TD de révision pour la rentrée 2012

révisions MPSI 1
Bienvenus en 2
ème
année MP et bon courage pour quelques révisions de fin d’été :
Le TD de révision sur l’électrostatique est à préparer pour le jour de la rentrée 2012.
Le TD de révision sur la mécanique du point est à préparer pour le lundi 24 septembre 2012.
Le TD de révision sur la magnétostatique est à préparer pour le lundi 1
er
octobre 2012.
Sont à réviser et à apprendre pour la rentrée :
• les rappels d’électrostatique (pages 2, 3 et 4 du chapitre « formulation locale des lois de
l’électrostatique » ci-dessous.
• le document « circulation et flux » ci-dessous.
• le document « gradient » ci-dessous.
Vous aurez au programme de colle, en révision de première année :
• pour la première quinzaine :
o en physique : toute l’électrostatique de sup (dont l’étude complète du dipôle électrostatique),
o en chimie : cinétique chimique : vitesses de réaction (i.e. toute la cinétique chimique sauf les
mécanismes réactionnels)
• Pour la deuxième quinzaine :
o en physique : mécanique de sup : RFD, référentiels non galiléen, énergie, oscillateurs.
o en chimie : cinétique chimique : les mécanismes réactionnels
• Pour la troisième quinzaine :
o en physique : la magnétostatique des circuits filiformes (champ magnétique, loi de Biot et
Savart, étude des symétries et invariances, conservation du flux, théorème d’Ampère),
o en physique : mécanique de sup systèmes de 2 points matériels en interaction newtonienne.
Il y aura bien sûr aussi des chapitres de seconde année au programme de ces colles!
MP 12-13

TD révisions d’électrostatique 1
ÉLECTROSTATIQUE- RÉVISIONS
I. Champ sur l’axe d’un anneau chargé
On considère une distribution continue constituée de charges réparties uniformément avec la densité linéïque de charge λ,
sur une spire de centre O, d’axe de révolution Oz et de rayon a.
On considère le système de coordonnées cylindriques d’axe Oz.
1. En un point M(ρ,θ,z) situé en dehors de l’axe (ρ≠0), quelles sont les composantes du champ qui sont nulles? Les
composantes non nulles dépendent-elles de ρ? de θ? de z? Comparer les champs en deux points symétriques par
rapport au plan de l’anneau. Comparer également les champs en deux points symétriques par rapport à un plan
contenant l’axe de l’anneau.
2. En un point M de l’axe (ρ = 0), de cote z, quelle est la direction du champ? Déterminer complètement le champ
électrostatique en un point M de l’axe, de cote z positive. En déduire le champ en un point de l’axe de cote
négative. Etudier le cas particulier z=0 et |z|≫a
II. Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé. Modèle du plan
illimité.
On considère une distribution continue de charges réparties uniformément avec la densité surfacique σ sur un disque de
centre O, d’axe Oz et de rayon a.
On considère le système de coordonnées cylindriques d’axe Oz.
1. En un point M(ρ,θ,z) situé en dehors de l’axe (ρ≠0), quelles sont les composantes du champ qui sont nulles? Les
composantes non nulles dépendent-elles de ρ? de θ? de z? Comparer les champs en deux points symétriques par
rapport au plan du disque. Comparer également les champs en deux points symétriques par rapport à un plan
contenant l’axe du disque.
2. En un point M de l’axe (ρ = 0), de cote z, quelle est la direction du champ? Déterminer complètement le champ
électrostatique en un point M de l’axe, de cote z positive. En déduire le champ en un point de l’axe de cote
négative. Examiner la continuité du champ en z = 0.
3. Déduire des résultats précédents le champ d’un plan « illimité » chargé uniformément, avec la densité surfacique
de charge σ, en un point quelconque de l’espace.
III. Sphère chargée uniformément en surface
Soit une sphère de centre O, de rayon R, portant une densité surfacique de charge σ uniforme.
1. Calculer le champ électrostatique créé en tout point de l’espace.
2. En déduire le potentiel créé en tout point (on fera le choix du potentiel absolu).

