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Chapitre7
Leschangementsderéférentiels
7.1.Introduction
7.1.1.Position du problème
L’étudedestrajectoiresdi¤èreselonleréférentieldanslequelonseplace.Parexemple,
observonslavalved’uneroued’un véloenmouvementenseplaçantau bord delaroue: la
trajectoire estune cycloïde.Ene¤ectuantlamêmeobservationassis surlevéloenmouvement,
on neverraqu’unetrajectoire circulaire.Danslesdeuxréférentiels, latrajectoiredu pointsur
laroue estdoncdi¤érent;ilenestdemêmepourlavitesse,maiségalementàprioride
l’accélération.
Celapose égalementleproblèmedel’application du principefondamentaldeladynamique.
Commenousl’avonsvu précédemment,celui-cis’appliquedanstoutréférentielGaliléen.Com-
mentalorse¤ectuerune étudedynamique enréférentielnonGaliléen?Lesforces sonta priori
lesmêmes,alorsquel’accélération du pointétudié estdi¤érent.Peut-ontoutdemêmegéné-
raliserleprincipefondamentaldeladynamique?Onverradansce chapitrequelePFDpeut
e¤ectivementsegénéraliserdanslesréférentielsnonGaliléensmaisàcondition d’ajouterdes
forcesquel’onappelleraforcesd’inertie.
7.1.2.Dé…nitions
Avantd’aborderl’étudeproprementditedu changementderéférentiel, il estnécessairede
poserun certain nombrededé…nitions.
Dé…nition du pointcoïncident
Soitun référentielRsupposé…xe.Soitun autreréférentielR0mobilepar rapportàR.
L’étudeapourobjetun pointMquisedéplace. OnappellepointcoïncidentP, lepoint
…xedeR0quial’instanttcoïncideavec lepointM.
Pourimagerce qu’estlepointcoïncidant, imaginonsun voyageurMmarchantdansun
trainluimême enmouvement.Leréférentiel…xeRestliéàl’extérieurdu train(lepaysage).
LeréférentielenmouvementR0estceluiquiestliéautrainetavance avec letrain.Aun
instantt, lachaussuredelapersonnelaisseunemarquesurleplancher.Lepointcoïncidant
àcetinstanttestlamarquePlaissée parlapersonne.
Remarque7.1Auninstantt0ultérieur,lepointPestdi¤érentdupointM(la personne
acontinuésamarchedansletrain).Onpeutalorsdé…nirun nouveaupointcoïncidentP0qui
seralanouvellemarquelaissée parsachaussureàt0.
Remarque7.2Siàl’instanttonaP=M,onatoutefoisà priori¡! v(P)6=¡! v(M).La
vitessedelamarquelaissée parlachaussure estdi¤érentedelavitesseduvoyageur(sauf
évidemmentsice dernier resteimmobiledansletrain!)
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans16 janvier2004

60 Chapitre7Leschangementsderéférentiels
Autresdé…nitions
Onappellevitesseabsolue(respectivementaccélérationabsolue)lavitessedu pointM
(respectivementl’accélération deM)dansleréférentiel…xeR.
Onappellevitesserelative(respectivementaccélérationrelative)lavitessedu pointM
(respectivementl’accélération deM)dansleréférentielmobileR0.
Onappellevitessed’entraînement(respectivementaccélération d’entraînement) lavi-
tessedu pointPcoïncident(respectivementl’accélération deP)dansleréférentiel…xeR.
Dansl’exempledu voyageur, lavitesseabsolue estlavitessedu voyageurpar rapportà
l’extérieur; lavitesserelative estlavitessedu voyageurpar rapportautrain,etlavitesse
d’entraînementestlavitessedelamarquedelachaussuresurleplancher(laquellesetrouve
”entraînée”parletrain).
Mathématiquement, lavitesserelative estdonc,enappelantOl’originedu référentiel
cartésienliéàRetO0celui liéàR0:
¡!
vr=Ãd¡¡!
O0M
dt!=R0
etlavitesseabsolue:
¡!
va=Ãd¡¡!
OM
dt!=R
Pourdéterminerunerelationentrelesvitessesabsoluesetrelatives,ilestnécessairedesavoir
dériverdesvecteursdansdi¤érentsréférentiels: levecteurposition¡¡! OMpourlavitesserelative,
etlevecteurposition¡¡! O0Mpourlavitesseabsolue.C’estl’objetdu paragraphequisuit.
