Energie / Puissance moyenne finie

Ex =
2
∫
R
x ( t ) dt < +∞
Px =
1
T
lim
T → ∞
•
•
Propriétés :
Energie / Puissance moyenne finie
T /2
∫
2
x ( t ) dt < +∞
•
•
−T /2
x(t) à Energie fini si Ex < +∞ x(t) à Puissance finie si Px < +∞
Signaux élémentaires
Echelon unité
Fonction signe
U(t) =C[0,+∞[ (t) = 1 si t > 0
sgn(t)= 1 si t > 0
-1 si t < 0
Signal rectangle
Signal triangle
0 ailleurs
rect(t)= 1 si t∈[-1/2,+1/2]
0 ailleurs
x (t ) = ∑ x k e
-1
Fonction rampe
Sinus cardinal
ramp(t)=t si t∈[0,+∞[
0 ailleurs
sinc(t)=sin(π.t)/π.t
Bsinc(BT) Æ
1
B
1/B
1
-1
1
δ (αt ) =
∫
δ ( t ) dt
α
Propriétés :
ÎPrincipe de localisation : x(t).δ(t-t0)=x(t0).δ(t-t0)
ÎRappel convolution :
( x * δ )( t − t 0 ) =
= 1
∫
)( t ) =
2
∫ x ( u ).δ ( t − t
∫ x ( t ).δ ( t − t
0
) dt = x ( t 0 )
−∞
x1(u ) x
2
∑
x (t) ∗
∑
δ ( t − kT ) =
k = −∞
x ( t − kT
k = −∞
∑ δ (t − kT ) = ∑ x(kT ).δ (t − kT ) discrétisation temporelle
x (t ).
< x , y >=
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
n −1
∑
x(k ) y (k )
∫
Produit scalaire
( = <x,y> )
x (t) y
*
+∞
∑
( t ) dt
− ∞
x (k ) y
*
∫
Norme ||x||
( = √<x,x> )
2
x ( t )
2
x ( k )
+∞
Distance d(x,y)
x (k ) − y (k )
∫ x ( t ) − y ( t ) dt
∑
− ∞
−∞
( = ||x-y|| )
L’énergie d’un signal de L2 Î Ex=||x||2
Deux signaux sont orthogonaux si <x,y>=0 et colinéaires si |<x,y>|=||x||.||y||
Signaux de puissance moyenne finie
Signaux périodiques
Temps continu
Temps discret
1
T
Produit scalaire
∫
1
T
Distance
Sgnx non périodiques
x ( t ) y ( t ) dt
∫
∫
T
2
x (t)
T
T→∞
1
T
1
N
2
x ( t ). e
( t ) dt
−T / 2
− 2 j π ft
x (t) =
dt
∑
=
∫
1 T/2
2
∫ x (t ) dt
T → ∞ T −T / 2
lim
N → ∞
1
2
T/2

