Sur les groupes de tresses

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
E GBERT B RIESKORN
Sur les groupes de tresses
Séminaire N. Bourbaki, 1971-1972, exp. no 401, p. 21-44.
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Séminaire BOURBAKI
24e
année,
401-01
1971/72,
n°
401
Novembre 1971
SUR LES GROUPES DE TRESSES
[d’après
par
I.
V. I.
ARNOL’D]
Egbert BRIESKORN
Introduction.
Les tresses sont des
objets
que l’on peut décrire par des
figures
comme
la
suivante :
Les tresses ont été connues bien
duites
comme
objets mathématiques
Les tresses à
brins
sur
le groupe
avant
par E. Artin
[7]
qu’elles n’aient été
en
B(n) .
symétrique
S(n)
On
a un
intro-
1925.
composent de manière évidente
se
le groupe de tresses
appelé
B(n)
n
longtemps
et forment un groupe
homomorphisme surjectif évident
de
et son noyau est le groupe des tresses colo-
rées.
On
g,
1
a
de
façon évidente
croise le
i-ème et
un
système
de
générateurs
brins
comme
g1,...,gn-1 de B(n)
le montre la
où
figure suivante :
On
a
évidemment les relations suivantes :
Plusieurs auteurs ont
présentation
prouvé
du groupe de tresses
Artin introduisit les tresses à
noeuds. En
joignant
les bouts
donne le noeud de trèfle :
générateur$
et relations
donnent
une
B(n) .
cause
de leurs relations
correspondants d’une tresse
fermée" et à celle-ci est associé
vante :
ces
que
un
noeud
ou un
on
avec
la théorie des
obtient
une
"tresse
link. Par exemple la tresse sui-
Tout link
peut être obtenu
façon, mais des
de cette
mots pour le groupe de
peuvent donner le même link. Résoudre le problème des
signifie décider si
tresses
de leurs inverses sont
deux tresses données
égales. Résoudre
le
comme
problème
tresses fermées différentes
produits
de la
décider si deux tresses donnent la même tresse fermée. Le
[7], [8],
résolu par E. Artin
cile,
et le
j.15]
été résolu par F. A. Garside
a
autre solution pour le
problème
groupes finis
faire
un
rapport
Plus
avec
une
récemment,
sur ces
conjugaison signifie
problème
des mots
été
a
conjugaison, qui était diffi-
jolie combinaison
on
a
trouvé
géométrie algébrique
la
par des réflexions. Le
engendrés
et
une
des mots.
topologie.
relations très intéressantes
générateurs
1969. Garside donna également
en
Ainsi l’étude des groupes de tresses est
des groupes et de la
de la
problème
de
sujet
développements plus récents
qu’il
et
avec
de la théorie
y avait des
la théorie des
de cette conférence est de
et en
particulier
sur
le tra-
vail de V. I. Arnol’d.
2.
Groupes
de tresses
généralisés.
Les résultats d’Arnol’d
en
sur
sur
les groupes de tresses peuvent être mieux
à
une
classe de groupes
On peut considérer
une
tresse à
les
généralisant
l’intervalle
[0,1J
qui à
tincts dans le plan complexe
définit
un
C
t E
peu
comme
[0,1]
et telle que
plus large.
étant
fait
une
fonction
correspondre
=
n
f
définie
points
f(1) = j~1,2,...,n) .
dis-
Ceci
isomorphisme :
D)
B(n) =
où le groupe
l’image
brins
n
tout
un
compris
dans
symétrique opère
Cn/S(n)
des
sur
Cn
par la
permutation des coordonnées,
hyperplans où deux coordonnées
sont
égales
et le
D
est
point
de base
~1,2,...,n~
été omis.
a
Cette situation peut être
fini irréductible
engendré
de dimension
Alors
toriel. Le
plexe
V
plans
quotient
de dimension
Soient
de
n .
i
s. ,
soit
D
W
opère
une
(cf.
opérant
sur un
complexifié
W
un
groupe
espace vectoriel réel
vec-
variété affine isomorphe à l’espace affine
com-
V,
sur
le
V
5.3).
la réflexion
l’image de A
façon suivante : soit
de cet espace
aussi
I , les réflexions dans
correspondant à
et
de la
par des réflexions
V/W est
n
E
généralisée
s..
W
et soit
Soit A
dans
Les
=
V.
l’hyperplan complexe
V.
l’union de
hypersurfaces A
ces
D
et
hyper-
sont
exactement le lieu de ramification et le discriminant du revêtement ramifié
V -~
on
où
V/W (cf.
obtient
un
V,
5.4).
revêtement
Donc
non
avec
les
complémentaires :
ramifié :
W est le groupe de transformation du revêtement. Généralisant la définition
des groupes de tresses et des groupes des tresses
colorées,
on
peut définir les
groupes suivants :
Si
W est le groupe
symétrique,
alors
Gw
est le groupe de tresses et
le groupe des tresses colorées. Le revêtement
Afin de
pouvoir décrire
GW
à l’aide de
XW
générateurs
est
HW
donne la suite exacte :
et
relations,
on
a
besoin
de la matrice de Coxeter
sl,..,,sn sont les
~11~ on a prouvé :
de
(m..)
