20060329 Analyse du mouvement

Licence de Mécanique
Bases de la
Mécanique des Milieux Continus
A.U. 2005-2006
A NALYSE DU M OUVEMENT
P. Vannucci
LEMA – Laboratoire d'Etudes Mécaniques des Assemblages
UVSQ – Bâtiment Descartes RC27 – 45, Avenue des Etats-Unis. 78035 Versailles
[e-mail]
___________________________________________________________________________

A NALYSE DU M OUVEMENT
Dans l'analyse d'un mouvement, il est souvent important de déterminer des grandeurs
fondamentales (gradient de déformation, tenseur de stretching etc.), de caractériser le
mouvement (est-il rigide, irrotationnel, isochore ? etc.) et de tracer les lignes caractéristiques
du mouvement (trajectoire, lignes d'émission, lignes de courant). Les procédures à suivre pour
mener à bien cette analyse diffèrent un peu selon qu'on utilise une description Lagrangienne
ou Eulérienne du mouvement. Voyons les deux démarches à suivre.
D ESCRIPTION L AGRANGIENNE
Données: p=f(P, t), la déformation à tout instant t, ou u=u(P, t), le vecteur déplacement à tout
instant t, avec P= (X
1
, X
2
, X
3
). Dans ce deuxième cas, on récupère la déformation en se
rappelant que
),()(),(),( tPPitPftPPp uu
+
=
→
+
=
,
i ( P ) étant la transformation identité.
1. E VALUATION DES GRANDEURS CARACTÉRISTIQUES
La simple connaissance de la déformation à tout instant t permet de calculer sans problème
toutes les grandeurs caractéristiques du mouvement:
i. F ( P , t )=
ji
j
i
X
tPf
ee ⊗
∂
∂
),( ;
ii. C ( P , t )=
F
F
T
;
iii. L ( P , t )= )(
2
1
IC −
;
iv.
;),(
I
F
u
−
=
∇
tP
v. ε
εε
ε ( P , t )=
( )
T
2
1
uu ∇+∇
;
vi. la vitesse Lagrangienne:
i
i
m
t
tPf
tPftP ev
∂
∂
==
),(
),(),(
&
;
vii. la vitesse Eulérienne: ]),,([),(
1
ttpfftp
s
−
=
&
v
; le calcul de la vitesse Eulérienne
nécessite donc l'inversion de la transformation donnée: ),(
1
tpfP
−
=
; les
- 2 -

;),(
),(),(
,),(),(
OD
V
OLIC
=
∈
=
⇒
=
tp
Skwtp
tPtP
s
V
;0
;0div
,0)(det 1det
tetbds
t
bs
s
∀⊂∀=⋅
=
= ⇒ =
∫
∂
•
Ω nv
v
FF
coordonnées de P , ainsi déterminées en fonction de p et de t , doivent ensuite être
injectées dans l'expression de la vitesse Lagrangienne;
viii. le tenseur gradient de vitesse: V
s
( p , t )=
ji
j
is
s
x
ee
v
v ⊗
∂
∂
=∇
)( ;
ix. le tenseur de stretching : )(
2
1
),(
T
ss
tp vvD ∇+∇=
;
x. le tenseur de spin : )(
2
1
),(
T
ss
tp vvW ∇−∇=
;
xi. le vecteur tourbillon:
s
tp vω rot),( =
; alternativement, on peut calculer ω
ωω
ω comme
le double du vecteur axial du tenseur de spin (ce dernier est, dans le cas d'un
mouvement rigide, la vitesse angulaire ϖ
ϖϖ
ϖ ; dans un mouvement rigide donc
),( tp ω
= 2ϖ
ϖϖ
ϖ );
xii. le vecteur
s
v
′
, dérivée propre de v
s
:
t
tp
s
s
∂
∂
=
′
v
v ),( ;
xiii. le vecteur accélération Eulérienne:
ssss
tp vvvv )(),( ∇+
′
=
&
;
xiv. le vecteur accélération Lagrangienne:
i
im
mm
t
tPf
tPf
t
P,t e
v
va
2
2
),(
),()(
∂
∂
==
∂
∂
==
&&
&
;
alternativement, on peut calculer a
m
comme:
]),,([)()( ttPfP,t
smsm
vva
&&
==
,
c'est-à-dire en remplaçant dans l'accélération Eulérienne l'expression de p donnée
par la transformation p = f ( P , t ).
2. C ARACTÉRISATION DU M OUVEMENT
Le mouvement est:
i. stationnaire si: )(),(
ptp
sss
vvov = ⇒ =
′
;
ii. rigide si:
iii. isochore si:
à remarquer qu'un mouvement rigide est forcement isochore, car 0div
== Dv tr
s
;
iv. irrotationnel si:
ovOW = ⇒ =
s
rot ;
v. une suite continue de déformations pures si
F = F ( t ) et F = F
T
∀ t .
- 3 -

