee d’ordre n. Si A est inversible, alors
pour chaque bde IRn, l’´equation Ax=badmet la solution unique
x=A−1b.
Propri´et´es de l’inverse (p. 121)
Th´eor`eme (6)
a. Si A est une matrice inversible, alors A−1l’est aussi et
(A−1)−1=A.
b. Si A et B sont des matrices inversibles de taille n ×n, alors
AB est aussi inversible et son inverse est le produit des
inverses de A et B dans l’ordre inverse. Autrement dit
(AB)−1=B−1A−1.
c. Si A est une matrice inversible, alors ATl’est aussi et l’inverse
de ATest la transpos´ee de A−1. Autrement dit
(AT)−1= (A−1)T.
Matrice ´el´ementaires (p. 122)
D´efinition
Une matrice ´el´ementaire est celle qui est obtenue en effectuant
une seule op´eration ´el´ementaire sur les lignes d’une matrice unit´e.
L1↔L2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
≈
0 1 0
1 0 0
0 0 1
=E1
L3←5L3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
≈
1 0 0
0 1 0
0 0 5
=E2
L3←L3−4L1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
≈
100
010
−401
=E3
Inverse des matrices ´el´ementaires (p. 123)
Th´eor`eme
Toute matrice ´el´ementaire E est inversible. L’inverse de E est la
matrice ´el´ementaire de mˆeme type qui retransforme E en I .
L1↔L2
E1=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
L3←5L3
E2=
1 0 0
0 1 0
0 0 5
L3←L3−4L1
E3=
1 0 0
0 1 0
−4 0 1
L2↔L1
E−1
1=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
=E1
L3←1/5L3
E−1
2=
1 0 0
0 1 0
0 0 1/5
L3←L3 + 4L1
E−1
3=
1 0 0
0 1 0
4 0 1

Matrice ´el´ementaires (p. 122)
Observons le produit d’une matrice ´el´ementaire et d’une matrice A
quelconque.
L1↔L2
E1A=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
a b c
d e f
g h i
=
d e f
a b c
g h i
L3←5L3
E2A=
1 0 0
0 1 0
0 0 5
a b c
d e f
g h i
=
a b c
d e f
5g5h5i
L3←L3−4L1
E3A=
1 0 0
0 1 0
−4 0 1
a b c
d e f
g h i
=
a b c
d e f
g−4a h−4b i−4c
Matrice ´el´ementaires (p. 122)
Apr`es une op´eration ´el´ementaire sur les lignes d’une matrice Ade
taille m×n, la matrice r´esultante peut ˆetre ´ecrite sous la forme EA
o`u Eest une matrice de taille m×mcr´e´ee `a partir de Impar la
mˆeme op´eration ´el´ementaire sur les lignes.
Th´eor`eme 7 (p. 123)
Th´eor`eme (7)
Une matrice A de taille n ×n est inversible si et seulement si A est
´equivalente par rapport aux lignes `a In. Dans ce cas, toute
s´equence d’op´erations ´el´ementaires sur les lignes qui r´eduit A en In
transforme aussi Inen A−1.
Th´eor`eme 7 (p. 123)
D´emonstration.
La r´eduction de Apar des op´erations ´el´ementaires sur les lignes
revient `a multiplier Apar une suite de matrices ´el´ementaires
A∼E1A∼E2(E1A)∼Ep(Ep−1···E2E1A) = In
Donc EpEp−1···E2E1A=In. Le produit EpEp−1···E2E1de
matrices inversibles ´etant inversible, on obtient
(Ep···E2E1)−1(Ep···E2E1)A= (Ep···E2E1)−1In
A= (Ep···E2E1)−1
On obtient alors l’inverse de A
A−1= ((Ep···E2E1)−1)−1= (Ep···E2E1) = (Ep···E2E1)In.
A−1est donc le r´esultat de l’application successive de E1,E2, ...,
Ep`a la matrice In.

Algorithme pour calculer A−1(p. 124)
a. Construire la matrice augment´ee A I .
b. R´eduire par rapport aux lignes pour obtenir la forme
´echelonn´ee r´eduite.
c. Si la forme ´echelonn´ee r´eduite de Aest I, alors AIest
´equivalente par rapport aux lignes `a IA−1. Sinon, An’a
pas d’inverse.