W , où
réflexions correspondant
PROPOSITION 1.- Le groupe
a une
GW
m..
et
où
W . Dans
d’une chambre de
aux murs
présentation
(s. s.)
ordre
=
les
avec
générateurs
g~,...,gn
et les relations :
où le nombre de facteurs de chaque côté est
Ces relations sont
et on
égal à
généralisation évidente
une
peut penser que les résultats de Garside
blème de la
conjugaison peuvent
établit que c’est bien le
se
de celles des groupes de tresses
à
HW .
On
ces
problèmes
de côté pour considérer la
espère pouvoir
jecture
cohomologie
symétrie
H3
[16]. Cependant,
de l’icosaèdre.
nous
cohomologie des groupes
de
ces
groupes à
cause
allons
GW
de la
et
con-
suivante :
CONJECTURE.- Les espace
Malheureusement
[10].
XW
je n’ai
groupes de réflexions
celle de
calculer la
du mot et le pro-
groupes. Par exemple, Garside
ces
Ces groupes ont été considérés aussi par N. Iwahori
laisser
problème
le
sur
W est le groupe de
si
cas
généraliser
m...
W .
Pour le type
et
YW
sont des espaces
pu prouver cette
(Dans
ce
A ,
la
qui
d’Eilenberg-MacLane.
conjecture
que pour quelques types de
suit la notation des différents types est
conjecture
fut
prouvée
par Fox et Neuwirth
[13].)
PROPOSITION 2.- Si W
ces
XW
et
YW
est du
type
sont des espaces
An , Cn , Dn , G2 , F4
d’Eilenberg-MacLane.
ou
I?(p)
t
les espa-
Donc seuls les
Remarque.-
Preuve. On montre que
base
qui
est
suite exacte
d’homotopie
La
Dans
:
An :
ble localement triviale
C -
est
{z1,...,zn} .
Type
D n
Soit
Z
:
i~j~.
Dans
Type
où
Zn+1 ,
définit
(z.,..~,z )
.
F4 :
La même
L’application
YWW
(z, ,...,z )
=
n
~ ( z 1 ’"’ ’ zn-i ~
que
Z
est
une
sur
n .
méthode de projection marche.
y j ~‘ 0
~ ,yn~ E
Ceci est alors
Dans
fibration différentia-
dont la fibre au-dessus de
Zn+1 ~ Z
e
C n-1~
En utilisant encore la méthode de la
y - yi
une
Le résultat s’établit alors par récurrence
Z
sur
résultat désiré. Les fi-
au
suivante :
cas
l’espace :
par récurrence
=
ce
=
2014~
Cn , G2 et I2(P) :
Types
z.
C
x
(z1 ,...,zn+’)
projection
façon
espace de
sur un
courbe affine complexe. La
de cette fibration conduit
YW
ce cas
fibré localement trivial
un
et avec pour fibre une
brations sont obtenues de la
Type
est
YW
K(n,1~
un
restent à
H3 , H4 , E6 , E7 , E8
cas
un
z. /
0
projection,
K(Tr , 1) .
.
pour
et
on
On définit
tout i ~ j ~ .
pour tout
z.
montre facilement
YW
-?
Z
par
fibration différentiable localement triviale.
cas :
ce
~
Z
définie par
différentiable localement triviale.
zi1 -~
l
y
2 3 4
(y24 -
y2i)
1
donne
une
fibration
3. Cohomologie des groupes des tresses colorées généralisés.
Afin de calculer la cohomologie des groupes de tresses colorées
avons
nous
besoin de deux lemmes. Ceux-ci concerneront
d’hyperplans affines complexes
Pour cal~culer le
p-ième
V.i , i
groupe de
I , dans
E
0
cohomologie,
ensembles maximaux
de
I
un
famille finie
une
espace affine
n ,
p
lesquels
pour
généralisés
on
V.
complexe
considère les
sous-
propriété :
ait la
on
quelconque
p
Lemme 3.- Pour les
201420142014
complémentaires
d’union
Y
d’hyperplans
~rr
V -
=
..
Yp,k
,k
=
V - .
