Fiche(1) Trigonométrie Exercice 1 La droite (PP’) est le support de la bissectrice de l’angle ̂ . (RR’) est perpendiculaire à (PP’). 1) Par quels réels sont repérés chacun des points P, P’, R, R’ sur le cercle trigonométrique ? 2) Donner les mesures des angles suivants : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Exercice 2 Marquer sur un cercle trigonométrique les points E, F, G et H tels que : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) Exercice 3 Soit (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . Donner quatre valeurs possibles pour les mesures de cet angle orienté. Exercice 4 1) Parmi les réels suivants, quatre sont des mesures d’un même angle orienté : quel est l’intrus ? ; ; ; ; 2) Même question pour les réels suivants : ; ; ; ; Exercice 5 Voici une mesure d’un angle orienté . Donner la mesure principale et donner deux autres mesures de cet angle. Mêmes questions avec les mesures suivantes : ; et Trigonométrie − CORRIGE Fiche(1) Exercice 1 La droite (PP’) est le support de la bissectrice de l’angle ̂ . (RR’) est perpendiculaire à (PP’). 1) Par quels réels sont repérés chacun des points P, P’, R, R’ sur le cercle trigonométrique ? ; Le point P’ est repéré par Le point P est repéré par point R’ est repéré par ; Le point R est repéré par ; Le . 2) Donner les mesures des angles suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) rad ; (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) rad ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Exercice 2 Marquer sur un cercle trigonométrique les points E, F, G et H tels que : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) Exercice 3 Soit (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . Donner quatre valeurs possibles pour les mesures de cet angle orienté. Cet angle a pour mesures possibles : ; ; ; ; ;… Exercice 4 1) Parmi les réels suivants, quatre sont des mesures d’un même angle orienté : quel est l’intrus ? ; ; ; ; . En effet, 2) Même question pour les réels suivants : ; ; sont des mesures de l’angle . ; ; ; ; . Tous les autres sont des mesures de l’angle ; Exercice 5 Voici une mesure d’un angle orienté . Donner la mesure principale et donner deux autres mesures de cet angle. Mêmes questions avec les mesures suivantes : donc ; a pour mesure principale Deux autres mesure de cet angles sont donc et . et a pour mesure principale Deux autres mesure de cet angles sont et donc a pour mesure principale Deux autres mesure de cet angles sont et donc a pour mesure principale Deux autres mesure de cet angles sont et . Trigonométrie Fiche(2) Exercice 1 Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Déterminer la mesure principale des angles suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). Exercice 2 Le carré ABCD de sens direct a pour centre I, c'est-à-dire que l’on écrit les sommets A, B, C et D en tournant dans le sens direct. Donner les mesures des angles orientés suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Exercice 3 ABCD est un trapèze rectangle tel que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ avec (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et AB = AD. Soit I le milieu de [DC]. Calculer les angles (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). Exercice 4 ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E) et (F) définis par : 1) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . 2) M (F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . Exercice 5 ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E), (F) et (G) définis par : 1) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . 2) M 3) M (F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (G) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec avec . . Exercice 6 ABC est un triangle isocèle rectangle en B et direct. D est la médiatrice de [AC]. Compléter les égalités suivantes pour que l’équivalence soit vraie. 1) M ]AC) ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . ]BC) ⇔ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 3) M Δ–{B} ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 4) M ]AB[ ⇔ (…… , ……) 5) M BC ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2) M avec . avec . avec avec . . Exercice 7 On donne les points A, B, C, D tels que AB = AC et ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . ACD est un triangle équilatéral direct, et E un point tel que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 1°) En utilisant la relation de Chasles, calculez une mesure de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Démontrer alors que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. 2°) Construire sur la figure ci-dessus le point F tel que : les droites (AB) et (CF) soient perpendiculaires avec ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ CF = AB 3°) Calculer une mesure de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Trigonométrie − CORRIGE Fiche(2) Exercice 1 Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Déterminer la mesure principale des angles suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) La mesure principale de ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) est La mesure principale de (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) est La mesure principale de (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) est Exercice 2 Le carré ABCD de sens direct a pour centre I, c'est-à-dire que l’on écrit les sommets A, B, C et D en tournant dans le sens direct. Donner les mesures des angles orientés suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Le carré est de sens direct donc (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Puisque ⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ , on peut écrire (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) Exercice 3 ABCD est un trapèze rectangle tel que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ avec (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et AB = AD. Soit I le milieu de [DC]. Calculer les angles (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaire de sens opposé donc (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Le quadrilatère ABID est un carré avec (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) donc la diagonale (AI) est bissectrice de ̂ , on a (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Puisque ⃗⃗⃗⃗⃗ Comme ⃗⃗⃗⃗⃗ . (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) . ⃗⃗⃗⃗ , la quadrilatère ABCI est un parallélogramme, donc ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , on a aussi : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) . Exercice 4 ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E) et (F) définis par : 1) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . ⃗⃗⃗⃗⃗ . On construit le point J tel que ⃗⃗⃗ Alors, M (E) ⟺ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) avec . Or, B est un point de (E) car (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec Donc, M (E) ⟺ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⟺ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) avec Donc, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires de même sens. D’où, (E) est la demi-droite ouverte ]IB). 2) M (F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec signifie que le triangle MAC est rectangle en M et direct. (F) est donc l’un des deux demi-cercles de diamètre [AC], privé de ses extrémités A et C : c’est celui ne contenant pas le point I puisque : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) avec . Exercice 5 ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E), (F) et (G) définis par : 4) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 5) M (F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (G) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec 6) M avec . avec . . Exercice 6 ABC est un triangle isocèle rectangle en B et direct. D est la médiatrice de [AC]. Compléter les égalités suivantes pour que l’équivalence soit vraie. 1) M ]AC) ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec . ]BC) ⇔ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 3) M Δ–{B} ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 4) M ]AB[ ⇔ (…… , ……) 5) M BC ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2) M avec . avec . avec avec . . Exercice 7 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1°) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]donc ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ] donc ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 2°) figure ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 3°) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]donc ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ]