COURS : LOIS A DENSITE LOI UNIFORME : Simulation : Avec un

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COURS : LOIS A DENSITE
1. LOI UNIFORME :
Simulation : Avec un tableur, on a entré dans 1000 cellules la fonction =ALEA() ( la
fonction ALEA( ) génère un nombre aléatoire entre 0 et 1 ).
(1) Modélisation par la loi uniforme U(0 ;1) :
 ; 1 ] et 0 partout ailleurs. Cette fonction est appelée densité de
variable aléatoire.
Définition : On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [0 ; 1 ] si la
délimitée par la courbe , les équations x=c et x=d.
On écrit p(c < X < d ) = ( d  c )  1.
(2) Cas général : loi uniforme U(a ;b) :
Quand une variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs entre a et b, on
utilise la fonction qui vaut 
  ; b ].
Définition : On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ a ; b ] si la
x= c et x = d .
On a : p( c < X < d ) = ( d  c )  
 .
Remarque : On peut considérer que ce rectangle est une intégrale et on peut
écrire : p( c < X < d ) = 
 .
Pour simuler une loi uniforme U(a ;b) avec un tableur :
 On entre dans chaque cellule la formule suivante : = a + ( b  a ) * ALEA ( ).
 Pour déterminer p(c<X<d) ;on compte le nombre de valeurs comprises entre
c et d avec la formule : = NB.SI(plage ; "< c")  NB.SI(plage ; "<d" ) puis on
divise le nombre obtenu par le nombre total de valeurs .
Exercice : X est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme U (1 ; 3).
1. Représenter la fonction densité associée à cette loi .
2. Représenter et colorier la partie correspondant à p( 2,5 < X < 3 ).
3. Evaluer p( 2,5 < X < 3 ).
4. Evaluer p( 2 < X ).

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Espérance vant une loi uniforme :
Propriété :
 ; b ] est :
E(X)= 
 .
 ; b ] est :
V(X)=
 .
 ; b ] est :
 (X)= = _________________________________.
2. LOI EXPONENTIELLE :
Définition 
 :
f(x)= .
 : p(c < X < d)=
 .
Exemple : 
paramètre =3.
Déterminer la probabilité que la durée de vie de ce composant soit inférieure à un an.
 :
p( X < 1)=  
 :
_______________________________________
_______________________________________
Espérance 
exponentielle :
Propriété :
 est : E(X)= 
 .
Exercice : On note T la variable aléatoire qui, à tout composant électronique prélevé au
hasard dans un stock, associe sa durée de fonctionnement (en heure) avant une
défaillance. On suppose que T suit la loi exponentielle de paramètre 0,000 5.
1. Déterminer la fonction de densité.
2. Calculer les probabilités des événements suivants :
A : la durée de fonctionnement du composant est inférieure à 1 000heures.
B : Le composant prélevé fonctionne encore au bout de 500 heures.
C : La durée de bon fonctionnement du composant prélevé est comprise entre 500h
et 1 000h.
3. 
4. Loi normale :

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a. 
  = s .
type  et on note X suit N ( ; ) .
Exemples de lois normales :
Loi normale N (4 ; 2 )
Lo i normale N (4 ; 1 )
Loi normale N (4 ; 0,5 )
 :
Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (100 ; 15).
1. Calculer p(X<100).
Avec les calculatrices T.I , il faut aller dans DIST , puis normalcdf(0,100,100,15)
Avec les calculatrices CASIO 35+, en mode Stat, on sélectionne DIST(F5) et ensuite
NORM(F1),enfin Ncd. On renseigne alors 0 pour Lower , 100 pour Upper , 15 pour  et 100 pour
 .
On doit trouver p(X<100)=0,5.
2. Calculer p(X>130) : On sait que p(X>130) =1  p(X<130) = 1  0,97724 = 0,02276.
b. Valeurs remarquables associées à la loi normale :
Propriété : Si la variable aléatoire X suit une loi normale N ( ; ) alors :
 p (        )= 0 , 68 .
 p (        )= 0 , 95 .
 p (        )= 0 , 997 .
Exercice : Le cahier des charges d
intervalle de tolérance de [ 4,40 ; 
vérifie la loi normale N (4,52 ; 0,21 ).
1. oit acceptable.
2. Après réglage, un second lot vérifie la loi normale N (4,7 ; 0,15 ). Calculer la probabilité
3.  ? Sur quel
 ?
4.  :

4
Rappel : On répète n fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire,
donnant lieu à deux issues 
échec , avec la probabilité q=1  p .
Dans ces conditions, la variable aléatoire X qui, associe le nombre de succès, suit la loi
binomiale de paramètres (n , p ) ou B (n , p ) .
Sur le graphique ci-contre, on a
représenté la probabilité p(X=k), en
fonction de k quand X suit la loi
binomiale
B (40 , 0,35 ).
rtaine
analogie avec la représentation
( représentée en trait plein).
PROPRIETE : ( admise ) :
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale B (n , p ) de paramètres n et p avec
 ,  et n(1   
variable aléatoire Y suivant la loi normale N ( ; ) de même espérance  =np et
=   .
EXERCICE : Utiliser  :
Une entreprise fabrique des rondelles en acier. La probabilité 
e le choix de
500 rondelles à un tirage avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui, à un lot de
500 rondelles, associe le nombre de rondelles non-conformes.
a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres ; puis
déterminer -conformes dans
un lot de 500 rondelles.
b. On admet que la loi binomiale B (n , p )peut être approchée par une loi
normale N ( ;  ). Préciser les valeurs des paramètres  et  .Donner la
valeur arrondie de  à 10 2 près.
c. En utilisant cette approximation, déterminer une valeur approchée de la
probabilité que le lot de 500 rondelles contienne au plus 50 rondelles non-
conformes. Donner la valeur arrondie à 10 2 près.