Preuve.
les
les inclusions
V.
i ~
(a)
U
p,
k ~
Y
soient des isomorphismes pour 2
sions induisent
La
chaque
La
(c)
en
une
injection
=
applications
k
de la
et
somme
surjection résulte
hyperplans
p
un
induisent
un
isomorphisme :
ne
surjectivité
directe dans
Y
tels que pour
en
cohomologie
général.
induites par les inclusions :
On
on
voit que les inclu-
H (Y , Z) .
prouvée
pour
p
d’hyperplans réels parallèles
un
au
plus qu’un
p
général
a un
L
se
un
=
ramène
n
en
tels que
point .
de suites de
répétée
argument du type de Lefschetz. Soit
suffisamment
de
p,k
k ,
est d’abord
contienne
pour
U
induites j*li*k
pour £ /
alors d’une utilisation
La preuve de la
utilisant
0
application
V à l’aide d’un nombre fini
bande entre les
dimension
les
de cette
surjectivité
décomposant
Yp,k
,k
et
L
En introduisant des ouverts convenables
inclusions jk:
(b)
Y ->
i,k :
il
.~2014~
V.
i~li
V..
Mayer-Vietoris.
au
cas
précédent
sous-espace affine de
diagramme commutatif d’applications
est
f
un
isomorphisme
(b),
morphisme d’après
Lefschetz
[17] ,
donc
pour des raisons
i
et
h
est
géométriques évidentes,
injectif d’après
est
i
I , dans
E
un
théorème du type de
un
surjectif.
COROLLAIRE 4.- Pour toute famille finie
espace affine
C. Q. F. D.
d’hyperplans affines complexes
H*(V -
V,
est un iso-
g
V.Z)
V. ,
est un groupe abélien
libre de type fini.
Preuve. Ceci résulte du lemme 3 par récurrence
facile de voir que
Yp,k
=
cn-p
taire d’une union
d’hyperplans
Lemme 5.- Soient
V. , j
dans
E
I ,
C*
x
dans
une
x
un
associées
aux
la
dimension,
Yp-1 ~ ~ , où ? . ,
est
famille finie
car
p - 1
.
d’hyperplans affines complexes
2.. Alors les classes de
J
d~ .
formes différentielles holomorphes
il est
complémen-
un
espace affine de dimension
donnés par les formes linéaires
V
sur
w. = 1 2014"-
cohomologie
engendrent
203C0i lj
l’anneau
1
anneau de cohomologie entière
morphe à
morphes
la
sur
I
Z-sous-algèbre engendrée
V. ,
j
par les
w. J
Z) .
cas
de la dimension
du théorème des résidus. Dans le
dans
la dimension
comme
cas
1
,
le lemme est
général
V. J
pluscet
plus
cet anneau est iso-
l’algèbre’des
formes méro-
dans le corollaire
passent par
un
point. Mais
précédent.
alors les
une
conséquence
triviale
il résulte du lemme 3 par récurrence
mière assertion. Pour la seconde à l’aide du lemme 3
les
De
V .
Preuve. Dans le
sur
H*(V(V -- ~je
j~I
H
Ceci est clair pour la preon
se
ramène
au
cas
où tous
caractéristiques d’Euler-Poincaré
de l’anneau
THÉORÈME
6.- Soit
de dimension
W
propriétés
aux
Z)
de
résulte par induction
groupe de réflexions
YW
le
opérant
complémentaire
longueur
(ii)
Le
où les
m.
t(w)
polynôme
sont les
La structure
drée par les
Preuve.
(i)
=
p ,
où £
est la
de toutes les réflexions de
2)
exposants de
multiplicative
L’inexistence de torsion
a
qui fixent
un
nombre d’éléments
au
au
système
est celle de
l’algèbre
d’après l’hypothèse
n .
des
engen-
déjà
bp
n .
sous-espace de codimension
donnée dans le corollaire 4.
est
prouvée
par récurrence
les groupes de réflexions
Les éléments de
p . Ceux
sur
opérant
longueur
qui fixent
p
sont
1
V.
éléments de longueur maximale dans le groupe de réflexions qui fixe
espace, donc pour
p
inférieur à
n
leur nombre est
égal
de récurrence. Donc l’assertion pour
Mais alors elle est aussi vraie pour
et celle des nombres
P
égal
est
été
les espaces de dimension inférieure à
b
les
a
1-formes décrites dans le lemme 5.
sur
des
YW
hyperplans
W .
H~(YW , ~~
de
Supposons que l’assertion soit vraie pour
p
de l’union des
V
W .
n .
pour
des formes.
l’espace affine complexe
longueur relativement
L’assertion concernant les nombres de Betti
sont les
dans
Son rang est
de Poincaré de
1
ceux
sur
degré
le
sur
réflexions. Alors l’anneau de cohomologie de
est abélien libre.
générateurs constitué
(iii)
en
l’anneau des formes sont toutes les deux
et de
suivantes :
(i)
W
un
et soit
n ,
complexes associés
w E
cohomologie
0 . Donc le résultat
à
égales
de
gradué
d’éléments de longueur
p
=
p
au
rang de
i
cet
HP(Y
résulte du lemme 2
b
P
n ,
car
sont
la
somme
égales à
alternée
0 .