vi. plan si et seulement si la torsion ϑ d'une trajectoire quelconque est nulle partout et
∀ t , et si les deux composantes non nulles de v
s
dans le plan du mouvement ne
dépendent que des deux coordonnées dans le même plan, c'est-à-dire s'il existe au
moins un repère Cartésien dans lequel
22121211
),,(),,(),( eev txxtxxtp
s
vv +=
. En
outre, si un mouvement est plan
WvDWWD )div(
s
=+
(condition nécessaire
mais pas suffisante de planéité). On rappelle que la torsion d'une trajectoire
p = f ( P , t ) est donnée par la formule 2
ff
fff
&&&
&&&&&&
∧
⋅∧
−= ϑ
.
3. L IGNES C ARACTÉRISTIQUES
Trajectoires (path lines) : la trajectoire d'un point
Ω
∈
o
P
est l'ensemble des points
géométriques p occupés au fil du temps par P
o
. Si l'on cherche la trajectoire d'un point
Ω
∈
o
P
, elle sera donc tout simplement la courbe d'équation paramétrique
=
=
=
⇒ =
).;,,()(
),;,,()(
),;,,()(
),()(
32133
32122
32111
tXXXftx
tXXXftx
tXXXftx
tPftp
ooo
ooo
ooo
o
La connaissance de la transformation p = f ( P , t ) donne donc automatiquement les trajectoires.
Dans l'équation des trajectoires, le paramètre est t , le temps, mais chaque trajectoire est une
courbe indépendante du temps: la courbe trajectoire ne change pas au fil du temps, mais la
particule P
o
parcourt sa trajectoire au fil du temps.
L'équation d'une trajectoire peut aussi se déterminer comme solution des équations
différentielles
),()( tPtp
o
m
v =
&
;
=
=
=
⇒ =
),;,,(
),;,,(
),;,,(
),(
)(
321
3
3
321
2
2
321
1
1
tXXX
dt
xd
tXXX
dt
xd
tXXX
dt
xd
tP
dt
tpd
ooo
ooo
ooo
o
m
m
m
m
v
v
v
v
qui, avec les conditions initiales
==
==
==
⇒ ==
.)0(
,)0(
,)0(
)0(
33
22
11
o
o
o
o
Xtx
Xtx
Xtx
Ptp
sont les trois équations différentielles qui permettent de déterminer l'équation de la trajectoire
de P
o
. A remarquer que la variable d'intégration de ces équations différentielles est bien le
temps t , alors que les coordonnées
o
i
X
qui y figurent sont des constantes.
Lignes de courant (streamlines) : la ligne de courant à un instant t = θ donné est une courbe
qui admet, en chaque point, une tangente parallèle au vecteur vitesse en ce point et calculé à
- 4 -

l'instant θ . C'est donc une ligne de flux du champ vectoriel v
s
au moment θ . Contrairement
aux trajectoires, les lignes de courant changent donc, en général, avec le temps.
Pour trouver la ligne de courant par un point géométrique ),,(
321
yyyy =
il faut résoudre
le système d'équations différentielles
=
=
=
⇒ =
),;,,(
),;,,(
),;,,(
]),([
)(
321
3
3
321
2
2
321
1
1
θ
µ
θ
µ
θ
µ
θµ
µ
µ
xxx
d
xd
xxx
d
xd
xxx
d
xd
p
d
dp
s
s
s
s
v
v
v
v
qui, avec les conditions initiales
==
==
==
⇒ ==
,)0(
,)0(
,)0(
)0(
33
22
11
yx
yx
yx
yp
µ
µ
µ
µ
sont les trois équations différentielles qui permettent de déterminer l'équation de la ligne de
courant par ),,(
321
yyyy =
à t = θ . Evidemment, on obtient une équation en fonction du
paramètre µ , qui n'a aucune signification physique (en particulier il n'est pas un temps), mais
c'est simplement un paramètre pour la description géométrique de la courbe. Il faudrait dire,
plus exactement, qu'on obtient une famille mono-paramétrique de courbes, car pour chaque
valeur de θ on a une ligne de courant différente. A remarquer la différence avec la recherche
des trajectoires: on n'intègre pas par rapport au temps, qui figure dans les équations
différentielles des lignes de courant que comme un paramètre, alors que les coordonnées x
i
de
la ligne de courant sont des variables du paramètre µ .
Une autre façon d'écrire les équations différentielles qui déterminent les lignes de courant,
est de considérer que, par définition même de ligne de courant, il est
,
,
,
,
),()(
3
3
2
2
1
1
2
1
1
2
1
3
3
1
3
2
2
3
sss
ss
ss
ss
s
dxdxdx
dxdx
dxdx
dxdx
pdp
vvv
vv
vv
vv
== ⇒
=
=
=
⇒ ∧ θθ v
où dp ( θ ) est le vecteur infinitésimal tangent à la ligne de courant par p à t = θ ; en ayant éliminé
le paramètre µ , on obtient ainsi deux équations différentielles équivalentes aux trois équations
précédentes qui étaient en fonction de µ . Les constantes d'intégration on le détermine encore
une fois en imposant que la courbe passe par le point y choisi.
Lignes d'émission : la ligne d'émission d'un point géométrique ),,(
321
qqqq =
à l'instant t = τ ,
est l'ensemble des positions
λ
τ
p
qui, à l'instant τ , sont occupées par les particules qui sont
passées par q à un instant t = λ < τ . Donc: la particule P
λ
, qui était en q à t = λ ,
=
=
=
⇒ =
),;,,(
),;,,(
),;,,(
),(
32133
32122
32111
λ
λ
λ
λ
λλλ
λλλ
λλλ
λ
XXXfq
XXXfq
XXXfq
Pfq
se trouve en
λ
τ
p
à t = τ ,
- 5 -