TD révisions d’électrostatique 2
IV. Distribution volumique sphérique non uniforme
Une sphère S, de centre O, de rayon R est chargée en volume avec une densité volumique de charge (ou charge
volumique) ne dépendant que de la distance au centre O, donnée par la loi :
−ρ=ρ
2
2
0
R
r
a1)r( où ρ
0
et a sont des constantes, a∈]0,1[
On utilise les coordonnées sphérique (r,θ,ϕ) de centre O.
1. Tracer l’allure du graphe de ρ(r). Où la densité de charge est-elle la plus élevée? Où est-elle la plus faible?
2. Exprimer la charge dq contenue dans la couche sphérique délimitée par les sphères de rayon r et r+dr. En déduire la
charge Q(r’) à l’intérieur d’une sphère de rayon r’ (avec r’<R).
3. En utilisant les symétries, indiquer la direction du champ en M(r,θ,ϕ) et les invariances de ses composantes.
4. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer complètement le champ en tout point M(r,θ,ϕ) de l’espace.
5. Déterminer le potentiel en tout point M(r,θ,ϕ) de l’espace.
V. Cylindre infini uniformément chargé
Soit un cylindre d’axe Oz, de longueur infinie, de rayon R, uniformément chargé en volume, de densité volumique γ.
a) Déterminer le champ créé en tout point.
b) En déduire le potentiel créé en tout point.
VI. Surface plane illimitée
Le plan infini x=0 est uniformément chargé avec une densité surfacique σ. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le
champ électrique
E
r
en tout point de l’espace. Déterminer ensuite le potentiel en tout point de l’espace et tracer l’allure des
courbes E
x
(x) et V(x).
VII. Champ et potentiel d’un dipôle électrostatique
Soit un doublet électrostatique A(-q) et B(+q) porté par l’axe Oz (orienté de A vers B) et tel que O soit le milieu de [AB] et
AB = a. Un point M quelconque est repéré par ses coordonnées sphériques (r, θ,ϕ ) d’origine O, d’axe Oz.
a) Préciser la direction du champ en un point M(r, θ , ϕ ) quelconque de l’espace (préciser quelles sont les composantes
nulles). Etudier ensuite les invariances du champ et du potentiel.
b) Dans quelles conditions un doublet est-il appelé « dipôle »?
c) Calculer le potentiel V(M) créé par le dipôle en un point M « très éloigné » du dipôle (r>>a).
d) En déduire les composantes du champ électrique créé en M par le dipôle.

TD révisions de mécanique 1
I. Équilibre dans un wagon en translation
Soit un train animé d’un mouvement de translation rectiligne horizontal, d’accélération γ
r
constante par rapport au
référentiel terrestre supposé galiléen. Soit une petite sphère assimilable à un point matériel suspendue à l’extrémité d’un fil
dont l’autre extrémité est fixée au plafond d’un wagon. On note g l’intensité de la pesanteur.
Déterminer l’angle que fait le fil avec la verticale lorsque M est en équilibre par rapport au wagon, de deux façons
différentes :
• en raisonnant dans le référentiel terrestre.
• en raisonnant dans le référentiel du wagon.
II. Anneau glissant sur une tige en rotation
Une tige OX tourne dans le plan horizontal Oxy autour de son extrémité O, à la vitesse angulaire constante ω par rapport
au référentiel terrestre Oxyz. Sur cette tige, un anneau M, assimilable à un point matériel, de masse m, peut coulisser sans
frottement.
On pose (Ox,OX) = θ.
A l’instant pris comme origine des temps, on a θ = 0, OM = a et la vitesse de glissement de l’anneau (vitesse de l’anneau
par rapport à la tige) est nulle.
On utilisera comme base de projection, la base locale des coordonnées cylindriques de M dans le référentiel terrestre
auquel est lié le plan fixe xOy (référentiel que l’on supposera galiléen).
1. On pose OM = r. Exprimer r en fonction du temps et des constantes a et ω et en déduire l’équation polaire de la
trajectoire de M dans le référentiel terrestre, en utilisant deux méthodes différentes :
a) En raisonnant dans le référentiel terrestre.
b) En raisonnant dans le référentiel de la tige.
2. Exprimer la durée au bout de laquelle la particule parvient à la distance r = 2a du point O.
3. Déterminer la réaction de la tige sur l’anneau (exprimer chacune de ses composantes dans la base proposée plus haut,
puis son module).
III. Mouvement dans un champ magnétique
Des électrons de masse m, de charge (algébrique) q, pénètrent, au point 0, à l’instant origine, dans une région où règne un
champ magnétique constant et uniforme
B
r
, avec une vitesse initiale
v
r
0
. On choisit un repère orthonormé Oxyz tel que Oz
ait même sens et même direction que le champ magnétique et tel que la vitesse initiale soit dans le plan yOz. On fera
l’étude dans le référentiel terrestre ℜ
T
qui sera supposé galiléen. On néglige le poids des particules devant les autres forces
mises en jeu. On considère un électron M.
MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL-RÉVISIONS