(ii)
L’assertion concernant le polynôme de Poincaré est
et d’un résultat de
C’est
Remarques.en
et Todd
qui
a
conséquence
(i)
de
été prouvé de façon systématique par
[18].
L. Solomon
(iii)
Shephard
une
particulier du lemme 5.
un cas
(1)
Pour le type
A n
ce
théorème
a
été
prouvé
utilisant des méthodes différentes..En fait Arnol’d donne
leure de la structure
multiplicative :
l’anneau de
quotient de l’algèbre extérieure engendrée par
une
cohomologie
les
description
est
meil-
isomorphe
par l’idéal
w. 1
[2]
par V. I. Arnol’d
au
engendré
par
les relations :
où les
dent
1-formes
hyperplans
aux
(2)
W
Quand
sont définies
w. , w. , wk
Vi ,
,
i
V.,
j
Vj~
est le groupe de
tels que
codim
G~T ,
~
où
T
est
un
j
Vj~)
3 .
Weyl d’un groupe complexe simple
tore maximal.
torsion, s’annule
pas de
fl V . fl
(V.
i
intéressant de comparer la cohomologie décrite
de
dans le lemme 5 et correspon-
comme
au
Il est bien
dans les dimensions
théorème 6
connu
impaires
avec
que cette
et que son
la
G , il
est
cohomologie
cohomologie n’a
polynôme
de
Poincaré est :
C’est
égal
pourquoi, grâce à
au
un
nombre d’éléments
relativement
aux
résultat de Solomon
w E
W
tels que
~19~,
L(w) =
réflexions qui correspondent
le nombre de Betti
p . Ici
aux murs
L
est la
b2p
longueur
d’une chambre de Weyl.
est
4. Cohomologie des groupes des tresses
généralisés.
Ainsi la cohomologie des groupes des tresses colorées
entièrement comprise,
tion est beaucoup
au
moins dans les
plus compliquée
où la
cas
généralisés
conjecture
pour les groupes
GW .
est
HW
est vraie.
Evidemment il y
La situaa
quel-
ques faits évidents :
(i)
La
cohomologie de
dimension complexe de
(ii)
De la
X~
s’annule dans les dimensions
X~ , ,car
est une
groupe
abélianisant
X
en
I2(P)p
pair, où c’est
GW . C’est
Z2 . Donc il
d’homologie peut
sauf dans les
n’y
à la
variété de Stein.
proposition 1, le premier
facilement
supérieures
a
cas
être calculé
C , F4 G2
i
et
pas de torsion dans le second groupe
de cohomologie.
(iii)
L’ordre de toute torsion doit diviser l’ordre de
suite spectrale de
De cette suite
Hq(YW , Z)W est
spectrale
W . Ceci
provient
de la
%
on
isomorphe à
obtient
la
également
partie libre
de
que la
cohomologie invariante
Hq(XW , Z) .
Avec les lemmes 3 et
5 ceci permet de calculer les nombres de Betti
THÉORÈME
vant :
.
7.- Les nombres de Betti
b.
non
nuls de
X~
sont ceux du tableau sui-
Type de
W‘
Nombre de Betti
Preuve. On choisit p
parmi les sous-espaces
p
tants, disons
ceux
qui correspondent à
conque de ces espaces soit
sentants par
comme
un
un
élément
intersections de
1
,
.[ i V
i
k
envoyé surjectivement
w e
murs
W . Ces
par des
réflexions,
1,...,rp ,
sur
système
y
de
représenp
tels que l’un
exactement
un
de
ces
représentants peuvent être évidemment
quel-
repréchoisis
d’une chambre de Weyl, i.e. peuvent être décrits par
certain sous-graphe du graphe de Coxeter. Soit
engendré
=
un
et soit
W’ p,k
W p, k
le groupe
le sous-groupe de
W
correspondant
qui stabilise
Ce fait
la nullité de la
avec
calcul par récurrence de la
pas de
n’y
a
de
W’ p,k
caractéristique d’Euler-Poincaré
cohomologie invariante,
cohomologie invariante par
peut être décrite à l’aide du
très facile de montrer que pour le type
montre directement pour
sur
n
et
i
=
2
et pour
W
lemme 5.
A
b. = 0
on
utilise
pour
un
.
de
beaucoup
De cette
Exemple :
a
on
i > 2
dans
permet
XW
et dans les autres cas
,
p,k
car
de
il
cas
l’action
façon, il
i > 2 .
est
On le
double récurrence
une
i .
Remarque.- Pour
A ,
ce
résultat fut
prouvé
par Arnol’d
[3]
à l’aide d’une méthode
différente.