Remarque7.3Lesvecteursposition¡¡! OMet¡¡! O0MdumêmepointM(respectivementdans
RetdansR0) sontdi¤érents,carO06=O.
7.2.Dérivation d’un vecteurpar rapportau
temps
SoitRun référentiel(associéaurepère cartésien de centreOetd’axesOx,Oy,Oz)
supposé…xe,etR0un référentielenmouvementpar rapportàR,associéàun repère cartésien
de centreO0etd’axesO0x0,O0y0,O0z0.LemouvementdeR0peutsedécomposerdelamanière
suivante:
-unetranslationducentreO0(dansleréférentielR);
-unerotation desaxesO0x0,O0y0,O0z0(par rapportauxaxesOx,Oy,Oz).
Remarque7.4Ilnefautpasconfondretranslationetmouvementrectiligne.Latranslation
deR0par rapportàRestlemouvementdupointO;ce mouvementpeutêtre quelconque
(éventuellementsuivreuncercle!).LarotationdeR0par rapportàRestlechangementde
directiondes seulsaxesO0x0,O0y0,O0z0par rapportauxaxesOx,Oy,Oz(sansrapport
avec latrajectoiredupointO0)
Onappelle¡! !R0=Rlevecteur rotationinstantanée deR0par rapportàR,avec
¡!
!R0=R=
¢
µ¡! k:
16 janvier2004 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section7.3Loide composition desvitesses61
¢
µestlavitesseangulairederotation.
Soit¡! Aun vecteurmobile.
Ilestpossibledemontrer:
Ãd¡!
A
dt!=R
=Ãd¡!
A
dt!=R0
+¡! !R0=R^¡! A:(1)
La démonstrationeste¤ectuée enclasse.
Cetterelation(1)vapermettrededonnerdesrelationsentrelesvitessesrelativesetabso-
luesenremplaçant¡! Aparlevecteurposition,puisdansun second tempsentrelesaccélérations
enremplaçant¡! Aparlesvecteursvitesses.
7.3.Loidecomposition desvitesses
SoientRetR0lesdeuxréférentielsprécédemmentdé…nis.
On note¡! !R0=Rlevecteur rotationinstantanée deR0par rapportàR.
SoitMun pointdemassemen déplacementpar rapportauxréférentielsRetR0.
Pardé…nition desvitesses,on peutécrirelavitesseabsolue:
¡!
v(M)=R=Ãd¡¡!
OM
dt!=R
etlavitesserelative
¡!
v(M)=R0=Ãd¡¡!
O0M
dt!=R0
:
Laloide composition desvitesses s’obtientalorsen décomposantlevecteur¡¡! OMen passant
parlepointO0eten utilisantlarelation(1):
¡!
v(M)=R=Ãd¡¡!
OM
dt!=R
=0
@d³¡¡!
OO0+¡¡! O0M´
dt1
A=R
=Ãd¡¡!
OO0
dt!=R
+Ãd¡¡!
O0M
dt!=R
=¡! v(O0)=R+Ãd¡¡!
O0M
dt!=R0
+¡! !R0=R^¡¡! O0M
soit
¡!
v(M)=R=¡! v(M)=R0+¡! v(O0)=R+¡! !R0=R^¡¡! O0M(2)
quel’onappelleloide composition desvitesses.
Cetteloipeuts’écrire égalementenfonction delavitessed’entraînementdu pointMnotée
¡!
ve(M)quiestlavitessedu pointPcoïncidentau pointMàl’instanttmaisrestantimmobile
dansR0.En utilisantlarelation(2),ilvient:
¡!
ve(M)=¡! v(P)=R=¡! v(P)=R0+¡! v(O0)=R+¡! !R0=R^¡¡! O0P
=¡! v(O0)=R+¡! !R0=R^¡¡¡! O0M:
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans16 janvier2004

62 Chapitre7Leschangementsderéférentiels
Enconclusion, laloide composition desvitesses(2)peuts’écriredelamanièresuivante:
¡!
v(M)=R=¡! v(M)=R0+¡! ve(M)(3)
avec
¡!
ve(M)=¡! v(O0)=R+¡! !R0=R^¡¡! O0M;(4)
valablequelquesoitletypedemouvementdeR0etdeM.