2
 lim 1
x (t ) − y (t ) dt 
 T → +∞ T ∫

−T / 2


Modulation :
F
e 2 j π f 0 t x ( t )  → X ( f − f 0 )
•
Homothétie :
x ( at
•
Convolution :
•
Relation de Parseval :
1
a
)  F →
X
∫ x(t ) y (t )dt = ∫ X ( f )Y
*
TF d’un peigne de Dirac :
La puissance d’un signal : Px=||x||2
Autocorrélation & Intercorrélation
Î Autocorrélation :
1
Cx(τ) = < x(t) , x(t-τ) >
Î Intercorrélation :
Cxy(τ) = < x(t) , y(t-τ) >
0.5
-0.5
f
a
(
*
( f )df
R
1
∑ δ ( t − kT ) → T ∑ δ ( f
F
k ∈Z
Sx(f) = |X(f)|2
Notation :
|X(f)|2=(√a2+b2)2
Æ
Sx(f) = TF[Cx(τ)]
Théorème de Wiener Khinchine :
Cx(\)
1
\
t
2
-T/2
k =1
N
T/2
-T
T
X(f)
1/T
x(k )
Sx(f)
f
f
2
Densité Spectrale de Puissance
Répartition de la puissance dans l’espace des fréquences
− N
N
∑ x(k ) − y (k )
Notation :
Sx(f) = TF[Cx(τ)]
Propriétés :
Æ Si x(t) à énergie finie : Sx(f)=|X(f)|2=X(f).X*(f)
Æ Sx(f) > 0
Æ y(t)=x(t-t0) Î Sy(f) = Sx(f)
Suivant le type de signal (DSE / DSP) on a :
2
−N1
1
Cx(t)
E x = ∫ S x ( f )df = C x (0)
R
-1
−
k
)
T
Densité Spectrale d’Energie
|x(t)|2 : densité temporelle d’énergie / répartition de l’énergie dans le temps
|X(f)|2 : densité spectrale d’énergie / répartition en fréquence de l’énergie
x(k ) − y (k )
∑
)
Æ X(f).Y(f)
Æ X(f) * Y(f)
[x * y](t)
x(t).y(t)
2
x (k )
df
X ( f )
k =1
1
2N
1
N →∞ 2 N
lim
k
2 j π ft
X ( f ). e
1/T
lim
2
x
R
x(t)
N
∑
dt
•
Temps discret
1 N
lim
x(k ) y * (k )
∑
N → +∞ 2 N
−N
T /2
*
2
x(k ) y (k )
N
k
t
T
0
*
∑
− 2 jπ
∫ x (t )e
TF[rect(t)] = sinc(f) TF[sinc(t)] = rect(f) TF[δ(t)] = 1 et TF-1[δ(f)] = 1
TF[trian(t)] = sinc2(f) TF[e2jπkτ/T]=δ(f-k/T) TF[sinc2(t)]=trian(f)
k =1
1
N
x ( t ) − y ( t ) dt
∫ x(t ) y
∑
dt
Temps continu
lim
Produit scalaire
Distance
T
N
1
N
*
1
T
Norme
Norme
2
T
Remarques : discrétisation temporelle –TF-> périodisation du spectre
Périodisation temporelle –TF-> discrétisation du spectre
Transformée Fourier a connaître
− ∞
− ∞
1
T
k ∈Z
(k )
+∞
∑
dt
+∞
∫
R
•
− ∞
+∞
2
x ( t )
R
Espace des signaux à Energie finie
Signal à tps continu L2
Signal à tps discret l2
+∞
=
<x(t),y(t)> = < X(f),Y(f) > Ù
< x, y > ≤ x . y
k =0
x
)
Convoluer un signal x(t) par le peigne de Dirac revient à périodiser x(t) à la
période T.
Produit scalaire
>=
x ( t − t 0 )  → e
( t − u ) du
− u ) du = x ( t − t 0 )
+∞
k
t
T
k ∈ Z
− ∞
0
2 jπ
***** Propriétés : *********************************************
•
Translation :
− 2 j π ft 0
F
ÎPériodisation d’un signal : Peigne de Dirac :
+∞
X ( f ) =
+∞
+∞
( x1 ∗ x
x k =< x ( t ), e
Transformée de Fourier [X=spectre]
Transformée de Fourier (TF)
Transformée de Fourier inverse (TF-1)
− ∞
δ (t )
P
Relation de Parseval
+∞
Avec
x0 est la composante continue de x(t), c’est aussi sa valeur moyenne
x1e2jπt/T + x-1e-2jπt/T est la fondamentale de x(t)
xke2jπkt/T est l’harmonique d’ordre k de x(t)
1
Impulsion de Dirac
Notation : δ(t) et vérifie : δ(t)=0 δ(0)=+∞
k
t
T
2 jπ
k ∈Z
0.5
-0.5
Série de Fourier
Attention : Ne concerne que les signaux périodiques
1
trian(t)=Λ1,1=1-|t| si t∈[-1,+1]
0 ailleurs
1
Cx(0)=Px ou Ex suivant le type de signal
Si x est réel, l’autocorrélation de x est une fonction paire
Ù Cx(τ) = Cx(-τ)
Cx(τ) est maximal en 0
si x=δ => Cx(τ)=δ(t)
1
-1
Px = ∫ S x ( f )df = C x (0)
R
2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b)
Filtre linéaire invariant dans le temps
Un filtre est un système linéaire invariant dans le temps (LIT) qui transforme
un signal d’entrée x en un signal y appelé réponse de x
Si x et y sont à temps continu :
y (t ) = ∫ h(t − τ ) x (τ )dτ
R
Si x et y sont à temps discret :
y (k ) =
∑ h ( k − i ) x (i )
Le noyau h du filtre est appelé réponse impulsionnelle
De manière générale :