Ainsi la partie libre de
torsion,
la situation est
H*(Xw’ ~~
été déterminée. En
a
beaucoup plus compliquée. Cependant
résultat systématique concernant les groupes
des trois séries infinies
des inclusions
inclusions
ce
évidentes,
correspondantes
An , Cn , Dn
non
uniques,
GW
associés
il y
n
C n+1
A 1C C C
n+1 1
pour les groupes
n
GW
a
au
moins
un
stabilise. Il y
leur
A
la
concerne
groupes de réflexions
aux
:
cohomologie
qui
se
,
D
n
C Dn+11
,
a
et des
qui peuvent, par exemple, être
définies à l’aide des générateurs donnés dans la proposition 1. Pour les applications induites
THÉORÈME
8.-
en
cohomologie
on
a
le résultat suivant :
Remarque.- Dans le
une
le théorème est dû à Arnol’d
A ,
cas
meilleure borne pour
n
fonction de
en
(a)
Fixons l’une des séries
de rang
respondant
A
n .
de la
cause
fait, il donne
En
p . L’idée de base de la preuve
d’Arnol’d est la même que celle qui suit pour tous les
Preuve.
JJ3].
A , C , D
proposition 2,
cas.
et
on
soit
le groupe
Wn
cor-
doit comparer
et
n+1
(Les
coefficients sont toujours les entiers
action
avec
triviale).
Les
n
homomorphismes
entre les groupes de
comme
ci-dessous.
comme
groupe
opère
1
d’isotropie
pour
un
bon
X~
et
l’inclusion
voisinage
sur
et soit
U
de
question peuvent être décrits
en
V . Choisissons
l’image
xo
xo l’espace
de
U n
ce
point dans
un
point dans
X. n+1
a
le
V
W
ayant
V~Wn*~ .
.
n
Alors
type d’homotopie de
induit l’homomorphisme désiré entre les
n+1
n
cohomologie
n+1
groupes de cohomologie.
(b)
Afin de prouver que c’est
passe de la
on
à
de
l’homologie
qui suit, pour
rajouté
un
les points
cohomologie
de
isomorphisme jusqu’à
qui
D , compactifié de
tout espace
point
un
et si
X
qui s’envoient
X ,
on
est le
D
auquel
X
note
s’envoie dans
sur
xo .)
le
est
on
pour
p s
Wn .
po proviendront
rajouté
a
compactifié
V/W . ,
degré
’
on
de
note
point.
un
X
po ,
D ,
(Dans
auquel
on
X° l’espace
X
ce
a
moins
La dualité d’Alexander donne :
isomorphe à l’homologie réduite
fié du discriminant de
certain
complément du discriminant
D’autre part, il n’est pas difficile de voir que
(D ,
un
Ainsi les
de la suite
l’homologie
de la double
suspension
isomorphismes désirés
d’homologie
de
(D,
relative de
Do~
du
compacti-
Hp(~ n+1~ ’~
si
nous
pouvons
n
prouver que
Hi (Do) =
(c)
sera
Ceci
0
i ~ 2n -
pour
p .
prouvé par récurrence, où
laires doivent être considérés.
tibles. Chaque composante
E
D
composé
est
l’image
est
Il est suffisant de montrer que
C’est nécessaire de
V" c: V’
paire
une
de réflexion.
V’
comme un
dans
Soit
groupe
W’ . Dans les
Soit
E C
Hi(Éo~ Les
0
W’ CW
cas
V’~W’
paires
V" C V’
façon suivante :
donc
considérer,
F
i
et certaines
que l’on
a
F -~
taire de certains sous-ensembles
paires
paire
longtemps que
fait que
(d)
E
V"’ C V" . Ainsi
V"
2.dim V" >
V’
d’hyperplans
qui opère
W"
le stabilisateur de
W"
opère
sur
V"
sur
V"
comme un
complexe.
contienne des
on
de sous-espaces
V"
ces
c: V’ , où
V" C V’
un
+
1
.
points
V’ = V
de codimension
Cette condition
au-dessus de
Pour les espaces construits ci-dessus :
sur
x .
est
un
complémen-
dans le
1
.
sous-ensembles sont les
obtient de nouvelles
V"
et
ait été construite. Alors
isomorphisme
paires
continue de construire des
on
n
induit
analytiques
composantes irréductibles de
V"’ C V’ .De cette façon
façon suivante : soit
à considérer sont obtenues inductivement de la
on commence avec une
l’application correspondante
sous-espaces
.
est un espace affine
=
hyperplan de réflexion. Supposons qu’une paire
Les
p
intersections
comme
de réflexion.
hyperplan
F . Ce que l’on doit prouver par récurrence est que
de
pour certains
obtenus
V
aurons à
réflexions,
l’image
2n -
pour
par des réflexions. Soit
nous
que
d’un
sous-groupe du stabilisateur de
un
engendré
deux composantes irréduc-
ou
V/W
dans
0
d’une
d’autres espaces simi-
D
cette situation de la
de sous-espaces de
par des
engendré
groupe
=
généraliser
plus de
en
paires
images
V"’
C
V"
V" eV’
la dimension
de certains
et
aussi
garantit
le
La preuve
tion
fait par récurrence
se
F° -~ Ë .
