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Fiche méthode
sept.-10
Les représentations graphiques (exploitation)
Exploitation de mesures
Après avoir tracé le graphique, il ne reste plus qu’à l’analyser afin de trouver une relation entre les deux grandeurs
représentées, vérifier une loi, déterminer un paramètre expérimentaux…
Dans tous les cas le point de départ est la détermination de l’équation de la courbe obtenue.
1. Si la représentation graphique est une droite :
a. La droite passe par l'origine (0,0)
Exemple :
Les points expérimentaux sont alignés.
La représentation graphique est donc une droite qui passe ici par l’origine. On obtient donc une fonction linéaire
dont l’équation est du type : = × (dans l’exemple ci-dessus, = × )
Les grandeurs UAB et I sont proportionnelles
Pour obtenir la valeur de la pente (ou coefficient directeur) on choisit un point appartenant à la droite (même si ce
point n'est pas un point expérimental) et l'on effectue le rapport de ses coordonnées :
=
Dans l’exemple :
2,5
=
=
≃ 1,7 ∙ 10 ∙ ≃ 1,7Ω
1,45 ∙ 10
Attention, cette pente représente généralement une grandeur physique ; il faudra donc l'exprimer avec
l'unité convenable.
Conseil : Convertir avant de faire le calcul les unités dans le système international.
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b. La droite ne passe pas par l'origine
Exemple :
Les points expérimentaux sont alignés.
La représentation graphique est donc une droite qui, ici, ne passe pas par l’origine. On obtient donc une fonction
affine dont l’équation est du type : = × + (dans l’exemple ci-dessus, = × + )
Les variations des grandeurs UAB et I sont proportionnelles
b représente l'ordonnée à l'origine (valeur de y quand = 0). Dans l’exemple, ≃ 2,75 La pente s'obtient en choisissant deux points appartenant à la droite (même si ce ne sont pas des points
expérimentaux) et en effectuant le rapport :
− =
− Dans l’exemple :
1,8 − 2,5
=
≃ 27Ω
36 ∙ 10 − 9,8 ∙ 10
Attention aux unités de a et b
Pour trouver la pente, on peut raisonner avec les variations des grandeurs.
Caractéristique Intensité-Tension
Ici ,
I
d’une pile.
P
UPN (V)
N
UPN
3
=
Δy ΔU*+
=
Δx
ΔI
b
y1
y
2,5
2
y2
x
1,5
1
0,5
x2
0
0
10
20
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I (mA)
30
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2. Si la courbe représentative n'est pas une droite
Cas général
A première vue, on ne peut rien affirmer quant à la relation = -(). Le but est alors, par essais successifs,
de faire correspondre au plus près le graphe obtenu avec celui d'une fonction mathématique.
a. La courbe est une branche d'hyperbole
Exemple : Etude de la figure de diffraction d’un laser par des fils calibrés
L'équation serait de la forme :
Dans l’exemple
0=
1
=
Ce qui laisse supposé que les grandeurs y et x sont inversement proportionnelles.
Pour le vérifier on peut tracer la courbe de
1
= -( )
qui, si l’hypothèse est bonne, sera une droite
passant par l'origine.
Le reste de l’analyse consiste donc à trouver la pente d’une fonction linéaire (cf. §1.a.)
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a. La courbe semble suivre une loi de puissance 2 = 3 × 45
Les relations les plus fréquemment rencontrées sont alors du type : = × (1)
ou bien = × ⁄ = √ (2)
Exemple : Etude des oscillations d’un pendule simple (cas 2)
Dans le cas (1), la vérification se fera en portant = -( ) qui doit être une droite. Dans le cas (2), c'est
= -() qui sera une droite.
Exemple (suite du cas précédent) : On trace 8 = -(0)
T 2 = f ( L)
reste de l’analyse consiste donc à trouver la pente d’une fonction linéaire (cf. §1.a.)
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b. La courbe semble suivre une loi exponentielle
Il s'agira le plus souvent d'une exponentielle décroissante.
Exemple :
Dans ce cas, on représentera la fonction ln() = -(). Si on obtient une fonction affine décroissante
d’équation ln() = − × , La fonction exponentielle recherchée sera de la forme
= ; < × ; => = ? × ; =>
Exemple précédent :
Sinon, on peut représenter ln() = -(1⁄ ). Si on obtient une fonction affine, son équation sera de la
forme :
1
ln() = + ×
et on peut en déduire que la fonction recherchée est du type : :
= ; < × ; => = ? × ;
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=
>
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