• y(t) = (h * x)(t) échantillonnage du spectre
avec y = réponse h = réponse impulsionnelle x = excitation.
•
H(f) = TF(h(t)) :
Æ fonction de transfert
•
Y(f) = H(f).X(f) |H(f)|=gain fréquentiel / arg H=déphasage du filtre
Propriétés :
•
Causalité : Un filtre est causal ssi h(t) = 0 , pour tout t<0
•
Stabilité : Un filtre est dit stable ssi à toute excitation bornée (x(t)<xM,
∀t), la réponse du filtre est aussi bornée.
h(t ) dt < +∞
Condition nécessaire et suffisante de stabilité :
R
Densité spectrale de signaux filtrés :
f(x)
Cste
x
xn
1/x
√x
ln x
ex
sin x
cos x
tan x
∫
Sy(f) = |H(f)|2.Sx(f)
Signal à spectre borné : X(f)=X(f)1[-fmax,fmax](f)
Les Filtres
Filtre passe-bas idéal
arg(H(f))
|H(f)|
-B
H(f)=e2jπft01I[-B,B](f)
h(t)=2Bsinc(2B(t+t0))
B
-B
•
Filtre passe-haut idéal
arg(H(f))
|H(f)|
B
f
-B
|H(f)|
Filtre passe-bande idéal
xn 
→
B
f0-B
f
f0+B
f0
H(f)= e2jπft0 1I[f0-B,f0+B](f)
f0+B
f0-B
h(t)=2Bsinc(2B(t+t0)) e2jπf(t+t0)
Echantillonnage idéal
Permet de passer d’un signal à temps continu à un signal constitué d’une
combinaison linéaire d’impulsion de Dirac :
+∞
+∞
Xe( f ) = ∑ X ( f −
xe (t ) = x (t ).Te ∑ δ (t − kTe )
−∞
−∞
k
)
Te
+∞
+∞
sin(π+a) = -sin a
cos(π+a) = -cos a
tan(π+a)= tan a
cotan(π+a)= cotan
sin(π - a)=sin a
cos(π - a)=-cos a
tan(π – a)=- tan a
cotan(π – a)=- cotan a
cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a
cos 2 a = 1 − 2 sin 2 a
cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a
2
cos 2 a = 2 cos a − 1
1
cos 2 a = (1 + cos 2 a )
2
sin( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
sin( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a
cos( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
cos( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
tan a
1 − tan
tan a
tan( a − b ) =
1 + tan
tan( a + b ) =
sin(π/2-a)=cos a
cos(π/2-a)=sin a
tan(π/2-a)=cotan a
cotan(π/2-a)=tan a
+ tan
a tan
− tan
a tan
b
b
b
b
tan 3a =
3 tan a − tan 3 a
1 − 3 tan 2 a
sin a + cos a = 1
1
1 + tan 2 a =
cos 2 a
2
x n +1
+K
n +1
tan x = − ln cos x + K
cot anx = ln sin x + K
thx = ln( chx ) + K
1
sin( ax + b ) + K
a
1
sin( ax + b ) = − cos( ax + b ) + K
a
cos( ax + b ) =
∫ ln xdx = x ln x − x + K
∫ Arc sin xdx = xArc sin x +
∫ Arc cos xdx = xArc cos x −
ex 
→ e x + K
xer (t ) = Te ∑ ( x * h )( kTe ).δ (t − kTe ) = ( x * h )(t ).Te ∑ δ (t − kTe )
−∞
−∞
+∞
+∞
k
k
X er ( f ) = ( X ( f ). H ( f )) * ∑ δ ( f − ) = X h ( f ) * ∑ δ ( f − )
T
T
−∞
−∞
e
e
sin(-a)=-sin a
cos(-a)=cos a
tan(-a)=-tan a
cotan(-a)=-cotan a
u’/(cos2 u)
u’/(1+tan2u)
PRIMITIVES
→ sin x + K
cos x 
Le spectre Xe(f) est la répétition sur l’axe des fréquences à la période fe=1/Te
Théorème de Shannon :
La fréquence d’échantillonnage doit être supérieure à deux fois la fréquence
maximale fmax du signal échantillonné : fe > 2.fmax
2fmax est appelée fréquence de Shannon
Echantillonnage réel
1 − x2 + K
1 − x2 + K
1
tan( ax + b) = − ln cos(ax + b) + K
a
1
x
= ln tan + K
sin x
2
∫ f ' [u( x)]u' ( x)dx = f [u( x )] + K
1
x π
= ln tan( + ) + K
cos x
2 4
1
= ln tan x + K
sin x. cos x
u( x)
u ' ( x )e = eu ( x ) + K
∫2
ax =
∫
ax
+K
ln a
Intégration par partie :
∫f
∫
n
( x ) f ' ( x )dx =
f ' ( x)
dx =
f ( x)
f n +1 ( x )
+K
n +1
f ( x) + K
f ' ( x)
dx = ln f ( x ) + K
f ( x)
f ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x) f ( x)
=
+K
g 2 ( x)
g ( x)
∫ u( x )v' ( x)dx = u( x)v( x ) − ∫ u' ( x )v( x )dx + K
Formule de Moivre
( eiθ ) n = einθ
∀θ ∈ R, ∀n ∈ Z , 
n
(cos θ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
Formules d’Euler
2
sin 2 a = 2 sin a cos a
1
sin 2 a = (1 − cos 2 a )
2
1
v'
( )' = − 2
v
v
u
u' v − v' u
( )' =
v2
v
( g o f )' = ( g 'o f ) f '
tan u
1