TD révisions de mécanique 2
1. Montrer que son mouvement est uniforme.
2. On se place dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire au champ magnétique.
a) Montrer que le mouvement est plan et préciser le plan du mouvement.
b) Montrer que le mouvement est circulaire et préciser le rayon R
1
de la trajectoire et la pulsation du
mouvement ω
1
en fonction des données.
c) Application numérique : m = 9,0.10
-31
kg; q = -1,6.10
-19
C; B = 1,8.10
-3
T; v
0
=5,95.10
6
m.s
-1
. Calculer R
1
et ω
1
.
3. La vitesse initiale n’est plus perpendiculaire au champ magnétique; on note α
0
l’angle (
B
r
,
0
v
r
) . Soit M’ le
projeté de M sur le plan perpendiculaire à
B
r
, M’’ le projeté de M sur Oz.
a) Démontrer que le mouvement est hélicoïdal.
b) Déterminer (littéralement) le rayon R
2
de la trajectoire de M’ et la pulsation ω
2
de son mouvement, en
fonction des données.
c) Déterminer le pas p de l’hélice en fonction des données.
d) Application numérique : calculer R
2
, ω
2
et p pour α = 12° à l’aide des valeurs numériques précédentes.
IV. Freinage par frottement
Un palet de masse m est lancé sur une piste verglacée horizontale, avec une vitesse initiale
0
v
r
. Il doit franchir une bande
sans glace, perpendiculaire à
0
v
r
, de largeur d, où il subit, en l’absence de glace, une force de frottement de norme k tant
que la vitesse est non nulle. A Quelle condition sur
0
v
r
parviendra-t-il à franchir cette bande?
V. Oscillateur sur un plan incliné
Un point matériel M de masse m = 0,1 kg, est assujetti à glisser sur une tige D. Il est fixé à l’extrémité d’un ressort, de
raideur k = 20N/m, de longueur à vide l
v
, dont l’autre extrémité est fixé en O. On donne l’angle que fait la tige avec la
verticale : °==α 30)MO,g(
r
r
.
A l’instant pris comme origine des temps, on communique à la masse une vitesse uvv
00
r
r
= à partir de sa position
d’équilibre.
1. Montrer que si les frottements sont négligeables, l’oscillateur est harmonique; déterminer la pulsation du mouvement et
la position x
éq
autour de laquelle M oscille.
2. On constate qu’en fait les oscillations s’amortissent : l’amplitude décroît exponentiellement, ce qui correspond à
l’existence d’une force de frottement du type vbf
r
r
−= . Sachant qu’au bout de n = 50 oscillations, l’amplitude est
divisée par p = 3, calculer le coefficient de frottement b, le coefficient de qualité de l’oscillateur et le décrément
logarithmique. (On fera, en justifiant, l’approximation nécessaire.)
VI. Énergie potentielle d’un point matériel suspendu à un ressort
Soit un point M, de masse m, suspendu à une extrémité d’un ressort de raideur k, de longueur à vide l
v
, dont l’autre
extrémité est fixe. On se limite aux mouvements verticaux de la masse m (l’axe du ressort est maintenu vertical).