Âo C:E ,
et
suite exacte
phismes
Restreinte
c’est
un
pour les groupes
F°
son
sur
cause
H.(E°)
de
de
ce
est nulle. C’est
résultat
cohomologie
des résultats
connus.
seulement sont
calculé les quelques premiers groupes de
a
un
semble être
x .
le
pourquoi
la
comparai-
discriminant démontre
Par
également
Hp(XW , 2) .
être utilisée
Jusqu’à
exemple, Arnol’d dans
cohomologie
qui
ceux
0
1
2
3
4
5
6
Hp
Z
~
0
2
2
2
~
autre résultat
intéressant
particularité
maintenant
[3]
a
stables des groupes de tresses.
~~
des
sont donnés dans le tableau suivant :
p
une
crucial
de
9.- Les sept premiers groupes de cohomologie stables
groupes de tresses sont
Il y
au
s’annule
(b).
pour calculer certains des groupes de
THÉORÈME
point
provient immédiatement de
L’application
Bo
et
point au-dessus
un
La méthode utilisée dans la preuve du théorème 8 peut
partiels
A
de
la
sont des isomor-
de récurrence. Le
homologie réduite
la nullité de
des deux suites exactes.
le théorème à
E, A )
dans celle de
contient seulement
F
fo
homomorphisme de
les
pourquoi
degré d’après l’hypothèse
l’applica-
de certains ensembles
d’homologie relative. L’homologie
est une cellule et son
résultat désiré
C’est
(F , B°~
de
maintenant est le suivant :
Donc
complémentaires
aux
E . Considérons
la dimension de
homéomorphisme.
d’homologie
au-dessus d’un certain
sur
sur
la
cohomologie entière
des groupes de tresses :
dans
[3] qui
L’anneau de cohomologie des groupes de tresses à coefficients dans
entièrement déterminé par D. B. Fuks
sant le fait que l’action du groupe
provient d’une action réelle,
n
X
permet de
symétrique
sur
~ . L’analyse du
calculer H~(B(n~ ,
~2~ .
et de passer à
bre de
Hopf
sur
l’anneau de
B(n) -~ B(n
11.-
et dont la
(ii)
Les
(iii)
k
+
m) .
de
Hopf
dé-
l’homologie
a
au
lieu de la cohomo-
la structure d’une
correspond à
la
algè-
multiplication
définie par la
somme
de
directe des
D. B. Fuks prouve :
Z2~
ayant des générateurs
est
une
algèbre
x. , i = 1,2,...
de
de
polynômes
degré
21 -1
est donnée par
homomorphismes des groupes
monomorphismes d’algèbre
H*(B(n) , Z 2)
est
une
est la
de tresses dans les groupes
de
orthogonaux
Hopf
sous-coalgèbre ayant
pour
une
base les monômes
k
x....
x
Remarques.-
est
2
multiplication
comultiplication
induisent des
R.
(i) L’algèbre
coefficients Z
avec
et la
de dimension
de chaînes à coefficients
~2~
où la comultiplication ~
cohomologie
tresses
THÉORÈME
,
été
différente. Utili-
l’espace complexe
complexe
l’homologie stable.
~2 ,
assez
Fuks construit de manière très naturelle
Il est convenable de décrire le résultat pour
logie
méthode
une
par
cellulaire de
composition
dans
[14]
a
2
tels que
H (B(n) ,
03A3 ki2i ~
2)
n .
est entièrement
Switzer m’a fait remarquer que
déjà entièrement déterminé par
déterminé par
ce
l’homomorphisme
(i)
et
l’injectivité (ii).
théorème. De plus,
2)
2)
2014
La raison
en
est
l’algèbre
que
de
H*(BO(~) , Z2)
Hopf
s’envoie nécessairement
de
degré j .
R.
Switzer m’ont fait remarquer que
à
H*(02 S , Z ) ;;
a
x.
l’homologie
l’algèbre
de
.
p..
H*(ON(Sn); Z2~
", Proc. Japan Acad.
même déterminé
(voir
Arnol’d utilise les résultats
les remarques
d’un plus
algébriques
précisément
Plus
f
On dira que
sur
la construction
problème classique :
Z2)
est une
nombre de variables si
la
itératifs
f
de fonctions
polynomiales
03C6j(x) ,
on
substituer
algébrique
fonctions
variables. Si
alors
f
des
est dite
aux
répétant
en
géométrie algébrique.
groupes pour traiter
un
de fonctions
k
de
variables
n
x1 ,...,xn .
d’un plus
petit
des variables
variables,
k
commence
aux
x1 ,...,xn
n .