→ ln x + K
x
1

→ 2 x + K
x
1
1

→ − + K
x2
x
→ − cos x + K
sin x 
arg(H (f))
a
1 − cos a
tan( ) = ±
1 + cos a
2
a 1 − cos a
tan( ) =
2
sin a
sin a
a
tan( ) =
2 1 + cos a
DERIVEES
f(x)
f’(x)
nu’un-1
un ; n∈N
eu
u’ eu
ln |u|
u’/u
sin u
u’cos u
cos u
-u’sin u
f’(x)
0
1
nxn-1
-1/x2
1/2√x
1/x
ex
cos x
-sin x
1/(cos2 x)
1+tan2x
-B
H(f)=1I]-i,-B]U[B,+i[(f) e2jπft0
h(t)=δ(t-t0)- 2Bsinc(2B(t+t0))
•
B
f
a
1 + cos a
cos( ) = ±
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 sin(
). cos(
)
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos(
). sin(
)
2
2
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos(
). cos(
)
2
2
a+b
a−b
cos a − cos b = −2 sin(
). sin(
)
2
2
+∞
k = −∞
•
a
1 − cos a
sin( ) = ±
2
2
2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b)
2 sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b)
x
y
∑a
∞ − kn
z y=z.x
eiθ + e − iθ
2
1
iθ
e − e −iθ
=
− k sin θ =
1− a
2i
ρ (cos φ + j sin φ ) = ρe jφ
cos θ =
0