Energie / Puissance moyenne finie

Energie / Puissance moyenne finie
x(t) à Energie fini si Ex < +∞ x(t) à Puissance finie si Px < +∞
Signaux élémentaires
Echelon unité
1 si t > 0
0 ailleurs
Fonction signe
sgn(t)= 1 si t > 0
-1 si t < 0
Signal rectangle
rect(t)= 1 si t∈[-1/2,+1/2]
0 ailleurs
Signal triangle
trian(t)=Λ1,1=1-|t| si t∈[-1,+1]
0 ailleurs
Fonction rampe
ramp(t)=t si t∈[0,+∞[
0 ailleurs
Sinus cardinal
sinc(t)=sin(π.t)/π.t
Bsinc(BT) Æ
Impulsion de Dirac
Notation : δ(t) et vérifie : δ(t)=0 δ(0)=+∞
Propriétés :
ÎPrincipe de localisation : x(t).δ(t-t0)=x(t0).δ(t-t0)
Î Rappel convolution :
ÎPériodisation d’un signal : Peigne de Dirac :
Convoluer un signal x(t) par le peigne de Dirac revient à périodiser x(t) à la
période T.
)().()().( kTtkTxkTttx −=−
∑∑
δδ
discrétisation temporelle
Produit scalaire Inégalité de Cauchy-Schwarz :
Espace des signaux à Energie finie
Signal à tps continu L2Signal à tps discret l2
Produit scalaire
( = <x,y> )
Norme ||x||
( = √<x,x> )
Distance d(x,y)
( = ||x-y|| )
L’énergie d’un signal de L2 Î Ex=||x||2
Deux signaux sont orthogonaux si <x,y>=0 et colinéaires si |<x,y>|=||x||.||y||
Signaux de puissance moyenne finie
Signaux périodiques Temps continu Temps discret
Produit scalaire
Norme
Distance
Sgnx non périodiques Temps continu Temps discret
Produit scalaire
Norme
Distance
La puissance d’un signal : Px=||x||2
Autocorrélation & Intercorrélation
Î Autocorrélation :
Cx(τ) = < x(t) , x(t-τ) >
Î Intercorrélation :
Cxy(τ) = < x(t) , y(t-τ) >
Propriétés : • Cx(0)=Px ou Ex suivant le type de signal
• Si x est réel, l’autocorrélation de x est une fonction paire
Ù Cx(τ) = Cx(-τ)
• Cx(τ) est maximal en 0
• si x=δ => Cx(τ)=δ(t)
Série de Fourier
Attention : Ne concerne que les signaux périodiques
Avec
x0 est la composante continue de x(t), c’est aussi sa valeur moyenne
x1e2jπt/T + x-1e-2jπt/T est la fondamentale de x(t)
xke2jπkt/T est l’harmonique d’ordre k de x(t)
Relation de Parseval
Transformée de Fourier [X=spectre]
Transformée de Fourier (TF) Transformée de Fourier inverse (TF-1)
***** Propriétés : *********************************************
• Translation :
• Modulation :
• Homothétie :
• Convolution :
• Relation de Parseval :
<x(t),y(t)> = < X(f),Y(f) > Ù
• TF d’un peigne de Dirac :
Remarques : discrétisation temporelle –TF-> périodisation du spectre
Périodisation temporelle –TF-> discrétisation du spectre
Transformée Fourier a connaître
TF[rect(t)] = sinc(f) TF[sinc(t)] = rect(f) TF[δ(t)] = 1 et TF-1[δ(f)] = 1
TF[trian(t)] = sinc2(f) TF[e2jπkτ/T]=δ(f-k/T) TF[sinc2(t)]=trian(f)
Densité Spectrale d’Energie