On obtient ainsi
Ayant construit des fonctions algébriques
x .
(p.
et des
x
et
on
peut
indéterminées d’une fonction algébrique de moins de
ce
"composition"
de variables. Ici la
n ,
épreuves).
algébriques
peut former des fonctions polynomiales des
ces
aux
de la manière suivante. On
p.(x)
indéterminées d’une fonction algébrique de
fonction
k
,
algébriques à partir
algébrique
peut être construite
par substituer des fonctions
une
isomorphe
dans leur article
Z
et la
cohomologie des
fonction
une
"composition"
f
ajoutées
de fonctions
est
et
333-335. Très récemment G. Segal
l’algèbre
avec
pj
nombre de variables.
petit
soit
32(1956),
primitif
Enfin, G. Segal
Hopf
des espaces de lacets
5. Relations des groupes de tresses
n
sur
été déterminée par T. Kudo et S. Araki pour coefficients
" On
a
Donc
seul élément
possède qu’un
ne
composition
processus
un
de fonctions
nombre fini de fois
algébriques
on
d’un plus
atteint
f ,
petit nombre
des fonctions "multiformes" est définie de telle
manière que les nombres de valeurs
se
multiplient.
[4], [5]
Arnol’d
prouve :
PROPOSITION 12.- Pour
définie par
a~,..., n-~
n’est pas
n
une
2r
=
la fonction
des
f
algébrique
variables
n-11
l’équation
composition de fonctions algébriques d’un plus petit nombre
de
variables.
Esquisse
de preuve.
(i)
L’ensemble des points
les valeurs de la fonction
X
de
B(n)
qu’on
qu’il n’y
algébrique cp
(ii)
Ck
de
a
k
lesquels
définissent alors
obtenu à
Y -~
pas de
conséquence,
où
p~
est
f
polynômes
0
k
une
on
1
,
p. ,
l’espace
classifiant
de
de 03C6
p :
Z
X -~
i
=
on
se
ramène facilement
1,...,k,
et de fonction
tels que
soit de cette forme. Soit
application
a un
symétrique,
et
q
n -
toutes les valeurs
Z
l’ensemble des
sont distinctes.
Z ,
Les
et le revêtement
correspondant à 03C6
par
points
polynômes
Y
X
-t
changement
de
p.1
est
de base.
diagramme commutatif d’homomorphismes :
l’homomorphisme
l’homomorphisme évident
~/
est le groupe
X
partir du revêtement
Par
p(wn-1
sont distinctes est exactement
variables,
Supposons que
pour
lesquels toutes
pour
décrit ci-dessus. Utilisant le fait que le groupe de transfor-
a
mations du revêtement
à prouver
f
a E
p :
de
cohomologie des espaces classifiants induit par
B(n)
pour la classe de
-~-
S(n) .
On
Stiefel-Whitney
peut déduire du théorème 11 que
w _ ,
,
n
=
2r .
Hais
H~(Z , 2 ) = 0
i > k , parce que
pour
Z
est
variété de Stein de dimension
une
k . On
a
ainsi
contradiction.
une
Remarques.- On
que les classes de
a vu
ce
des
équations algébriques
que le
problème
problème
avec
le
problème classique qui
réponse négative,
a une
R. Brauer ont donnés des solutions
Une raison pour
du
point
de
vue
laquelle
de la
figurent d’une manière
positives
faut pas confon-
simplifier
naturelle
A. Wiman et
pour le
les groupes de tresses
géométrie algébrique
algébriques. Considérons,
consiste à
ne
la solution
moyen d’une transformation de Tschirnhaus. Pendant
au
de Arnol’d
sont des
algébriques, qui
problème considéré ci-dessus. Il
classes’d’obstruction pour le
dre
des groupes de tresses définis-
pour les fonctions
caractéristiques
sent des classes
cohomologie
problème classique.
généralisés
sont intéressants
est que leurs espaces
classifiants XW
espaces de base de familles de variétés
comme
exemple, l’application
par
plus récemment
C x
-~
x
Cn-2
donnée par
Cette fibration est lisse
C’est
pourquoi
logie
de la fibre
topie
d’un
de F.
Pham,
lence
près
on
bouquet
on
obtient
(n - 1)
ce
sphères
cas
Sk.
là,
utilisant la théorie
dans le groupe des
classique
méthode,
automorphismes
aussi été traité par Arnol’d
’
de
~1~
classifiant
B(n)
on
Fk
la fibre
D’après
une
peut déterminer la forme d’intersection de
groupe de tresses. Par cette
a
Dans
l’espace
du groupe fondamental
opération
une
non-singulière.
de
au-dessus de
précisément
a
le
sur
l’homo-
type d’homo-
idée très intéressante
Hk (Fk ~~
à
une
équiva-
de Picard-Lefschetz et les relations du
montre que pour
Le
est
et Varchenko
k
~20~.
pair l’image de
cas
où
k
est
B(n)
impair
Varchenko affirme que
l’image
de
B(n)
Sp(n-
est
l’application décrite
rité donnée par
X,.
n
pour
Le germe à
impair.
de
l’origine
ci-dessus est la déformation semi-universelle de la singula-
z n z. 2
l’équation
+
13.- Pour les groupes
sont le
, Z)
+
=
...
