Cycle préparatoire IFIPS Semestre 2 Mécanique 2008-2009 Interrogation écrite n°1 Lundi 9 février 2009. Durée 1h30 Les documents sont interdits. Les calculatrices sont autorisées. Respectez les notations des énoncés. Les exercices sont indépendants. Exercice n°1 : TGV-Est -) Le TGV Est Paris-Strasbourg part de la gare de l’Est à Paris, à vitesse nulle à l’instant t0=0. -) Il accélère de manière uniforme jusqu’à l’entrée sur la ligne à grande vitesse (LGV) 20minutes plus tard afin d’atteindre à cet instant t1, la vitesse de 200km/h. -) Ensuite, son accélération est double de la précédente jusqu’à ce que le TGV atteigne sa vitesse commerciale, vc=320km/h à l’instant t2. -) A partir de t2 et jusqu’à la gare Lorraine-TGV qu’il atteint une heure plus tard, à l’instant t3, il roule à sa vitesse commerciale. -) Ensuite Le TGV décélère uniformément jusqu’à son entrée en Alsace 40km plus loin où il quitte la LGV à l’instant t4 lorsque sa vitesse atteint 160km/h. -) Enfin, on considère qu’il roule à vitesse constante de 160km/h jusqu’à la gare de Strasbourg située à 500km de Paris qu’il atteint à l’instant t5. Il est vivement conseillé d’utiliser le kilomètre comme unité de distance et l’heure (ou la minute) comme unité de temps. Dans chaque intervalle de temps [ti,ti+1], il est rappeler qu’il est judicieux de prendre l’instant ti comme nouvelle origine des temps. 1) A partir des informations précédentes, représenter sur un graphique l’allure de la variation de l’accélération et de la vitesse du TGV entre les instants t=t0 et t=t5. 2) On note xi, la position du TGV à l’instant ti et vi, la vitesse du TGV à ce même instant ti. Ecrire successivement, dans chaque intervalle de temps [ti , ti +1 ] , la loi de variation de l’accélération, de la vitesse et de la position en fonction de (t-ti) et des données du problème. 3) En déduire les valeurs numériques de xi, vi, ti pour chaque valeur de i ainsi que les accélérations du TGV, ai, dans chaque intervalle de temps [ti , ti +1 ] . En particulier, déterminer la durée du trajet Paris-Strasbourg. Pour effectuer les applications 100 numériques, on effectuera l’approximation suivante : = 34 . 3 Exercice n°2 : Un point M se déplace dans le plan xOy le long de la courbe dont les équations paramétriques ⎧ x = 4t 2 s’écrivent : ⎨ . ⎩ y = 2t 1. Ecrire l’équation de la trajectoire. La tracer dans le plan xOy. 2. Donner l’expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans le repère orthonormé xOy. Le mouvement est-il uniforme ? 3. Représenter sur votre figure le vecteur vitesse aux instants t=0 et t=1s. r r 4. On considère le repère de Frénet (M, u t , u n ) dans le plan xOy. a) Rappeler l’expression des vecteurs vitesse et accélération dans la base de Frénet. r r r r 1 1 ( ) ( ) 4t , 1 et u − 1 , 4 t dans la base O, i, j b) Montrer que ut = = n 16t 2 + 1 16t 2 + 1 du plan xOy. c) Donner l’expression du rayon de courbure R en fonction du temps. A quel instant t, R est-il minimum ? d) Représenter sur votre figure, à l’instant t=0, le rayon et le centre I de la courbure de la trajectoire. e) Donner l’expression de l’abscisse curviligne, s(t), en fonction du temps, en prenant l’origine pour t=0. ( ) Exercice n°3 : Une centrifugeuse est utilisée pour préparer les astronautes. Celle-ci tourne dans le plan horizontal autour d’un axe de rotation Oz qui est donc vertical. Un astronaute, considéré comme un point matériel M est placé dans une capsule à l’extrémité d’un des bras de la centrifugeuse, à la distance R constante du point O. On supposera que la vitesse angulaire ω de la centrifugeuse est constante. Le référentiel lié au sol sera noté (S). On prendra pour les applications numériques : R=10m, ω=2 rad.s-1. 1) Faire un dessin dans le plan horizontal représentant le point O et un axe polaire Ox, le point M et l’angle θ entre Ox et OM , et les 2 vecteurs formant le repère local (M, ur ρ , ur θ ) . r r 2) Exprimer le vecteur position OM , le vecteur vitesse V , puis le vecteur accélération a r r en fonction de R, ω, u ρ et u θ . Le mouvement est-il uniforme ? r r 3) Représenter la trajectoire sur votre dessin, puis l’allure des vecteurs V et a au point M. 4) Calculer numériquement la vitesse linéaire et l’accélération de l’astronaute. Comparer avec l’accélération gravitationnelle exercée par la Terre au sol (g=10 m.s-2). 5) On considère désormais le référentiel (S’) lié à la capsule dans laquelle se trouve l’astronaute : r r a) Exprimer le vecteur rotation ω en fonction de ω et u z . b) Quelles sont les vitesses et accélérations relatives de l’astronaute dans ce référentiel (S’) ? c) En utilisant la loi de composition des vitesses, exprimer alors les vitesses et accélérations d’entraînement et l’accélération de Coriolis dans le repère (M, ur ρ , ur θ ) . Tracer ces vecteurs sur le schéma de la figure de la question 3). 6) Le siège de l’astronaute a été mal attaché et peut se déplacer librement (pendant un cours instant) le long de la direction OM. On suppose que la vitesse de déplacement r r du siège par rapport à la capsule est v t = v t u ρ avec vt constant. On prendra vt=1 m.s-1. a) Quelles sont les vitesses et accélérations relatives de l’astronaute dans ce référentiel (S’) ? b) En utilisant la loi de composition des vitesses, exprimer alors les vitesses et accélérations d’entraînement et l’accélération de Coriolis dans le repère (M, ur ρ , ur θ ) . Tracer l’allure de ces vecteurs sur un nouveau schéma.