|x(t)|2 : densité temporelle d’énergie / répartition de l’énergie dans le temps
|X(f)|2 : densité spectrale d’énergie / répartition en fréquence de l’énergie
Notation : Sx(f) = |X(f)|2 Æ |X(f)|2=(√a2+b2)2
Théorème de Wiener Khinchine : Sx(f) = TF[Cx(τ)]
Densité Spectrale de Puissance
Répartition de la puissance dans l’espace des fréquences
Notation : Sx(f) = TF[Cx(τ)]
Propriétés :
Æ Si x(t) à énergie finie : Sx(f)=|X(f)|2=X(f).X*(f)
Æ Sx(f) > 0
Æ y(t)=x(t-t0) Î Sy(f) = Sx(f)
Suivant le type de signal (DSE / DSP) on a :
+∞<= ∫dttxE R
x
2
)( ∫
−
∞→
+∞<=
2/
2/
2
)(
1
lim
T
T
T
xdttx
T
P
== +∞ )()( [,0[ ttU C
1
-0.5
0.5
1
1-1
1)( =
∫
+∞
∞−
dtt δ
∫
+∞
∞−
=− )()().( 00 txdttttx δ
∫
+∞
∞−
−=∗ duutxuxtxx )()())(( 2121
∫−=−−=− )()().())(*( 000 ttxduuttuxttx
δδ
∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−∗
kk
kTtxkTttx )()()( δ
∑
−
=
>=< 1
0
)()(,
n
k
kykxyx yxyx ., ≤><
∫
+∞
∞−
dttytx )()( *∑
+∞
∞−
)()( *kykx
∫
+∞
∞−
dttx 2 )( ∑
+∞
∞−
2
)( kx
∫
+∞
∞−
−dttytx 2 )()( ∑
+∞
∞−
−2 )()( kykx
∫Tdttytx
T
)()(
1*∑
=
N
k
kykx
N1
*)()(
1
∫Tdttx
T
2
)(
1∑
=
N
k
kx
N1
2
)(
1
∫−
Tdttytx
T
2
)()(
1∑
=
−
N
k
kykx
N1
2
)()(
1
1
-0.5
0.5
-1
1-1
1
Cx(t)
∑
∈
=
Zk
t
T
k
j
kextx
π 2
)( ∫−
>==<
Tt
T
k
jt
T
k
j
kdtetx
T
etxx
0
22 )(
1
),(
ππ
∑
∈
==
Zk
kx xtxP 22
)(
∫−
=
R
ftj dtetxfX
π 2
).()( ∫ =
R
ftj dfefXtx
π 2
).()(
)()( 0
2
0fXettx ftj
F
π −
→−
)ff(X)t(xe 0
F
tfj2 0−→
π
)(
1
)( a
f
X
a
atx F
→
[x * y](t) Æ X(f).Y(f)
x(t).y(t) Æ X(f) * Y(f)
∫∫
=
RR
dffYfXdttytx )()()()( **
)(
1
)(
∑∑
∈∈
−→−
ZkZk
F
T
k
f
T
kTt
δδ
f
\
t
1/T
1
-T/2
T/2
x(t)
T-T
Cx(\)
X(f)
f
1/T
Sx(f)
∫==
R
xxx CdffSP )0()(
∫==
R
xxx CdffSE )0()(
∫
−
∞→
2/
2/
*)()(
1
lim
T
T
Tdttytx
T∑
−
+∞→
N
N
Nkykx
N)()( 2
1
lim *
∑
−
∞→
N
N
Nkx
N
2
)(
2
1
lim
∑
−
∞→ −
N
N
Nkykx
N1
2
)()(
2
1
lim
1
1-1
B
1/B
)(
1
)( tt δ
α
αδ =
()
∫
−
∞→
2/T
2/T
2
T
dttx
T
1
lim
() ()
2
1
2/T
2/T
2
T
dttytx
T
1
lim 
−
∫
−
+∞→

Filtre linéaire invariant dans le temps
Un filtre est un système linéaire invariant dans le temps (LIT) qui transforme
un signal d’entrée x en un signal y appelé réponse de x
Si x et y sont à temps continu :
Si x et y sont à temps discret :
Le noyau h du filtre est appelé réponse impulsionnelle
De manière générale :
• y(t) = (h * x)(t) échantillonnage du spectre
avec y = réponse h = réponse impulsionnelle x = excitation.
• H(f) = TF(h(t)) : Æ fonction de transfert
• Y(f) = H(f).X(f) |H(f)|=gain fréquentiel / arg H=déphasage du filtre
Propriétés :
• Causalité : Un filtre est causal ssi h(t) = 0 , pour tout t<0
• Stabilité : Un filtre est dit stable ssi à toute excitation bornée (x(t)<xM,
∀t), la réponse du filtre est aussi bornée.