Généralisant
0 .
.
fait,
ce
on
[12], [6].
peut prouver,
THÉORÈME
1
complément
W
de
type
A , D , E6 ’ E , E~
les espaces
du discriminant de la déformation semi-universelle de la
singularité rationnelle du type correspondant.
Les
singularités rationnelles furent introduites par M. Artin
théorème 13 montre
qu’il
y
a une
relation étroite entre
ces
j~9] ;
et
singularités
le
et les
tresses de E. Artin.
REMARQUES
1)
Quelques jours
avant
le théorème suivant :
de lacets itéré
.
à coefficients dans
G
est
l’exposé oral,
Soit
~252 .
un
AJOUTÉES
Q 2 S2
la
AUX EPREUVES
G. Segal m’a
composante
signalé qu’il avait démontré
connexe
du lacet trivial de
l’homologie stable des groupes
Soit
groupe abélien
G
quelconque, où l’opération
l’espace
de tresses
de
sur
triviale.
THÉORÈME.-
Il y
a un
isomorphisme
G) .
Ce résultat
pour
0 S
un
analogue déjà
connu
(cf.
M. Barrat - S.
Priddy :
a
pour le groupe
On the
symétrique
stable
S(oo)
et
homology of non-connected monoids
and their associated groups, Comment. Math. Helv. 47
(1972), 1-14).
Le résultat de
Segal permet
de déterminer
groupes de tresses. Car la fibration de
S,
H*(03A92oS2 , G)
de Hopf H*(03A92S3 , 2 )
avec
coefficients
i ~ 1
L’opération
.
bre de
(Homology
R.K.Lashof
Theorem
5.2)
des éléments
de
z.
produit
est déterminée
p
(y )
par 6
p
p-primaire
santé
6
de
y.
du groupe
H (Q S , Zp)
:
groupes
~
d’homologie
2)
Je
P.
Deligne
signale
a
que
0
,
et 6
o
d’homologie
H
que les espaces
d’un espace vectoriel complexe
V ,
le
35-88,
est
engen-
la compo-
Enfin,
isomorphe
par
de Bockstein
L’opération
noyau de
au
tandis que les deux
premiers
cycliques.
ont été résolus.
l’exposé précédent
dans
d’Eilenberg Mc-Lane. Il
d’hyperplans complexes homogènes
ensemble fini
un
Dyer-
(1962),
i ~ 1.
où
,
Quant à l’algè-
.
algèbre extérieure
sont des espaces
X
1
polynômes engendrée
pour
i
pour q > 1,,
sont évidemment infinis
même démontré que pour
z.
(Q S , Z)
quelques problèmes posés
prouvé
de
i ~ 0 .
=
x...
=
avec
2 -
degré
J. Math. 84
d’une
et
où
(y.)
i
p
.(Q S , Z )
H
1,
polynômes
les résultats de E.
algèbre
2p -1 ,
degré
=
i ~
de
xi
par 03B22xi
loop spaces, Amer.
où
de
algèbre
primitifs
tensoriel d’une
L’algèbre
est connue.
impair, d’après
p
2p -2 ,
degré
drée par des éléments
6
pour
permet d’identifier
de
une
donnée
est
EL
of iterated
c’est le
Kudo et Araki
par des éléments
de Bockstein
H*(03A92S3 , 2 )
Hopf
l’homologie
et
d’après
est
engendrée
3~
G) ,
S 3 -> S 2
Hopf
stable des
complètement l’homologie
complémentaire
V -
H.
U
a
H. , ie I ,
est un
i
K(n,1) ,
1
à condition que les
H.
espace vectoriel réel
des cônes
soient les
V’
tels que les
simpliciaux : c’est
des groupes de tresses
complexifiés d’hyperplans
le résultat
principal
généralisés "~ à paraître
Une étude des groupes de tresses
a
composantes
généralisés
été faite par K. Saito et moi-même : dans
Coxeter-Gruppen ", à paraître dans
groupes, et
conjugaison.
nous
Ces
donnons
une
problèmes
un
Inv. Math.
solution du
connexes
réels
de
V’ -
d’un article
sur
dans Inv. Math.
17
problème
d’un
soient
UH’
" Les immeubles
(1972).
utilisant les méthodes de Garside
article intitulé "
17,
Hl
nous
Artin-Gruppen und
déterminons le centre de
des mots et du
problème
sont aussi résolus dans l’article de P.
de la
Deligne.
ces
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