Remarque7.5Larelation(3)estassezintuitive :lavitesseduvoyageurpar rapportà
l’extérieurestsavitessepar rapportautrain(relative)additionnée àlavitesse qu’ilauraits’il
s’arrêtaitdemarcheretselaissaitentraînerparletrain(vitessed’entraînement)
Remarque7.6Lavitessed’entraînement(4)comportedeuxtermes:¡! v(O0)=Restl’entraî-
nementliéàlatranslationdeR0par rapportàR;¡! !R0=R^¡¡! O0Mestl’entraînementliéàla
rotation(parexemplesurunmanège tournant).
Casparticulier:si leréférentielR0estenmouvementdetranslation(pasnécessairement
rectiligne!):¡! !R0=R=¡! 0,ona alorstoutsimplement
¡!
v(M)=R=¡! v(M)=R0+¡! v(O0)=R:
7.4.Loidecomposition desaccélérations
SoientRetR0lesdeuxréférentielsprécédemmentdé…nis.
SoitMun pointdemassemen déplacementpar rapportauxréférentielsRetR0.
Pardé…nition desaccélérations,on peutécrire:
¡!
a(M)=R=µd¡!
v(M)=R
dt¶=R
et
¡!
a(M)=R0=µd¡!
v(M)=R0
dt¶=R0
:
Laloide composition desaccélérations s’obtienten dérivantlaloide composition desvitesses
(2):
¡!
a(M)=R=µd¡!
v(M)=R
dt¶=R
=d
dt³¡!
v(M)=R0+¡! v(O0)=R+¡! !R0=R^¡¡! O0M´=R:
Lepremiertermepeuts’écrire,en utilisantlarelation(1):
µd¡!
v(M)=R0
dt¶=R
=µd¡!
v(M)=R0
dt¶=R0
+¡! !R0=R^¡! v(M)=R0
=¡! a(M)=R0+¡! !R0=R^¡! v(M)=R0:
Ledeuxièmeterme est:
Ãd¡¡!
v(O0)=R¢
dt!=R
=¡! a(O0)=R:
16 janvier2004 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section7.4Loide composition desaccélérations63
Letroisièmetermedevient:
0
@d³¡!
!R0=R^¡¡! O0M´
dt1
A=R
=µd¡!
!R0=R
dt¶^¡¡!
O0M+¡! !R0=R^Ãd¡¡!
O0M
dt!=R
=µd¡!
!R0=R
dt¶^¡¡!
O0M
+¡! !R0=R^0
@Ãd¡¡!
O0M
dt!=R0
+¡! !R0=R^¡¡! O0M1
A
=µd¡!
!R0=R
dt¶^¡¡!
O0M+¡! !R0=R^¡! v(M)=R0
+¡! !R0=R^³¡! !R0=R^¡¡! O0M´:
Finalementenregroupant touslestermes:
¡!
a(M)=R=¡! a(M)=R0(5)
+¡! a(O0)=R+¡! !R0=R^³¡! !R0=R^¡¡! O0M´+µd¡!
!R0=R
dt¶^¡¡!
O0M
+2¡! !R0=R^¡! v(M)=R0:
appelée loide composition desaccélérations.
Cetteloipeuts’écrire égalementenfonction del’accélération d’entraînementdu pointM
notée ¡! ae(M)quiestl’accélération du pointPcoïncidentau pointMàl’instanttmaisrestant
immobiledansR0.En utilisantlarelation(5),ilvientdonc:
¡!
ae(M)=¡! a(P)=R=¡! a(O0)=R+¡! !R0=R^³¡! !R0=R^¡¡! O0M´+µd¡!
!R0=R
dt¶^¡¡!
O0M
car¡! v(P)=R0=¡! 0et¡! a(P)=R0=¡! 0.
Letroisièmetermedelaloi(5)estappelél’accélération deCoriolisetnoté¡! ac(M).
Enconclusion, laloide composition desaccélérations(2)peuts’écriredelamanièresui-
vante:
¡!
a(M)=R=¡! a(M)=R0+¡! ae(M)+¡! ac(M)(6)
avec
¡!
ae(M)=¡! a(O0)=R+¡! !R0=R^³¡! !R0=R^¡¡! O0M´+µd¡!
!R0=R
dt¶^¡¡!
O0M
et
¡!
ac(M)= +2¡! !R0=R^¡! v(M)=R0:
Laloide composition desaccélérations(6)estvalablequelquesoitletypedemouvement
deR0etdeM.
Casparticuliers:
-Si leréférentielR0estenmouvementdetranslation(pasnécessairementrectiligne!)par
rapportàR:¡! !R0=R=¡! 0,ona alorstoutsimplement
¡!
a(M)=R=¡! a(M)=R0+¡! a(O0)=R:
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans16 janvier2004