Condition nécessaire et suffisante de stabilité :
Densité spectrale de signaux filtrés :
Sy(f) = |H(f)|2.Sx(f)
Signal à spectre borné : X(f)=X(f)1[-fmax,fmax](f)
Les Filtres
• Filtre passe-bas idéal
H(f)=e2jπft01I[-B,B](f)
h(t)=2Bsinc(2B(t+t0))
• Filtre passe-haut idéal
H(f)=1I]-i,-B]U[B,+i[(f) e2jπft0
h(t)=δ(t-t0)- 2Bsinc(2B(t+t0))
• Filtre passe-bande idéal
H(f)= e2jπft0 1I[f0-B,f0+B](f)
h(t)=2Bsinc(2B(t+t0)) e2jπf(t+t0)
Echantillonnage idéal
Permet de passer d’un signal à temps continu à un signal constitué d’une
combinaison linéaire d’impulsion de Dirac :
Le spectre Xe(f) est la répétition sur l’axe des fréquences à la période fe=1/Te
Théorème de Shannon :
La fréquence d’échantillonnage doit être supérieure à deux fois la fréquence
maximale fmax du signal échantillonné : fe > 2.fmax
2fmax est appelée fréquence de Shannon
Echantillonnage réel
DERIVEES
f(x) f’(x) f(x) f’(x)
Cste 0un ; n∈Nnu’un-1
x 1 euu’ eu
xnnxn-1 ln |u| u’/u
1/x -1/x2sin u u’cos u
√x1/2√xcos u -u’sin u
ln x 1/x
exex
sin x cos x
cos x -sin x
tan x 1/(cos2 x)
1+tan2x
tan u u’/(cos2 u)
u’/(1+tan2u)
PRIMITIVES
Intégration par partie :
Formule de Moivre
Formules d’Euler
∫−=
R
dxthty τττ )()()(
∑
+∞
−∞=
−=
k
ixikhky )()()(
∫+∞<
Rdtth )(
B
f
-B
|H(f)|
-B
B
arg(H(f))
B
B
f
|H(f)|
-B
-B
arg(H(f))
f0+B
f0
f
f0+B
|H(f)|
f0-B
f0-B
arg(H(f))
∑
+∞
∞−
−= )().()( eee kTtTtxtx δ
∑
+∞
∞−
−= )()(
e
eT
k
fXfX
∑∑
+∞
∞−
+∞
∞−
−=−= )().)(*()().)(*()( eeeeeer kTtTthxkTtkThxTtx δδ
∑∑
+∞
∞−
+∞
∞−
−=−= )(*)()(*))().(()(
e
h
e
er T
k
ffX
T
k
ffHfXfX
δδ
sin(-a)=-sin a
cos(-a)=cos a
tan(-a)=-tan a
cotan(-a)=-cotan a
sin(π - a)=sin a
cos(π - a)=-cos a
tan(π – a)=- tan a
cotan(π – a)=- cotan a
sin(π/2-a)=cos a
cos(π/2-a)=sin a
tan(π/2-a)=cotan a
cotan(π/2-a)=tan a
sin(π+a) = -sin a
cos(π+a) = -cos a
tan(π+a)= tan a
cotan(π+a)= cotan
a
a
aa
2
2
22
cos
1
tan1
1cossin
=+
=+
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bababa
bababa
abbaba
abbaba
tantan1
tantan
)tan(
tantan1
tantan
)tan(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
cossincossin)sin(
cossincossin)sin(
+
−
=−
−
+
=+
+=−
−=+
−=−
+=+
)2cos1(
2
1
cos
1cos22cos
sin212cos
sincos2cos
2
2
2
22
aa
aa
aa
aaa
+=
−=
−=
−=
)2cos1(
2
1
sin
cossin22sin
2aa
aaa
−=
=
)
2
sin().
2
sin(2coscos
)
2
cos().
2
cos(2coscos
)
2
sin().
2
cos(2sinsin
)
2
cos().
2
sin(2sinsin
)cos()cos(sinsin2
)cos()cos(coscos2
)sin()sin(cossin2
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
bababa
bababa
bababa
−+
−=−
−+
=+
−+
=−
−+
=+
+−−=
−++=
−
+
+
=
a
aa
a
aa
a
aa
aa
aa
cos1
sin
)
2
tan(
sin
cos1
)
2
tan(
cos1
cos1
)
2
tan(
2
cos1
)
2
cos(
2
cos1
)
2
sin(
+
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−
=
+
−
±=
+
±=
−
±=
a
aa
a
aaa
aaa
2
3
3
3
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tantan3
3tan
cos3cos43cos
sin4sin33sin
−
−
=
−=
−=
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''
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'
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1
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2
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v
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v
v
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Kxx
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+→
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+
→
+
sincos
cossin
11
2
1
ln
1
1
2
1
∫
∫
∫
∫
∫
+=
−
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+=
+
+
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K
xg
xf
xg
xfxgxgxf
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xf
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Kxfdx
xf
xf
K
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Kxufdxxuxuf
n
n
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1
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2
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Kbax
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Kbax
a
bax
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++−=+
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+=
+−=
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1
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)sin(
1
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sinlncot
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K
a
a
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Keexu
Kx
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K
x
x
K
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x
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a
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x
x
xuxu
+=
+=
+=
++=
+=
++−=+
ln
)('
tanln
cos.sin
1
)
42
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cos
1
2
tanln
sin
1
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1
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π
∫
∫
∫
+−−=
+−+=
+−=
KxxxArcxdxArc
KxxxArcxdxArc
Kxxxxdx
2
2
1coscos
1sinsin
lnln
∫∫
+−= Kdxxvxuxvxudxxvxu )()(')()()(')(
+=+
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∈∀∈∀
θθθθ
θ
θθ
nini
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ZnR n
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sincos)sin(cos
)(
,,
φ
ρφφρ
j
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∑∞
−
−
−
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01
1
k
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a
a
i
ee
ee
ii
ii
2
sin
2
cos
θθ
θθ
θ
θ
−
−
−
=
+
=
x y
zy=z.x